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2025-06-15T18:20:21Z

Ergänzung, dass E die Einheitsmatrix ist, und zu deren Artikel verlinkt

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In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] bezeichnet die '''Matrixpotenz''' das Ergebnis einer wiederholten [[Matrixmultiplikation]].

== Definition ==
Die Potenz einer [[Quadratische Matrix|quadratischen Matrix]] <math>A \in R^{n \times n}</math> über einem [[Halbring (Algebraische Struktur)|Halbring]] <math>R</math> wird analog zur [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] einer Zahl als wiederholte Multiplikation definiert. Ist <math>A</math> eine quadratische Matrix, so ist

:<math>A^0 = E; \quad A^1 = A; \quad A^2 = A \cdot A; \quad A^3 = A \cdot A \cdot A</math> usw.
Allgemein:
:<math>A^n = \underbrace{A \cdot A \dotsc A}_{n\text{-mal}}</math>.

Formal definiert man die Potenz [[Rekursive Definition|rekursiv]]:
Ist <math>A</math> eine quadratische Matrix, so ist
*<math>A^0 = E</math> die [[Einheitsmatrix]] und
*für alle <math> k\in\mathbb{N} = \{0,1,2,\dotsc\}</math> gilt <math>A^{k+1} = A^k\cdot A</math>.

== Eigenschaften ==
Es gelten die [[Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetze]]:
Für alle <math>n,m\in\mathbb{N}</math> gilt
*<math>A^{n+m} = A^n\cdot A^m</math>,
*<math>A^{n\cdot m} = \left(A^n\right)^m</math>.

== Verallgemeinerungen ==

=== Negative Exponenten ===

Für [[Reguläre Matrix|invertierbare Matrizen]] sind auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten definiert. Die Schreibweise <math>A^{-1}</math> für die [[inverse Matrix]] kann auch als Matrixpotenz interpretiert werden. Für negative Exponenten <math>-n</math>, <math>n \in \N</math>, setzt man
:<math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>.

=== Gebrochene Exponenten ===
Matrixpotenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten, beispielsweise die [[Quadratwurzel einer Matrix]], können nur in Sonderfällen definiert werden.

In manchen Fällen kann die Matrixpotenz auf die Potenz von [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] zurückgeführt werden.
Lässt sich die Matrix <math>A</math> [[Diagonalmatrix|diagonalisieren]],
existieren also eine reguläre Matrix <math>T</math> und eine Diagonalmatrix <math>D</math> mit
<math>A = T\cdot D\cdot T^{-1}</math>
(d. h. <math>A</math> ist [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] zu <math>D</math>),
so gilt
:<math>A^n = T\cdot D^n\cdot T^{-1}\ .</math>
Die Potenz einer Diagonalmatrix erhält man durch Potenzieren der Diagonalelemente.
Sind die Diagonalelemente von <math>D</math> (also die [[Eigenwert]]e von <math>A</math>) positiv,
so bleiben obige Potenzgesetze auch für gebrochene Exponenten gültig.

Wenn sich eine Matrix nicht diagonalisieren lässt,
so findet man eine sinnvolle Verallgemeinerung der Matrixpotenz über die [[binomische Reihe]].
Eine schnelle Berechnungsmethode für diese Verallgemeinerung erhält man über die [[Jordansche Normalform]].
Ist <math>A = T \cdot J \cdot T^{-1}</math> eine Jordanzerlegung,
dann gilt
:<math>A^n = T \cdot J^n \cdot T^{-1}</math>

== Effiziente Berechnung ==

Ist der Exponent eine [[ganze Zahl]],
so lässt sich die Matrixpotenz effizient mit [[Binäre Exponentiation|binärer Exponentiation]] berechnen.
Die Einschränkungen an den Zahlenbereich der Matrixelemente sind gering:
* Ist der Exponent nicht-negativ, so müssen die Matrixelemente in einem Ring liegen.
* Ist der Exponent negativ, so müssen die Matrixelemente in einem Körper liegen.

Ist der Zahlenbereich der Matrixelemente [[Algebraischer Abschluss|algebraisch abgeschlossen]],
kann man also darin beliebige [[algebraische Gleichung]]en lösen,
so kann der Exponent auch rational sein
und die Matrixpotenz kann über die [[Jordansche Normalform]] von <math>A</math>
auf Potenzen von skalaren Werten zurückgeführt werden, siehe [[#Gebrochene Exponenten|oben]].

== Anwendungen ==
=== Polynome und Potenzreihen ===
Mittels der Matrixpotenz lassen sich [[Polynom]]e auch für Matrizen definieren. Ein Beispiel dafür ist z. B. das [[Minimalpolynom (Lineare Algebra)|Minimalpolynom]].
Genauso kann man auch [[Potenzreihe]]n für Matrizen definieren, die wichtigsten Reihen sind dabei der [[Matrixlogarithmus]], das [[Matrixexponential]] sowie die [[Neumann-Reihe]].

=== Graphentheorie ===
Durch geeignete Wahl des zugrunde liegenden [[Halbring (Algebraische Struktur)|Halbrings]] <math>R</math> lässt sich das Finden der [[Kürzester Pfad|kürzesten Pfade]] in einem [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]] auf die Berechnung einer Potenz der [[Adjazenzmatrix]] des Graphen zurückführen. Die [[Min-Plus-Matrixmultiplikations-Algorithmus|Min-Plus-Matrixmultiplikation]] erhält man, indem man als [[Trägermenge]] von <math>R</math> die [[Erweiterte reelle Zahl|erweiterten reellen Zahlen]] <math>\R^\ast = \R^+\cup\{\infty\}</math> wählt. Die Addition in <math>R</math> entspricht dann der [[größtes und kleinstes Element|Minimumbildung]] in <math>\R^\ast</math> und die Multiplikation in <math>R</math> der Addition in <math>\R^\ast</math>, wobei man <math>x + \infty = \infty + x = \infty</math> setzt. Die absorbierende Null in <math>R</math> ist dann <math>\infty</math>, während das Einselement in <math>R</math> durch die Zahl <math>0</math> dargestellt wird. Ist nun <math>K \in R^{n \times n}</math> die Kostenmatrix eines Graphen mit <math>n</math> [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]], dann ist <math>\textstyle D = \sum_{k=0}^n K^k</math> die zugehörige Entfernungsmatrix mit den Längen der kürzesten Pfade zwischen allen Knoten des Graphen. Da die Addition in <math>R</math> idempotent ist, ist <math>D = (1+K)^n</math>.

=== Weitere Anwendungen ===

* In der theoretischen Ökonomie bzw. [[Biologie]] werden Matrixpotenzen zur Analyse langfristiger [[Population (Biologie)|Populationsentwicklungen]] eingesetzt, beispielsweise unter Nutzung einer [[Leslie-Matrix]].<ref>{{Internetquelle |url=https://www.nibis.de/~lbs-gym/Vektorpdf2/Populationsentwicklung2.pdf |titel=Populationsentwicklung |zugriff=2022-02-27 |format=PDF; 72 kB |archiv-url=https://web.archive.org/web/20180304054805/https://www.nibis.de/~lbs-gym/Vektorpdf2/Populationsentwicklung2.pdf |archiv-datum=2018-03-04 |offline= }}, Archivlink</ref>
* Des Weiteren gibt es Anwendungen bei der [[Stereobasisverbreiterung]].

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Peter Knabner]], [[Wolf Barth (Mathematiker)|Wolf Barth]] |Titel=Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin u. a. |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-32185-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Gilbert Strang]] |Titel=Lineare Algebra |TitelErg=Eine Einführung für Studienanfänger |Reihe=Springer-Lehrbuch |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2003 |ISBN=3-540-43949-8 |Originaltitel=Introduction to linear algebra |Originalsprache=en |Übersetzer=Michael Dellnitz}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Matrixpotenz - Versionsgeschichte

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