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2025-01-08T07:18:27Z

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Eine '''Matrixnorm''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] auf dem [[Vektorraum]] der reellen oder komplexen [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]. Neben den drei Normaxiomen [[Definitheit]], [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] wird bei Matrixnormen teilweise die [[Submultiplikativität]] als vierte definierende Eigenschaft gefordert. Submultiplikative Matrixnormen besitzen einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der [[Spektralradius]] einer quadratischen Matrix, also der Betrag des betragsgrößten [[Eigenwert]]s, niemals größer als ihre Matrixnorm. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Matrixnormen zu definieren, unter anderem direkt über eine [[Vektornorm]], als [[Operatornorm]] oder über die [[Singulärwertzerlegung|Singulärwerte]] der Matrix. Matrixnormen werden insbesondere in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] verwendet.

== Grundbegriffe ==

=== Definition ===

Ist <math>{\mathbb K}</math> der [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], so wird mit <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> die Menge der reellen oder komplexen (''m'' × ''n'')-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] bezeichnet, die mit der [[Matrizenaddition]] und der [[Skalarmultiplikation]] einen [[Vektorraum]] bildet. Eine Matrixnorm <math>\| \cdot \|</math> ist nun eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] auf dem [[Matrizenraum]], das heißt eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]]

: <math>\| \cdot \| \colon {\mathbb K}^{m \times n} \to \R^{+}_0, \; A \mapsto \| A \|</math>,

die einer Matrix eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet und die für alle Matrizen <math>A,\, B \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und Skalare <math>\alpha \in \mathbb K</math> die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

* <math>\|A\| = 0 \;\Rightarrow\; A = 0</math>    ([[Definitheit]])
* <math>\|\alpha \cdot A\| = |\alpha| \, \|A\|</math>    ([[Homogene Funktion|absolute Homogenität]])
* <math>\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|</math>    ([[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] oder [[Dreiecksungleichung]])

Zusammen mit einer Matrixnorm ist der Raum der Matrizen ein [[Normierter Raum|normierter Vektorraum]] <math>({\mathbb K}^{m \times n}, \| \cdot \|)</math>. Da der Raum der Matrizen eine endliche [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] besitzt, ist dieser normierte Raum auch [[Vollständiger Raum|vollständig]] und somit ein [[Banachraum]].

=== Submultiplikativität ===

Teilweise wird als vierte definierende Eigenschaft gefordert, dass eine Matrixnorm [[Submultiplikativität|submultiplikativ]] ist, das heißt, dass für zwei Matrizen <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und <math>B \in {\mathbb K}^{n \times l}</math>

: <math>\| A \cdot B \| \leq \| A \| \cdot \| B \|</math>

gilt. Bei nicht-quadratischen Matrizen ist diese Ungleichung genau genommen aus drei verschiedenen Normen zusammengesetzt. Der Raum der quadratischen Matrizen <math>{\mathbb K}^{n \times n}</math> ist mit der [[Matrizenaddition]] und der [[Matrizenmultiplikation]] sowie einer submultiplikativen Matrixnorm eine [[normierte Algebra]], insbesondere eine [[Banachalgebra]]. Es gibt aber auch Matrixnormen, die nicht submultiplikativ sind.

=== Verträglichkeit mit einer Vektornorm ===

Eine Matrixnorm <math>\| \cdot \|</math> heißt '''verträglich''' oder '''kompatibel''' mit einer [[Vektornorm]] <math>\| \cdot \|_V</math>, wenn für alle Matrizen <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und alle Vektoren <math>x \in {\mathbb K}^n</math> die Ungleichung

: <math>\|A \cdot x\|_V \leq \| A \| \cdot \| x \|_V</math>

gilt. Auch diese Ungleichung ist bei nicht-quadratischen Matrizen genau genommen aus drei verschiedenen Normen zusammengesetzt. Verträglichkeit ist immer dann von Bedeutung, wenn Vektoren und Matrizen gemeinsam in Abschätzungen auftreten. Jede submultiplikative Matrixnorm ist zumindest mit sich selbst als Vektornorm verträglich, da jede Matrixnorm für eine Matrix bestehend aus nur einer Spalte auch eine Vektornorm ist.

== Eigenschaften ==

=== Äquivalenz ===

Alle Matrixnormen sind zueinander [[Norm (Mathematik)#Äquivalenz von Normen|äquivalent]], das heißt, zu zwei beliebigen Matrixnormen <math>\| \cdot \|_a</math> und <math>\| \cdot \|_b</math> gibt es zwei positive Konstanten <math>c_1</math> und <math>c_2</math>, sodass für alle Matrizen <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math>

: <math>c_1 \| A \|_b \leq \| A \|_a \leq c_2 \| A \|_b</math>

gilt. Diese Äquivalenz ist eine Folgerung daraus, dass in endlichdimensionalen Vektorräumen [[Norm (Mathematik)#Normkugeln|Normkugeln]] immer [[Kompakter Raum|kompakt]] sind. Eine Matrixnorm kann also durch eine andere Matrixnorm nach oben und nach unten abgeschätzt werden. Über die Größe der Konstanten wird dabei zunächst nichts ausgesagt, für viele Paare von Normen lassen sich die Konstanten aber explizit angeben.

=== Abschätzung der Eigenwerte ===

Ist eine Matrixnorm mit irgendeiner Vektornorm verträglich (also beispielsweise submultiplikativ), dann gilt für jeden [[Eigenwert]] <math>\lambda</math> einer quadratischen Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{n \times n}</math>

: <math>| \lambda | \leq \| A \|</math>,

da dann ein zu diesem Eigenwert zugehöriger [[Eigenvektor]] <math>x \neq 0</math> mit <math> Ax = \lambda x</math> existiert, für den

: <math> | \lambda | \cdot \| x \| = \| \lambda x \| = \| A x \| \leq \| A \| \cdot \| x \|</math>

gilt, womit nach Division durch <math>\| x \| > 0</math> die Abschätzung folgt. Insbesondere gilt damit für jede submultiplikative Matrixnorm, dass der [[Spektralradius]] (der Betrag des betragsgrößten [[Eigenwert]]s) einer quadratischen Matrix niemals größer als ihre Norm ist.

=== Unitäre Invarianz ===

Eine Matrixnorm heißt '''unitär invariant''', wenn sie [[Invariante (Mathematik)|invariant]] unter [[Unitäre Abbildung|unitären Transformationen]] (im reellen Fall [[Orthogonale Abbildung|orthogonalen Transformationen]]) ist, das heißt, wenn für alle Matrizen <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und alle [[Unitäre Matrix|unitären Matrizen]] (im reellen Fall [[Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]]) <math>U \in {\mathbb K}^{m \times m}</math> und <math>V \in {\mathbb K}^{n \times n}</math>.

: <math>\| U A V \| = \| A \|</math>

gilt. Eine Matrixnorm ist genau dann unitär invariant, wenn sie sich als [[Betragsfunktion|betrags-]] und [[Permutation|permutationsinvariante]] [[Vektornorm]] (symmetrisches [[Minkowski-Funktional|Eichfunktional]]) des Vektors der [[Singulärwertzerlegung|Singulärwerte]] der Matrix <math>\sigma = ( \sigma_1, \ldots, \sigma_r), r = \min \{ m, n \}</math> durch

: <math>\| A \| = \| \, \sigma \|_V</math>

darstellen lässt.<ref>{{Literatur |Autor=Horn, Johnson |Titel=Matrix Analysis |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1990 |Seiten=437–440}}</ref>

=== Selbstadjungiertheit ===

Die zu einer Matrixnorm '''adjungierte Norm''' <math>\| \cdot \|^H</math> ist für quadratische Matrizen <math>A \in {\mathbb K}^{n \times n}</math> definiert als die Norm der [[Adjungierte Matrix|adjungierten]] (im reellen Fall [[Transponierte Matrix|transponierten]]) Matrix <math>A^H</math>, also

: <math>\| A \|^H := \| A^H \|</math>.

Eine Matrixnorm heißt '''selbstadjungiert''', wenn sie invariant unter Adjungierung ist, das heißt, wenn

: <math>\| A \|^H = \| A \|</math>

gilt. Alle unitär invarianten Matrixnormen sind auch selbstadjungiert.<ref>{{Literatur |Autor=Horn, Johnson |Titel=Matrix Analysis |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1990 |Seiten=309}}</ref>

== Wichtige Matrixnormen ==
=== Über Vektornormen definierte Matrixnormen ===

Indem alle Einträge einer Matrix untereinander geschrieben werden, kann eine Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> auch als entsprechend langer Vektor aus <math>{\mathbb K}^{m \cdot n}</math> angesehen werden. Damit können Matrixnormen direkt über Vektornormen definiert werden, insbesondere über die [[p-Norm|''p''-Normen]]

: <math>\| A \| = \left(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n | a_{ij} |^p\right)^{1/p}</math>.

Da die Summe zweier Matrizen und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar komponentenweise definiert sind, folgen die Normeigenschaften der Matrixnorm direkt aus den entsprechenden Eigenschaften der zugrundeliegenden Vektornorm. Zwei dieser so definierten Matrixnormen haben eine besondere Bedeutung und Namen.

==== Gesamtnorm ====
{{Hauptartikel|Gesamtnorm}}

Die Gesamtnorm einer Matrix basiert auf der [[Maximumsnorm]] im (''m · n'')-dimensionalen Raum und ist definiert als

: <math>\| A \|_G = \sqrt{mn} \cdot \max_{{i=1, \ldots ,m} \atop {j=1, \ldots , n}} | a_{ij} |</math>,

wobei im Gegensatz zur Maximumsnorm von Vektoren das betragsmaximale Matrixelement mit dem [[Geometrisches Mittel|geometrischen Mittel]] aus Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix <math>\sqrt{mn}</math> multipliziert wird. Durch diese Skalierung ist die Gesamtnorm submultiplikativ und für quadratische Matrizen mit allen ''p''-Normen inklusive der Maximumsnorm verträglich. Die lediglich über das betragsmaximale Element definierte Norm

: <math>\| A \|_M = \max_{{i=1, \ldots ,m} \atop {j=1, \ldots , n}} | a_{ij} |</math>

ist ein Beispiel für eine nicht submultiplikative Matrixnorm.

==== Frobeniusnorm ====
{{Hauptartikel|Frobeniusnorm}}

Die Frobeniusnorm einer Matrix entspricht der [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]] im (''m · n'')-dimensionalen Raum und ist definiert als

: <math>\| A \|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n | a_{ij} |^2 }</math>.

Die Frobeniusnorm ist submultiplikativ, mit der euklidischen Norm verträglich, unitär invariant und selbstadjungiert.

=== Über Operatornormen definierte Matrixnormen ===
{{Hauptartikel|Natürliche Matrixnorm}}

Eine Matrixnorm heißt von einer Vektornorm induziert oder natürliche Matrixnorm, wenn sie als [[Operatornorm]] abgeleitet ist, falls also

: <math>\| A \| = \max_{x \neq 0}\frac{\| Ax \|}{\| x \|} = \max_{\| x \| = 1}\| Ax \|</math>

gilt. Anschaulich entspricht eine so definierte Matrixnorm dem größtmöglichen Streckungsfaktor nach Anwendung der Matrix auf einen Vektor. Als Operatornormen sind solche Matrixnormen stets submultiplikativ und mit der Vektornorm, aus der sie abgeleitet wurden, verträglich. Die Operatornormen sind sogar unter allen mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen jeweils die kleinsten.

==== Zeilensummennorm ====
{{Hauptartikel|Zeilensummennorm}}
[[Datei:Matrix-infinity-norm qtl1.svg|mini|Illustration der Zeilensummennorm einer (2 × 2)-Matrix]]

Die Zeilensummennorm ist die durch die Maximumsnorm induzierte Norm einer Matrix und durch

: <math>\| A \|_\infty = \max_{\| x \|_\infty = 1} \| Ax \|_\infty = \max_{i=1, \ldots ,m}{\sum_{j=1}^n | a_{ij} |}</math>

definiert. Die Berechnung der Zeilensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Zeile und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte.

==== Spektralnorm ====
{{Hauptartikel|Spektralnorm}}

Die Spektralnorm ist die durch die euklidische Norm induzierte Norm einer Matrix und durch

: <math>\| A \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| Ax \|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^H A)}</math>

definiert. Dabei ist <math>A^{H}</math> die zu <math>A</math> [[adjungierte Matrix]] (im reellen Fall [[transponierte Matrix]]) und <math>\lambda_{\max}(A^{H} A)</math> der betragsmäßig größte Eigenwert des [[Matrixprodukt|Matrixprodukts]] <math>A^{H} A</math>. Die Spektralnorm ist unitär invariant und selbstadjungiert.

==== Spaltensummennorm ====
{{Hauptartikel|Spaltensummennorm}}

Die Spaltensummennorm ist die durch die [[Norm (Mathematik)#Summennorm|Summennorm]] induzierte Norm einer Matrix und durch

: <math>\| A \|_1 = \max_{\| x \|_1 = 1} \| Ax \|_1 = \max_{j=1, \ldots ,n} \sum_{i=1}^m | a_{ij} |</math>

definiert. Die Berechnung der Spaltensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Spalte und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte.

=== Über Singulärwerte definierte Matrixnormen ===

Eine weitere Möglichkeit, Matrixnormen über Vektornormen abzuleiten, ist es eine [[Singulärwertzerlegung]] einer Matrix <math>A = U \Sigma V^H</math> in eine [[unitäre Matrix]] <math>U \in {\mathbb K}^{m \times m}</math>, eine [[Diagonalmatrix]] <math>\Sigma \in {\mathbb R}^{m \times n}</math> und eine adjungierte unitäre Matrix <math>V^H \in {\mathbb K}^{n \times n}</math> zu betrachten. Die nichtnegativen, reellen Einträge <math>\sigma_1, \ldots , \sigma_r</math>, <math>r=\operatorname{rang}(A)</math>, der Diagonalmatrix <math>\Sigma</math> sind dann die Singulärwerte von <math>A</math> und gleich den Quadratwurzeln der Eigenwerte von <math>A^HA</math>. Die Singulärwerte werden dann in einen Vektor <math>\sigma = (\sigma_1, \ldots , \sigma_r)</math> notiert und die Norm der Matrix

: <math>\| A \| = \| \sigma \|</math>

über die Norm ihres Singulärwertvektors definiert.

==== Schatten-Normen ====
{{Hauptartikel|Schatten-Klasse}}

Die '''Schatten-Normen''', genauer '''Schatten-''p''-Normen''', einer Matrix sind die ''p''-Normen des Vektors der Singulärwerte <math>\sigma</math> der Matrix und definiert als

: <math>\| A \|_p = \| \sigma \|_p = \left( \sum_{j=1}^r (\sigma_j)^p \right)^{1/p}</math>.

Die Schatten-∞-Norm entspricht damit der Spektralnorm, die Schatten-2-Norm der Frobeniusnorm und die Schatten-1-Norm nennt man auch [[Spurklasseoperator|Spurnorm]]. Alle Schatten-Normen sind submultiplikativ, unitär invariant und selbstadjungiert. Die zu einer Schatten-''p''-Norm [[Norm (Mathematik)#Duale Normen|duale Norm]] ist die Schatten-''q''-Norm mit <math>(1/p) + (1/q) = 1</math> für <math>1 < p,q < \infty</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Horn, Johnson |Titel=Matrix Analysis |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1990 |Seiten=441}}</ref>

==== Ky-Fan-Normen ====
{{Hauptartikel|Ky-Fan-Norm}}

Die [[Ky-Fan-Norm]] der Ordnung <math>k \in \{ 1, \ldots , r \}</math> einer Matrix ist die Summe ihrer ersten <math>k</math> Singulärwerte und definiert als

: <math>\| A \|_k = \sum_{j=1}^k \sigma_j = \sigma_1 + \sigma_2 + \cdots + \sigma_k</math>,

wobei die Singulärwerte der Größe nach fallend geordnet sind. Die erste Ky-Fan-Norm entspricht damit der Spektralnorm und die ''r''-te Ky-Fan-Norm der Schatten-1-Norm. Alle Ky-Fan-Normen sind unitär invariant und selbstadjungiert.<ref>{{Literatur |Autor=Horn, Johnson |Titel=Matrix Analysis |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1990 |Seiten=445}}</ref>

== Anwendungen ==

=== Potenzreihen von Matrizen ===

Matrixnormen werden unter anderem eingesetzt, um die [[Konvergenzradius|Konvergenz]] von [[Potenzreihe]]n von Matrizen zu untersuchen. Beispielsweise konvergiert die Potenzreihe zur Ermittlung der Inverse der quadratischen Matrix <math>I-A \in \mathbb{K}^{n \times n}</math> mit <math>I</math> als der [[Einheitsmatrix]]

: <math>(I-A)^{-1} = \sum\limits_{k=0}^\infty A^k</math>

wenn <math>\| A \| < 1</math> für eine beliebige submultiplikative Matrixnorm gilt. Diese Aussage gilt sogar für beliebige stetige Operatoren auf normierten Räumen und ist als [[Neumann-Reihe]] bekannt. Mit Hilfe von Matrixnormen kann auch gezeigt werden, dass das [[Matrixexponential]]

: <math>e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}</math>

als [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] auf dem Raum der quadratischen Matrizen immer konvergent und wohldefiniert ist. Weiterhin sind Matrixnormen nützlich, um die Zahl der Terme in einer Potenzreihe zu ermitteln, die nötig ist, um eine Matrixfunktion bis auf eine bestimmte Genauigkeit zu berechnen.<ref>{{Literatur |Autor=Horn, Johnson |Titel=Matrix Analysis |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1990 |Seiten=258}}</ref>

=== Störungsrechnung und Kondition ===

Ein weiteres wichtiges Anwendungsfeld von Matrixnormen liegt in der [[Numerische Mathematik|numerischen Fehleranalyse]]. Hierbei wird die Sensitivität einer numerischen Berechnung, beispielsweise der Lösung eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]], bezüglich kleinen Änderungen in den Eingabedaten, etwa den Einträgen der Matrix, untersucht. Das [[Störungslemma]] liefert hier eine Abschätzung für die Inverse einer um <math>\delta A</math> gestörten Matrix

: <math>\| ( A + \delta A )^{-1} \|</math>

in einer submultiplikativen Matrixnorm. Über den [[Satz von Bauer-Fike]] kann mit Hilfe einer submultiplikativen Matrixnorm auch eine Abschätzung der Veränderung der Eigenwerte einer Matrix auf Grund von Störungen in den Matrixeinträgen hergeleitet werden.<ref>{{Literatur |Autor=Horn, Johnson |Titel=Matrix Analysis |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1990 |Seiten=259}}</ref> Diese Abschätzungen führen zu dem zentralen numerischen Begriff der [[Kondition (Mathematik)|Kondition]] einer (regulären) Matrix

: <math>\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|</math>,

welcher die Verstärkung beschreibt, mit der sich Fehler in den Eingabedaten auf die numerische Lösung auswirken.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gene Golub]], Charles van Loan
|Titel=Matrix Computations
|Auflage=3.
|Verlag=Johns Hopkins University Press
|Datum=1996
|ISBN=978-0-8018-5414-9}}
* {{Literatur
|Autor=Roger Horn, Charles R. Johnson
|Titel=Matrix Analysis
|Verlag=Cambridge University Press
|Datum=1990
|ISBN=978-0-521-38632-6}}
* {{Literatur
|Autor=Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler
|Titel=Numerische Mathematik
|Auflage=8.
|Verlag=Vieweg & Teubner
|Datum=2011
|ISBN=978-3-8348-1551-4}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=MatrixNorm |title=Matrix Norm}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]

Matrixnorm - Versionsgeschichte

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