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2025-05-06T17:57:12Z

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In der [[Mathematik]] ist der '''Logarithmus einer Matrix''' eine [[Matrixfunktion]] und Verallgemeinerung des skalaren [[Logarithmus]] auf [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]. Er ist in gewissem Sinn eine [[Umkehrfunktion]] des [[Matrixexponential]]s.

== Definition ==

Eine Matrix <math>B</math> ist ein Logarithmus einer gegebenen Matrix <math>A</math>, wenn <math>A</math> das [[Matrixexponential]] von <math>B</math> ist:
:<math> e^B = A. \, </math>

== Eigenschaften ==

Eine Matrix hat einen Logarithmus [[genau dann, wenn]] sie [[Invertierbare Matrix|invertierbar]] ist. Dieser Logarithmus kann eine nicht-reelle Matrix sein, selbst wenn alle Einträge in der Matrix [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]] sind. In diesem Fall ist der Logarithmus nicht eindeutig.

== Berechnung des Logarithmus einer diagonalisierbaren Matrix ==

Im Folgenden wird eine Methode beschrieben, <math>\ln(A)</math> für ein [[Diagonalmatrix|diagonalisierbare Matrix]] <math>A</math> zu berechnen:
: Ermittle die Matrix <math>V</math> von [[Eigenvektor]]en von <math>A</math> (jede Spalte von <math>V</math> ist ein Eigenvektor von <math>A</math>).
: Berechne die [[Inverse Matrix|Inverse]] <math>V^{-1}</math> von <math>V</math>.
: Sei <math> A' = V^{-1} A V</math>.
: Dann ist <math>A'</math> eine Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente die [[Eigenwerte und Eigenvektoren|Eigenwerte]] von <math>A</math> sind.
: Ersetze jedes Diagonalelement von <math>A'</math> durch dessen natürlichen Logarithmus, um <math> \ln (A') </math> zu erhalten. Dann gilt <math> \ln (A) = V ( \ln A' ) V^{-1}</math>.

Dass der Logarithmus von <math>A</math> komplex sein kann, obwohl <math>A</math> reell ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass eine reelle Matrix komplexe Eigenwerte haben kann (dies gilt zum Beispiel für [[Rotationsmatrix|Rotationsmatrizen]]). Die Nichteindeutigkeit des Logarithmus folgt aus der Nichteindeutigkeit des Logarithmus einer komplexen Zahl.

<u>Beispiel:</u> <math>A=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},
V=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
-1 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}=V^{-1},
A'=\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}</math>. Wie man nun <math>\ln A'</math> berechnet, ist nicht eindeutig definiert, da der natürliche Logarithmus bei −1 den Verzweigungsschnitt<ref>[https://mathworld.wolfram.com/BranchCut.html ''Branch Cut''] Wolfram Research, abgerufen am 19. September 2018.</ref> hat. Nähert man sich der Zahl <math>-1 = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}</math> mit positivem Imaginärteil, so ist <math>\ln (-1) = \lim\limits_{\epsilon \to 0} \ln( \mathrm{e}^{\mathrm{i} (\pi+\epsilon)}) = \mathrm{i}\pi</math>; nähert man sich der Zahl <math>-1 = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \pi}</math> mit negativem Imaginärteil, so erhält man <math>\ln (-1) = \lim\limits_{\epsilon \to 0} \ln (\mathrm{e}^{-\mathrm{i} (\pi-\epsilon)}) = -\mathrm{i}\pi</math>. Hier sieht man die Uneindeutigkeit des Logarithmus und auch die nicht notwendigerweise reellwertigen Einträge, obwohl die Matrix reellwertig ist.

== Der Logarithmus einer nichtdiagonalisierbaren Matrix ==

Der obige Algorithmus funktioniert nicht für nichtdiagonalisierbare Matrizen wie zum Beispiel

:<math>\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}.</math>

Für solche Matrizen muss man zunächst die [[Jordansche Normalform]] ermitteln. Statt des Logarithmus der Diagonaleneinträge muss man hier den Logarithmus der Jordan-Blöcke berechnen.

Letzteres wird dadurch erreicht, dass man die Jordan-Matrix schreibt als
:<math>B=\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \\\end{pmatrix}
=
\lambda \begin{pmatrix}
1 & \lambda^{-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \lambda^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \lambda^{-1} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \lambda^{-1} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}=\lambda(I+K)</math>,
wobei ''K'' eine Matrix mit Nullen unter und auf der [[Hauptdiagonale]]n ist. (Die Zahl λ ist ungleich null, wenn man annimmt, dass die Matrix, deren Logarithmus man berechnen möchte, invertierbar ist.)

Durch die Formel

:<math> \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots</math>

erhält man

:<math>\ln B=\ln \big(\lambda(I+K)\big)=\ln (\lambda I) +\ln (I+K)= (\ln \lambda) I + K-\frac{K^2}{2}+\frac{K^3}{3}-\frac{K^4}{4}+\cdots</math>

Diese [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] konvergiert für eine allgemeine Matrix <math>K</math> nicht, wie sie es für reelle Zahlen mit Betrag kleiner <math>1</math> tun würde. Diese spezielle Matrix <math>K</math> jedoch ist eine [[nilpotente Matrix]], so dass die Reihe eine endliche Anzahl von Termen hat (<math>K^m</math> ist null, wenn <math>m-1</math> den [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] von <math>K</math> bezeichnet).

Durch diesen Ansatz erhält man

:<math>\ln \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}.</math>

== Aus dem Blickwinkel der Funktionalanalysis ==

Eine quadratische Matrix repräsentiert einen [[Linearer Operator|linearen Operator]] auf dem [[Euklidische Geometrie|Euklidischen Raum]] <math>\R^n</math>. Da dieser Raum endlichdimensional ist, ist jeder Operator [[Beschränkter Operator|beschränkt]].

Sei <math>f</math> eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] auf einer [[offene Menge|offenen Menge]] in der [[Komplexe Zahl|komplexen Ebene]], und sei <math>T</math> ein beschränkter Operator. Man kann <math>f(T)</math> berechnen, wenn <math>f(z)</math> auf dem [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] von <math>T</math> definiert ist.

Die Funktion <math>f(z)=\ln(z)</math> kann auf jeder [[Zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängenden]] offenen Menge in der komplexen Ebene, die Null nicht enthält, definiert werden und ist auf dieser [[Definitionsmenge]] holomorph. Daraus folgt, dass <math>\ln(T)</math> definiert ist, wenn das Spektrum von <math>T</math> null nicht enthält und es einen Pfad von null in die Unendlichkeit gibt, der das Spektrum von <math>T</math> nicht schneidet (bildet zum Beispiel das Spektrum von <math>T</math> eine [[Kreislinie]], deren Mittelpunkt null ist, dann ist es nicht möglich, <math>\ln(T)</math> zu definieren).

Für den speziellen Fall des Euklidischen Raums ist das [[Spektrum (lineare Algebra)|Spektrum]] eines linearen Operators die Menge der Eigenwerte der Matrix, also endlich. Solange null nicht im Spektrum enthalten ist (die Matrix also invertierbar ist) und damit offensichtlich die obige Pfadbedingung erfüllt ist, folgt, dass <math>\ln(T)</math> wohldefiniert ist. Die Nichteindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass man mehr als einen Zweig des Logarithmus wählen kann, welcher auf der Menge der Eigenwerte der Matrix definiert ist.

== Siehe auch ==
* [[Cepstrum]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Matrixlogarithmus - Versionsgeschichte

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