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2026-02-17T06:04:14Z

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{{Dieser Artikel|behandelt das philosophische Konzept eines mathematischen Objektes. Zur kategorientheoretischen Klasse der Objekte siehe [[Kategorientheorie]].}}
Als '''mathematische Objekte''' werden die [[Abstraktion|abstrakten]] [[Objekt (Philosophie)|Objekte]] bezeichnet, die in den verschiedenen [[Teilgebiet der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]] beschrieben und untersucht werden. [[Grundlagen der Mathematik|Grundlegende]] Beispiele sind [[Zahlen]], [[Menge (Mathematik)|Mengen]] und [[geometrische Körper]], weiterführend sind beispielsweise [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]], [[Integralrechnung|Integrale]] und [[Kohomologie]]n. Die Fragen zur Existenz und zu der Natur von mathematischen Objekten sind zentral in der [[Philosophie der Mathematik]]. Die zeitgenössische Mathematik hingegen klammert diese Fragestellungen aus und beschäftigt sich [[mathematische Struktur|innerstrukturell]] mit ihnen. Dies schließt Bereiche wie [[Mengenlehre]], [[Prädikatenlogik]], [[Modelltheorie]] und [[Kategorientheorie]] mit ein, in denen die (sonst übergeordneten) mathematischen Strukturen wie [[Axiom]]e, [[Schlussregel]]n und [[Beweis (Mathematik)|Beweis]]e erforscht werden, die damit selbst zu mathematischen Objekten werden. Die Ansichten darüber, was mathematische Objekte sind, haben sich im Lauf der [[Geschichte der Mathematik]] stark gewandelt.

== Geschichte ==
{{Hauptartikel|Geschichte der Mathematik}}
Die ersten Objekte mathematischer Überlegungen waren Zahlen und [[Geometrische Figur|geometrische Figuren]]. Schon die [[Mathematik im Alten Ägypten]] und die [[babylonische Mathematik]] rechnete mit [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] sowie [[Rationale Zahl|positiven Bruchzahlen]] und konnte damit einfachere [[Gleichung]]en lösen. Bereits die [[Pythagoreer]] stellten jedoch fest, dass es auch [[Inkommensurabilität (Mathematik)|inkommensurable Zahlenverhältnisse]] gibt, sie konnten diese aber noch nicht quantifizieren. Bis ins 19. Jahrhundert herrschte in der Mathematik große Unsicherheit beim Rechnen mit [[Infinitesimalzahl|infinitesimalen Größen]], was sich erst ab Mitte des 19. Jahrhunderts durch [[Karl Weierstraß]] änderte. Heute sind mehrere [[Reelle Zahl#Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen|Konstruktionsmöglichkeiten der reellen Zahlen]] aus den rationalen Zahlen bekannt. Über die reellen Zahlen hinaus sind [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] und [[Quaternion]]en von praktischer Bedeutung.

[[Euklid]] (ca. 300 v. Chr.) legte erstmals einige Eigenschaften geometrischer Objekte, wie [[Punkt (Geometrie)|Punkt]], [[Gerade]] und [[Dreieck]], in seiner [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] durch Postulate, vergleichbar heutigen [[Axiom]]en, fest. Eine vollständige und widerspruchsfreie [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie|Axiomatisierung der Geometrie]] gelang jedoch erst [[David Hilbert]] 1899. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts entwickelte [[Georg Cantor]] seine [[Mengenlehre]], mit der sich mathematische Objekte als [[Element (Mathematik)|Elemente]] von [[Menge (Mathematik)|Mengen]] beschreiben lassen, wobei diese Elemente selbst auch Mengen sein können:
: ''Elemente sind bestimmte wohlunterschiedene Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens.''<ref>
{{Literatur |Autor=Georg Cantor |Titel= Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre |Sammelwerk=[[Mathematische Annalen]] |Band=46 |Nummer=4 |Datum=1895 |Seiten=481 |Online=[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0046] |Abruf=2018-11-19}}</ref>

Etwas weiter fasste er den Begriff der [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]], wobei [[Echte Klasse|echte Klassen]] wie die [[Allklasse]] keine Mengen mehr darstellen. Die [[naive Mengenlehre]] war jedoch nicht widerspruchsfrei, das wohl bekannteste [[Paradoxon]] ist die [[Russellsche Antinomie]]. Die Axiomatisierung der Mengenlehre wurde erst durch [[Ernst Zermelo]] und [[Abraham Adolf Fraenkel]] in den 1920er Jahren mit der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] abgeschlossen.

In der [[Konstruktive Mathematik|konstruktiven Mathematik]] des 20. Jahrhunderts wurde gefordert, dass mathematische Objekte konstruierbar sein müssen. In der [[Grundlagenkrise der Mathematik]] der 1920er und 1930er Jahre setzte sich jedoch der [[Formalismus (Mathematik)|Formalismus]] gegenüber dem [[Intuitionismus (Logik und Mathematik)|Intuitionismus]] durch. Wichtiger als die mathematischen Objekte selbst sind demnach deren [[Relation (Mathematik)|Beziehungen]] untereinander, die durch Axiome festgelegt werden. Diese Axiome, nicht die Objekte selbst, stellen die Grundlage moderner mathematischer Theorien dar, so soll Hilbert einmal gesagt haben:
: „Man muss an Stelle von ‚Punkten, Geraden, [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]]‘, ‚Tische, Stühle, [[Bierseidel]]‘ sagen können.“<ref>
{{Literatur |Autor=[[Hans Wußing]] |Titel=6000 Jahre Mathematik |TitelErg=Eine kulturgeschichtliche Zeitreise |Band=2. Von Euler bis zur Gegenwart |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-77313-9 |Seiten=174 |Online={{Google Buch |BuchID=qr2YWAw1kv4C |Seite=174 |Linktext=Auszug}}}}</ref>

== Bezug zu formalen Systemen zur Grundlegung der Mathematik ==
{{Hauptartikel|Grundlagen der Mathematik}}
Dem [[Formalismus (Mathematik)|formalistischen Standpunkt]] zufolge arbeitet die [[Mathematik]] stets in [[formales System|formalen Systemen]]. Davon beeinflusst ist es zu einem Anspruch der modernen Mathematik geworden, dass [[Satz (Mathematik)|Sätze]], die in der Mathematik aufgestellt werden, zumindest prinzipiell als Satz eines formalen Systems aufgefasst werden können müssen. Damit sie als gültig angesehen werden, müssen sie in diesem formalen System als beweisbar erkannt werden, unabhängig davon, inwiefern das System aus philosophischer Sicht als grundlegend anzusehen ist. Die verbreitetsten solcher Systeme zur Grundlegung der Mathematik sind dabei die auf der klassischen [[Prädikatenlogik erster Stufe]] basierenden (im Vergleich zu auf anderen Logiken basierenden). Solche arbeiten mit [[Variable (Logik)|Variable]]n, das sind frei wählbare [[Symbol]]e (im Sinne eines ''[[Token und Type|Tokens]]'', nicht im Sinne eines ''[[Bedeutung (Sprachphilosophie)|Bedeutungsträgers]]''), die in dem formalen System auf spezielle Weise eingesetzt werden können. Diese Weise ähnelt dabei intuitiven Vorstellungen davon, dass sie ''Objekte bezeichnen''. Beispielsweise wird ein formaler Ausdruck der Form <math>\exists ! x \ldots</math> als ''es existiert genau ein <math>x</math>, sodass…'' gelesen. Hat man einen Ausdruck dieser Form bewiesen, so lässt er sich auch auf bestimmte Weisen mit anderen Ausdrücken kombinieren, in denen das <math>x</math> verwandt werden kann, und man spricht von einer ''Definition des Objektes <math>x</math>''. Entscheidend für die Akzeptanz einer mathematischen Aussage, die von solchen Variablen Gebrauch macht, ist also nicht ein Bezug zu etwaigen Objekten, was auch immer sie sein mögen, sondern nur die korrekte Verwendung innerhalb des formalen Systems.

Um mit der Prädikatenlogik ein reichhaltiges System, in dem die meiste bekannte Mathematik betrieben werden kann, zu erhalten, kann man das System mit ''[[Prädikat (Logik)|Prädikat]]en'' und ''[[Axiom]]en'' ausgestalten. Am verbreitetsten sind dabei verschiedene Ansätze, die als ''mengentheoretische Grundlegungen'' bezeichnet werden. Sie führen in das formale System die [[Elementrelation]] <math>\in</math> ein. Statt von Objekten im obigen Sinne spricht man dann von Mengen und liest <math>x\in y</math> als ''die Menge <math>x</math> ist ein Element der Menge <math>y</math>''. Gewisse Axiome garantieren einen vielfältigen Umgang, das heißt vielfältige mögliche Beweise und damit u. a. auch vielfältige mögliche Definitionen im obigen Sinne. Die verbreitetste Wahl eines solchen ''[[Axiomensystem]]s'' ist die [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] mit [[Auswahlaxiom]] (ZFC). Im mathematischen Sprachgebrauch kommt es vor, dass man trotz einer Fundierung durch ZFC von „Objekten“ spricht, die sich in nicht-formalen Umschreibungen ähnlich wie die sogenannten Mengen verhalten, von denen sich jedoch herausstellt, dass sie bei der Formalisierung unmöglich auf dieselbe Weise wie sogenannte Mengen mit Variablen in Verbindung gesetzt werden können, da beim Versuch einer solchen Formalisierung unter Berücksichtigung der gewünschten Eigenschaften [[Kontradiktion|Widersprüche]] zu den Axiomen entstehen. Man spricht dann von einer ''[[echte Klasse|echten Klasse]]''. Diese kann auch ''mathematisches Objekt'' genannt werden, nicht aber ''Menge'', dieses Wort wird für obige engere Auffassung reserviert. Es existieren auch Axiomensysteme, etwa die [[Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]] und die [[Ackermann-Mengenlehre]], die eine Formalisierung des Begriffs einer echten Klasse zulassen, wobei echte Klassen dann auch zu mathematischen Objekten im obigen engeren Sinne werden.

== Siehe auch ==
* [[Mathematische Struktur]]
* [[Ontologie]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Charles Parsons|Titel=Mathematical Thoughts and Its Objects|Verlag=[[Cambridge University Press]]|Jahr=2008|ISBN=978-0-521-45279-3|Ort=Cambridge}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4169106-4}}

[[Kategorie:Philosophie der Mathematik]]

Mathematisches Objekt - Versionsgeschichte

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