~2026-20751-4: /* Entwicklung */

2026-01-10T20:58:50Z

Entwicklung

Neue Seite

Der '''mathematische Konstruktivismus''' ist eine Richtung der [[Philosophie der Mathematik]], die den [[Ontologie|ontologischen]] Standpunkt vertritt, dass die Existenz [[Mathematisches Objekt|mathematischer Objekte]] durch ihre Konstruktion zu [[Begründung|begründen]] ist. Der Konstruktivismus kann eine objektivistische (ein mathematisches Objekt existiert unabhängig vom Denken, seine Existenz wird aber erst durch seine Konstruktion begründet) und eine subjektivistische Form einnehmen (ein mathematisches Objekt entsteht als Produkt der konstruierenden Intuition des Mathematikers und wird von ihm dabei überhaupt erst hergestellt, [[Intuitionismus (Logik und Mathematik)|Intuitionismus]]). Mathematische Aussagen der Form „Es gibt …“ werden abgelehnt und – wenn möglich – ersetzt durch Sätze der Form „Wir können … konstruieren“ (bspw. „Es gibt irrationale Zahlen <math>a</math>, <math>b</math>, so dass <math>a^b</math> rational ist“ vs. „Wir können solche Zahlen <math>a</math>, <math>b</math> konstruieren“).<ref>{{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/|Constructive Mathematics|Douglas Bridges}}</ref>

== Entwicklung ==
Erste Ansätze zur konstruktiven Mathematik stammen aus dem [[Intuitionismus (Logik und Mathematik)|Intuitionismus]] von [[L. E. J. Brouwer]]. Weitere Ansätze wurden von [[Hermann Weyl]], [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]] und [[Errett Bishop]], [[Arend Heyting]], [[Solomon Feferman]], [[Paul Lorenzen]], [[Michael J. Beeson]] und [[Anne Troelstra|Anne Sjerp Troelstra]] entwickelt. Hermann Weyl hat zuerst einen Intuitionismus vertreten, der durch die husserlsche Phänomenologie geprägt ist, sich aber später vom Intuitionismus distanziert und sich dem Formalismus im Sinne des fichteschen Konstruktivismus (Wissenschaft als „symbolische Konstruktion“) angenähert.<ref> Sieroka, Umgebungen. Symbolischer Konstruktivismus im Anschluss an Hermann Weyl und Fritz Medicus. Chronos, Zürich 2010, [https://www.chronos-verlag.ch/node/20562 Verlagsseite zum Buch]</ref>

== Theorie ==
In einem [[Beweis (Mathematik)#Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise|konstruktiven Beweis]] werden die mathematischen Objekte und Lösungen von Problemen tatsächlich konstruiert.

Die ''konstruktive Mathematik'' vermeidet ausdrücklich nicht-konstruktive Beweise und kommt mit der [[Intuitionistische Logik|intuitionistischen Logik]] aus, die keine nicht-konstruktiven Beweise zulässt. Wird etwa (wie in einem [[Indirekter Beweis|indirekten Beweis]]) aus der Falschheit einer negierten Behauptung diese Behauptung selbst gefolgert, so wird dabei eine [[Gesetz der doppelten Negation|logische Schlussform]] verwendet, die nicht zur Konstruktion zwingt.<ref>Zum Verhältnis von Konstruktivismus und Intuitionismus siehe auch Matthias Baaz, Rosalie Iemhoff: {{Webarchiv|url=http://www.phil.uu.nl/~iemhoff/intui.ps|wayback=20080424170753|text=Konstruktivismus und Intuitionismus}} (PostScript; 267 kB) In: [https://www.oemg.ac.at/IMN/imn201.pdf ''Internationale Mathematische Nachrichten'' 201] (2006; PDF; 1,3 MB)</ref> Der wesentliche Kernpunkt des Konstruktivismus besteht also darin, nur jene Sätze zu formulieren, deren Objekte (und Problemlösungen) konstruierbar sind. Dieser Anspruch führt dazu, Anwendungen des [[Satz vom ausgeschlossenen Dritten|Satzes vom ausgeschlossenen Dritten]] sowie des [[Auswahlaxiom]]s abzulehnen, da mit beiden Sätzen<ref>Vgl.: [https://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/#3 Bridges], l. c.! Ohnehin benutzt bereits das Auswahlaxiom den Satz von ausgeschlossenen Dritten: N. D. Goodman, J. Myhill: ''Choice Implies Excluded Middle.'' In: ''Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik.'' 24, 1978, S. 461.</ref> auch Aussagen über mathematische Objekte (bzw. Lösungen) hergeleitet werden können, ohne anzugeben, wie diese konstruiert werden.

In der [[Arithmetik]] lässt sich immer beides durchführen, konstruktive Beweise und nicht-konstruktive Beweise. Die eigentliche Diskussion um die [[Grundlagen der Mathematik]] tritt erst in der [[Analysis]] auf:

[[Reelle Zahlen]] lassen sich auf der [[Grenzwert (Folge)#Grenzwert einer rationalen Zahlenfolge|Konvergenztheorie für rationale Zahlen]] aufbauend als [[Äquivalenzklasse]]n einer [[Reelle Zahlen#Konstruktion der reellen aus den rationalen Zahlen|geeignet gewählten]] [[Äquivalenzrelation]] auf den rationalen [[Cauchy-Folge]]n definieren. Eine [[irrationale Zahl]] ist dann also, ähnlich wie die ihnen zugrunde liegenden rationalen Zahlen, eine Menge.<ref>Bei Paul Lorenzen wird dagegen eine irrationale Zahl durch Abstraktion bestimmt. Von den Unterschieden zweier Folgen wird abgesehen, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist.</ref>

Beispiel:
: <math>a_1:=1,\quad a_{i+1}:=\frac{a_i}{2} + \frac{1}{a_i}</math>
Die Folge <math>\left(a_i\right)_{i\in \mathbb{N}}</math> hat als rationale Zahlenfolge ''keinen'' Grenzwert. Sie ist aber eine Cauchyfolge. Die Menge der zu <math>\left(a_i\right)_{i\in \mathbb{N}}</math> äquivalenten rationalen Cauchyfolgen, <math>\left[\left(a_i\right)_{i\in \mathbb{N}}\right]</math>, wird mit dem Symbol <math>\sqrt{2}</math> bezeichnet, erst einmal ohne dass die Wurzel eine Bedeutung hätte. Für Äquivalenzklassen werden dann die Verknüpfungen <math> + </math> und <math> \cdot </math> eingeführt und es zeigt sich, dass tatsächlich <math> \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \left[2\right] </math> gilt.

So lassen sich als Grundlage für eine konstruktivistische Analysis alle nötigen reellen Zahlen bestimmen. Da eine Menge mit ausschließlich konstruierten reellen Zahlen nie ''alle'' reellen Zahlen enthalten kann, betrachten Konstruktivisten immer nur konstruierbare Teilmengen der Menge ''aller'' reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> oder benutzen indefinite [[Quantor]]en (das Wort ''alle'' wird dann nicht wie in der konstruktiven Logik benutzt) zur Bestimmung von <math>\mathbb{R}</math>.

Da jede Konstruktionsanweisung eine endliche Folge von Anweisungen aus einer endlichen Menge <math>\Sigma</math> ist, gibt es eine bijektive Funktion <math>f\colon \Sigma^* \rightarrow \mathbb N</math>. (Dabei ist <math>\Sigma^*</math> die Menge aller [[Wort (Theoretische Informatik)|Wörter]] über <math>\Sigma</math>.) Also sind diese ''konstruktivistischen'' Mengen reeller Zahlen abzählbar. Aus Cantors [[Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis|Diagonalbeweis]] folgt, dass die jeweilige Menge konstruktivistisch-reeller Zahlen eine niedrigere [[Mächtigkeit (Mathematik)|Kardinalität]] hat als die Menge aller reellen Zahlen und somit eine echte Teilmenge von ihr ist. Konstruktivisten vertreten den Standpunkt, dass man nur konstruierbare [[reelle Zahlen]] für Anwendungen braucht, und fassen die cantorschen Diagonalargumente als Konstruktionsvorschrift auf, Mengen reeller Zahlen abzählbar zu erweitern.<ref>vergleiche: [[Paul Lorenzen]], Elementargeometrie</ref>

== Siehe auch ==
* [[Berechenbare Zahl]]
* [[Ultrafinitismus]]
* [[Erlanger Konstruktivismus]]

== Schriften konstruktiver Mathematiker ==
* Paul du Bois-Reymond: ''Allgemeine Functionentheorie''. Tübingen 1882.
* Michael Beeson: ''Foundations of Constructive Mathematics''. Springer-Verlag, Heidelberg 1985.
* Errett Bishop: ''Foundations of Constructive Analysis''. McGraw-Hill, New York 1967.
* D. Bridges, F. Richman: ''Varieties of Constructive Mathematics''. London Math. Soc. Lecture Notes 97, Cambridge: Cambridge University Press 1987.
* Leopold Kronecker: ''Vorlesungen über die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale.'' Netto, Eugen, Leipzig Teubner (Hrsg.): 1894
* P. Martin-Löf: ''Notes on Constructive Analysis''. Almquist & Wixsell, Stockholm 1968.
* Paul Lorenzen: ''Maß und Integral in der konstruktiven Analysis.'' In: [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN266833020_0054&DMDID=DMDLOG_0026&LOGID=LOG_0026&PHYSID=PHYS_0279 Mathematische Zeitung 54: 275. (online)]
* Paul Lorenzen: ''Einführung in die operative Logik und Mathematik''. Berlin / Göttingen / Heidelberg 1955.
* Paul Lorenzen: ''Metamathematik''. Mannheim 1962.
* Paul Lorenzen: ''Differential und Integral. Eine konstruktive Einführung in die klassische Analysis''. Frankfurt 1965.
* Paul Lorenzen: ''Konstruktive Wissenschaftstheorie''. Frankfurt 1974.
* Paul Lorenzen: ''Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie.'' Metzler, Stuttgart 2000, ISBN 3-476-01784-2.
* Paul Lorenzen: ''Elementargeometrie als Fundament der Analytischen Geometrie''. Mannheim / Zürich / Wien 1983, ISBN 3-411-00400-2.
* Peter Zahn: ''Ein konstruktiver Weg zur Masstheorie und Funktionalanalysis.'' 1978, ISBN 3-534-07767-9.

== Literatur ==
* J. J. O’Connor, E. F. Robertson: ''[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Bishop.html Errett Albert Bishop]. MacTutor History of Mathematics''. November 2004
* ''Konstruktivismus.'' In: Michel Serres, Nayla Farouki: ''Thesaurus der exakten Wissenschaften''. Zweitausendeins, Frankfurt am Main 2001, S. 508–509.
* Eric Schechter: ''[http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/papers/difficult.pdf Constructivism is difficult]'' (PDF; 74 kB). In: ''American Mathematical Monthly.'' 108, 2001, S. 50–54.
* [[Solomon Feferman]]: {{Webarchiv | url= http://math.stanford.edu/~feferman/papers/relationships.pdf | wayback= 20170311004302 | text=''Relationships between Constructive, Predicative and Classical Systems of Analysis.''}} (PDF; 199 kB). In: ''ibid.''  S. 221–236.

== Weblinks ==
* {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/mathematics-constructive/|Constructive Mathematics|[[Douglas Bridges]]}}
* {{IEP|https://www.iep.utm.edu/con-math/|Constructive Mathematics|Maarten McKubre-Jordens}}
* [https://www.mathematik.uni-marburg.de/~eckert/scripts/mengen.pdf Der Mengenbegriff in den Mathematiken – Diskussion der klassischen und konstruktivistischen Standpunkte] (PDF; 173 kB)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4165105-4}}

[[Kategorie:Philosophie der Mathematik]]
[[Kategorie:Theoretische Informatik]]
[[Kategorie:Konstruktivismus (Geistes- und Sozialwissenschaft)]]

Mathematischer Konstruktivismus - Versionsgeschichte

~2026-20751-4: /* Entwicklung */