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2026-04-20T17:24:50Z

Würde da ne Aufzählung setzen

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{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit „Strukturen“ als Sammelbegriff für verschiedene mathematische Objekte. Der Begriff der „Struktur“ wird auch in der mathematischen Logik verwendet. Siehe dafür [[Modelltheorie#Struktur|Modelltheorie]].}}
Eine '''[[Mathematik|mathematische]] Struktur''' ist eine [[Mengentheorie|Menge]] mit bestimmten Eigenschaften. Diese Eigenschaften ergeben sich durch eine oder mehrere [[Relation (Mathematik)|Relationen]] zwischen den [[Element (Mathematik)|Elementen]] ([[Struktur (erste Stufe)|Struktur erster Stufe]]) oder den [[Teilmenge]]n der Menge (Struktur zweiter Stufe).<ref>[[Nicolas Bourbaki]]: ''Die Architektur der Mathematik I.'' S. 165 f.</ref> Diese Relationen und damit auch die Struktur, die sie definieren, können von sehr verschiedener ''Art'' sein. Eine solche Art lässt sich durch gewisse [[Axiom|Axiome]] festlegen, die die definierenden Relationen zu erfüllen haben. Die wichtigsten großen ''Typen'', in die sich Strukturen [[Klassifikation|klassifizieren]] lassen, sind ''[[algebraische Struktur]]en'', ''[[relationale Struktur]]en'' wie insbesondere ''[[Ordnungsrelation|Ordnungsstrukturen]]'', sowie ''[[Topologischer Raum|topologische Strukturen]]''.<ref>[[Nicolas Bourbaki]]: ''Die Architektur der Mathematik II.'' S. 212–214.</ref> Viele wichtige Mengen besitzen sogar ''mehrfache Strukturen'', das heißt Mischstrukturen aus diesen Grundstrukturen.<ref>[[Nicolas Bourbaki]]: ''Die Architektur der Mathematik II.'' S. 215.</ref> Zum Beispiel haben [[Zahl#Zahlbereiche|Zahlbereiche]] sowohl eine algebraische, eine Ordnungs- als auch eine topologische Struktur, die miteinander verbunden sind. Daneben gibt es auch noch ''[[Geometrie|geometrische]] Strukturen''.

== Algebraische Strukturen ==
{{Hauptartikel|Algebraische Struktur}}

Eine [[algebraische Struktur]] oder kurz eine ''(allgemeine) Algebra'' ist eine Struktur (erster Stufe), die nur durch eine oder mehrere ''[[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfungen]]'' definiert ist (als [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] sind Verknüpfungen spezielle Relationen).

=== Strukturen mit einer inneren Verknüpfung: Gruppen und ähnliche ===
[[Datei:Algebraische Strukturen.svg|mini|Eine hierarchische Zusammenstellung der grundlegenden algebraischen Strukturen]]

Die fundamentalen algebraischen Strukturen besitzen eine oder zwei [[Zweistellige Verknüpfung|zweistellige innere Verknüpfungen]]. Die [[Taxonomie]], also die Klassifizierung dieser Strukturen, richtet sich danach, welche der folgenden [[Gruppenaxiome]] in der Menge <math>M</math> bezüglich der Verknüpfung <math>\circ</math> gelten:
: '''(E)''' Existenz und Eindeutigkeit (auch [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|Abgeschlossenheit]]): <math>\forall a, b \in M: a \circ b \in M.</math>
: '''(A)''' [[Assoziativgesetz]]: <math>\forall a, b, c \in M: (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c).</math>
: '''(N)''' Existenz eines [[Neutrales Element|neutralen Elements]]: <math>\exists e \in M: \forall a \in M: a \circ e = e \circ a = a.</math>
: '''(I)''' Existenz eines [[Inverses Element|inversen Elements]]: <math>\forall a \in M: \exists a^{-1} \in M: a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e.</math>
: '''(K)''' [[Kommutativgesetz]]: <math>\forall a, b \in M: a \circ b = b \circ a.</math>
: '''(Ip)''' [[Idempotenzgesetz]]: <math>\forall a \in M: a \circ a = a.</math>

Die folgenden Strukturen mit einer [[Zweistellige Verknüpfung|zweistelligen inneren Verknüpfung]] verallgemeinern oder spezialisieren den fundamentalen Begriff der ''Gruppe:''

{| class="wikitable"
|-
! Name !! Axiome !! Beschreibung
|-
| [[Magma (Mathematik)|Gruppoid]] (auch Magma) ||'''E''' || Eine Menge mit zweistelliger innerer Verknüpfung.
|-
| [[Halbgruppe]] || '''EA'''|| Ein Gruppoid mit [[Assoziativgesetz]]. Beispiel: <math>(\N,+)</math>.
|-
| Halbverband || '''EAKIp''' || Eine Halbgruppe mit [[Kommutativgesetz]] und [[Idempotenzgesetz]]. Beispiel: <math>(\N,\text{max}).</math>
|-
| [[Monoid]]|| '''EAN''' || Eine Halbgruppe mit einem [[Neutrales Element|neutralen Element]] <math>e</math>. Beispiel: <math>(\N_0,+)</math> mit <math>e = 0</math>.
|-
| [[Quasigruppe#Quasigruppe mit Inverseneigenschaft|Loop mit Inverseneigenschaft]] || '''ENI''' || Ein Gruppoid mit neutralem Element, in dem es zu jedem Element ein (eindeutiges) [[Inverses Element|Inverses]] gibt.
|-
| [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] || '''EANI''' || Gleichzeitig ein Monoid und eine Quasigruppe. Gruppen wurden Anfang des 19. Jahrhunderts zur Beschreibung von [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]] eingeführt und haben sich als fundamental für den gesamten Aufbau der Algebra erwiesen. Beispiele für Zahlbereiche, die eine Gruppe bilden: <math>(\Z,+)</math>, <math>(\Q\setminus\lbrace 0\rbrace,\cdot)</math>. Beispiele für Transformationsgruppen, die Symmetrien beschreiben: die [[Punktgruppe]]n zur Beschreibung von Molekülsymmetrien, die [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppen]] zur Beschreibung von [[Permutation]]en, die [[Lie-Gruppe]]n zur Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien.
|-
| [[Abelsche Gruppe]] || '''EANIK'''|| Eine Gruppe mit kommutativer Verknüpfung.
|}

=== Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen ===
==== Ringe, Körper und ähnliche ====
Die folgenden Strukturen haben ''zwei'' innere Verknüpfungen, die gewöhnlich als Addition und Multiplikation geschrieben werden; diese Strukturen sind von den Zahlbereichen (wie <math>\Z</math>, <math>\Q</math>, <math>\R</math>) abstrahiert, mit denen man gewöhnlich rechnet. Die [[Verträglichkeit (Mathematik)|Verträglichkeit]] der multiplikativen mit der additiven Verknüpfung wird durch folgende Axiome sichergestellt:
: '''(Dl)''' Links-[[Distributivgesetz]]: <math>\forall a, b, c \in M : a \cdot(b + c) = a \cdot b + a \cdot c</math>.
: '''(Dr)''' Rechts-[[Distributivgesetz]]: <math>\forall a, b, c \in M : (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c</math>.
: '''(D)''' [[Distributivgesetz]]: es gelten '''Dl''' und '''Dr'''.

Weitere Axiome, die beide Verknüpfungen betreffen, sind:
: '''(U)''' Die neutralen Elemente bezüglich der Addition und der Multiplikation, <math>0</math> und <math>1</math>, sind nicht gleich.
: '''(T)''' [[Nullteiler]]freiheit: Wenn <math>0</math> das neutrale Element der additiven Verknüpfung bezeichnet, dann folgt aus <math>a \cdot b = 0</math> für alle <math>a, b</math> aus <math>M</math>, dass <math>a = 0</math> oder <math>b = 0</math> gilt.
: '''(I*)''' Für jedes Element, mit Ausnahme des neutralen Elements der additiven Verknüpfung, existiert das inverse Element bezüglich der multiplikativen Verknüpfung. Formal: <math>\forall a \in M \setminus\lbrace 0\rbrace : \exists a^{-1} \in M: a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e</math>.

Die jeweils gültigen Axiome sind im Folgenden in der Reihenfolge (additive Axiome | multiplikative Axiome | gemischte Axiome) gekennzeichnet.

* [[Halbring (Algebraische Struktur)|Halbring]]: Axiome ('''EA'''|'''EA'''|'''D''') zwei Halbgruppen

* [[Dioid]]: Axiome ('''EAN'''|'''EAN'''|'''D''') zwei Monoide

* [[Fastring]]: Axiome ('''EANI'''|'''EA'''|'''Dr'''): Eine additive Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe und das Rechts-Distributivgesetz.

* [[Quasikörper|(Links-)Quasikörper]]: Axiome ('''EANIK'''|'''ENI'''|'''DlU'''): Eine additive abelsche Gruppe, eine multiplikative Loop.

* [[Ring (Algebra)|Ring]]: Axiome ('''EANIK'''|'''EA'''|'''D'''): Eine additive abelsche Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe.

* [[Kommutativer Ring]]: Axiome ('''EANIK'''|'''EAK'''|'''D'''): Ring mit kommutativer Multiplikation.

* [[Ring mit Eins]] oder unitärer Ring: Axiome ('''EANIK'''|'''EAN'''|'''D'''): Ring mit neutralem Element der Multiplikation.

* [[Nullteiler|Nullteilerfreier Ring]]: Axiome ('''EANIK'''|'''EA'''|'''DT'''): Ring, in dem aus <math>a \cdot b = 0</math> folgt, dass <math>a = 0</math> oder <math>b = 0</math>.

* [[Integritätsbereich]]: Axiome ('''EANIK'''|'''EANK'''|'''DTU'''): Kommutativer, unitärer, nullteilerfreier Ring mit <math>1 \neq 0</math>.

* [[Halbkörper]]: Axiome ('''EA'''|'''EANI*'''|'''D''') Halbring mit multiplikativer Gruppe auf der Menge (ohne die <math>0</math> falls diese existiert).

* [[Alternativkörper]]: Axiome ('''EANIK'''|'''ENI*'''|'''DTU'''): Unitär, nullteilerfrei, <math>1 \neq 0</math> und mit multiplikativem Inversen, außer für das Element <math>0</math>. Anstelle des [[Assoziativgesetz]]es tritt die [[Alternativität]] der Multiplikation.

* [[Fastkörper|(Rechts-)Fastkörper]]: Axiome ('''EANI(k)'''|'''EANI*'''|'''DrTU''') Fastring mit multiplikativer Gruppe auf der Menge ohne die <math>0</math>. Die Addition jedes Fastkörpers ist kommutativ.

* [[Schiefkörper]]: Axiome ('''EANIK'''|'''EANI*'''|'''DTU'''): Unitärer, nullteilerfreier Ring mit <math>1 \neq 0</math> und mit multiplikativem Inversen, außer für das Element <math>0</math>.

* [[Körper (Algebra)|Körper]]: Axiome ('''EANIK'''|'''EANI*K'''|'''DTU'''): Kommutativer Schiefkörper, Integritätsbereich mit multiplikativem Inversen, außer für das Element <math>0</math>. Jeder Körper ist auch ein [[Vektorraum]] (mit sich selbst als zugrunde liegendem Skalarkörper). Wenn man in dem Körper eine Norm oder ein Skalarprodukt definiert, erhält ein Körper dadurch die topologischen Eigenschaften eines normierten Raums oder eines Innenproduktraums. Siehe dazu unten. Beispiele: die Zahlbereiche <math>\Q</math>, <math>\R</math> und <math>\Complex</math>.

Wichtige Teilmengen sind:
* Ideale, s. [[Ideal (Mathematik)]].

==== Verbände, Mengenalgebren und ähnliche ====
Ein [[Verband (Mathematik)|Verband]] ist eine algebraische Struktur, deren zwei innere Verknüpfungen im allgemeinen Fall ''nicht'' als Addition und Multiplikation aufgefasst werden können:

: '''(V)''' Verschmelzungsgesetze (auch Absorptionsgesetze genannt): <math>a \cap (a \cup b) = a</math> und <math>a \cup (a \cap b) = a</math>.

Mit diesem Axiom erhalten wir als Strukturen:
* [[Verband (Mathematik)|Verband]]: Axiome ('''EAK''' (bezüglich <math>\cup</math>)|'''EAK''' (bezüglich <math>\cap</math>)|'''V''').
* [[Verband (Mathematik)|Distributiver Verband]]: Axiome ('''EAK''' (bezüglich <math>\cup</math>)|'''EAK''' (bezüglich <math>\cap</math>)|'''V,D''').

In einem distributiven Verband muss man nur eines der beiden Verschmelzungsgesetze fordern; das andere folgt dann aus dem Distributivgesetz.

Eine [[Boolesche Algebra]] ist ein Verband, in dem die beiden Verknüpfungen je ein neutrales Element haben, <math>a \cup 0 = a</math> und <math>a \cap 1 = a</math>, und in dem jedes Element ein bezüglich beider Verknüpfungen übereinstimmendes [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] hat,
: '''(C)''' Existenz eines Komplements: zu jedem <math>a</math> gibt es ein <math>\lnot a</math>, für das gilt <math>a \cup \lnot a = 1</math> und <math>a \cap \lnot a = 0</math>.
Beachte, dass das Komplement ''nicht'' inverses Element ist, da es das neutrale Element der jeweils ''anderen'' Verknüpfung liefert.

* [[Boolesche Algebra]]: Axiome ('''EAKN''' (bezüglich <math>\cup</math>)|'''EAKN''' (bezüglich <math>\cap</math>)|'''V,D,C''').
* [[Algebra (Mengensystem)|Mengenalgebra]]: eine Boolesche Algebra, deren Elemente Mengen sind, nämlich Teilmengen einer Grundmenge <math>X</math>, mit den Mengenoperatoren <math>\cup</math> und <math>\cap</math> als Verknüpfungen, mit dem Nullelement <math>\emptyset</math> und dem Einselement <math>X</math>.
* [[σ-Algebra]]: eine bezüglich abzählbar-unendlicher Verknüpfungen abgeschlossene Mengenalgebra.
* [[Maßtheorie|Messraum]] und [[Maßtheorie|Maßraum]] sind spezielle σ-Algebren.
* [[Borel-Algebra]] macht einen [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] zum [[Maßtheorie|Maßraum]]: sie ist die kleinste σ-Algebra, die eine gegebene Topologie enthält.

* Zweiwertige [[Boolesche Algebra]]: hat nur die Elemente <math>0</math> und <math>1</math>.

=== Strukturen mit innerer und äußerer Verknüpfung: Vektorräume und ähnliche ===

Diese Strukturen bestehen aus einem additiv geschriebenen Magma (zumeist einer abelschen Gruppe) <math>V</math> und einem Zahlbereich (einer Struktur mit zwei inneren Verknüpfungen, zumeist einem Körper) <math>K</math>, dessen [[Gruppenaktion]] auf <math>V</math> als Linksmultiplikation <math>\ast \colon K \times V \to V</math> oder als Rechtsmultiplikation <math>\ast \colon V \times K \to V</math> geschrieben und (von <math>V</math> aus gesehen) als ''äußere'' Verknüpfung aufgefasst wird. Die Elemente von <math>K</math> heißen [[Skalar (Mathematik)|Skalare]], die äußere Verknüpfung dementsprechend auch [[Skalarmultiplikation]]. Sie genügt den folgenden Verträglichkeitsaxiomen (in Notation für Linksmultiplikation):
: '''(AL)''' Assoziativgesetz: für <math>a, b</math> aus <math>K</math> und <math>v</math> aus <math>V</math> gilt <math>(a \cdot b) \ast v = a \ast (b \ast v)</math>.
: '''(DL)''' Distributivgesetze: für <math>a, b</math> aus <math>K</math> und <math>v, w</math> aus <math>V</math> gilt <math>a \ast (v + w) = a \ast v + a \ast w</math> und <math>(a + b) \ast v = a \ast v + b \ast v</math>.

Damit erhalten wir folgende Strukturen in der Notation (<math>V</math> | <math>K</math> | Verträglichkeitsaxiome):
* [[Modul (Mathematik)|Linksmodul]]: (Abelsche Gruppe | Ring | '''AL,DL''').
* [[Modul (Mathematik)|Rechtsmodul]]: (Abelsche Gruppe | Ring | '''AR,DR''') mit Skalarmultiplikation von rechts statt von links.
* [[Modul (Mathematik)|Modul]]: (Abelsche Gruppe | kommutativer Ring | '''ALR,DLR''') mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.
* [[Vektorraum#Verallgemeinerungen|Linksvektorraum]]: (Abelsche Gruppe | Schiefkörper | '''AL,DL''').
* Rechtsvektorraum: (Abelsche Gruppe | Schiefkörper | '''AR,DR''') mit Skalarmultiplikation von rechts statt von links.
* [[Vektorraum]]: (Abelsche Gruppe | Körper | '''ALR,DLR''') mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.

=== Zusätzliche algebraische Struktur auf Vektorräumen ===
[[Datei:Beziehungen zwischen mathematischen Räumen.svg|mini|Beziehungen zwischen mathematischen Räumen]]

* [[Algebra über einem Körper|K-Algebra]]: Algebra über einem Körper: Vektorraum mit zusätzlicher bilinearer Verknüpfung, <math>[\cdot, \cdot] \colon V \times V \rightarrow V</math>.

* [[Lie-Algebra]]: Vektorraum mit der [[Lie-Klammer]] als zusätzlicher antisymmetrischer bilinearen Verknüpfung, <math>[\cdot, \cdot] \colon V \times V \rightarrow V</math>.

* [[assoziative Algebra]]: Vektorraum mit einer assoziativen bilinearen Verknüpfung, <math>V \times V \rightarrow V</math>.

Die im Folgenden eingeführten inneren Verknüpfungen [[Skalarprodukt]] und [[Norm (Mathematik)|Norm]] verhelfen einem Vektorraum (das kann insbesondere auch ein als Vektorraum aufzufassender Körper sein) zu einer topologischen Struktur.

* Ein [[Bilinearraum]] ist ''fast'' ein Innenproduktraum (siehe unten) – außer dass das innere Produkt nicht positiv definit sein muss. Wichtiges Beispiel ist der [[Minkowski-Raum]] der speziellen Relativitätstheorie.

* [[Innenproduktraum]]: Vektorraum mit einem [[Skalarprodukt]] (einer positiv definiten [[Bilinearform]] nach <math>\R</math> beziehungsweise [[Sesquilinearform]] nach <math>\Complex</math>) <math>\langle \cdot, \cdot \rangle \colon V \times V \rightarrow K</math>. Der [[Euklidischer Raum|Euklidische Raum]] <math>\R^n</math> ist ein spezieller Innenproduktraum.

* [[unitärer Raum]]: Innenproduktraum über <math>\Complex</math>, dessen Skalarprodukt eine [[Hermitesche Sesquilinearform|Hermitesche]] Form ist.

* [[normierter Raum]]: Vektorraum mit einer [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\| \cdot \| \colon V \rightarrow K</math>.

* [[lokalkonvexer Raum]]: Vektorraum mit einem System <math>\mathcal{P}</math> von [[Halbnorm]]en. Jeder normierte Raum ist ein lokalkonvexer Raum mit <math>\mathcal{P}=\{\|\cdot\|\}</math>.

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! [[Vektorraum]] mit !! allgemein !! + Vollständigkeit
|-
|class="hintergrundfarbe5" | [[Metrischer Raum|Metrik]] || [[metrischer Raum]] || [[vollständiger Raum]]
|-
|class="hintergrundfarbe5" | [[Norm (Mathematik)|Norm]] || [[normierter Raum]] || [[Banachraum]]
|-
|class="hintergrundfarbe5" | [[Skalarprodukt]] || [[Prähilbertraum]] (Innenproduktraum) || [[Hilbertraum]]
|}

Nach unten und nach rechts nimmt die Spezialisierung der Vektorräume zu. Die in der Tabelle unten stehenden Vektorräume weisen die Eigenschaften der darüberstehenden auf, da ein Skalarprodukt eine [[Skalarproduktnorm|Norm induziert]] <math>\left\| v \right\|=\sqrt{\left\langle v,v \right\rangle }</math> und eine Norm einen Abstand <math>d(v,w)=\left\| v-w \right\|</math>.

== Ordnungsstrukturen ==

Eine Ordnungsstruktur ist eine Struktur (erster Stufe), die mit einer ''[[Ordnungsrelation]]'' ausgestattet ist, d. h., sie ist eine ''relationale Struktur'' oder kurz ein ''Relativ''.<ref>Eng verwandt mit dem Begriff der ''relationalen Struktur'' ist der des [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]] im [[Graphentheorie|graphentheoretischen]] Sinn. Die Trägermenge wird dort als Knotenmenge bezeichnet, die Stelle der Relation nimmt die Kantenmenge ein. Graphen sind, wenn nicht anders gesagt, finit.</ref>

* [[Quasiordnung]]: [[Reflexive Relation|reflexiv]] und [[Transitive Relation|transitiv]]. Beispiel: Für <math>a, b</math> aus <math>\Complex</math> gilt <math>a~R~b</math> falls <math>|a| \leq |b|</math> (s. [[Absoluter Betrag|Absolutbetrag]]).

* [[Ordnungsrelation|Teilordnung]] (partielle Ordnung, Halbordnung. Achtung: manchmal einfach ''Ordnung'' genannt): reflexiv, [[Antisymmetrische Relation|antisymmetrisch]] und transitiv. Beispiele: Die [[Mengenlehre|Teilmengenrelation]] in einer [[Potenzmenge]]; die Relation „komponentenweise kleinergleich“ auf dem [[Vektorraum]] <math>\R^n</math>.

* [[strenge Halbordnung]]: irreflexiv und transitiv. Beispiele: Die Relation „Echte Teilmenge“ in einer [[Potenzmenge]]; die Relation „komponentenweise kleinergleich, aber nicht gleich“ auf dem [[Vektorraum]] <math>\R^n</math>.

* [[totale Ordnung]] (lineare Ordnung): totale Halbordnung. Beispiel: „Kleinergleich“ auf <math>\Z</math>.

* [[strenge Totalordnung]]: total, irreflexiv und transitiv. Beispiel: „Kleiner“ auf <math>\Z</math>.

* [[Fundierte Menge|fundierte Ordnung]]: eine Halbordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. Beispiel: Die Relation „Gleich oder Element von“ in einer Menge von Mengen.

* [[Wohlordnung]]: totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. Beispiel: „Kleiner“ auf <math>\N</math>.

== Topologische Strukturen ==

Der geometrische Begriff des ''Abstands'' (der ''Metrik'') ermöglicht es, in ''[[Metrischer Raum|metrischen Räumen]]'' das grundlegende Konzept der modernen [[Analysis]], die ''[[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]]'', zu handhaben. ''[[Topologischer Raum|Topologische Räume]]'' sind aus dem Bemühen hervorgegangen, die Konvergenz in einem allgemeinen Sinne zu behandeln (jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird). Die verschiedenen topologischen Räume, sie lassen sich durch ihre möglichen lokalen Strukturen [[Taxonomie|klassifizieren]], erhalten ihre Struktur durch die Auszeichnung bestimmter Teilmengen als ''offen'' oder, [[Äquivalenzrelation|äquivalent]] dazu, als ''abgeschlossen'' (Strukturen zweiter Stufe).

{{Siehe auch|Topologie (Mathematik)|topologischer Raum|Trennungsaxiom}}

== Geometrische Strukturen ==

Eine geometrische Struktur kommt durch Eigenschaften wie der [[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz]] von Figuren zum Ausdruck. Ihre Klassifikation nach den gültigen Axiomen (vergleiche die Artikel [[Geometrie]], [[Euklidische Geometrie]], [[Euklids Elemente]]):

* [[Projektive Geometrie]]
* [[Affine Geometrie]]
* [[Absolute Geometrie]]: Jede Geometrie, in der die ersten vier der fünf Euklidischen Postulate gelten (genauer: die [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie|Hilbertschen Axiome]] mit Ausnahme des Parallelenaxioms).
* [[Euklidische Geometrie]]: Absolute Geometrie, in der das [[Parallelenpostulat]] gilt. Oder auch: Geometrie, in der alle Hilbertschen Axiome gelten.
* [[Nichteuklidische Geometrie]]: Absolute Geometrie, in der das [[Parallelenpostulat]] nicht gilt. Oder auch: Geometrie, in der die Hilbertschen Axiome der Gruppen I, II, III und V sowie die Negation des Parallelenaxioms gelten.

Ihre Klassifikation nach den [[Transformationsgruppe]]n, unter denen bestimmte geometrische Eigenschaften invariant bleiben ([[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]], [[Erlanger Programm]]):

* [[Projektive Geometrie]], Invarianten: Punkt, Gerade.
* [[Affine Geometrie]], zusätzliche Invarianten: Parallelität, [[Teilverhältnis]], Flächeninhaltsverhältnis.
* [[Ähnlichkeit (Geometrie)|Ähnlichkeitsgeometrie]], zusätzliche Invarianten: Streckenverhältnis, Winkel.
* [[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenzgeometrie]], zusätzliche Invariante: Streckenlänge.

== Zahlbereiche ==
{{Hauptartikel|Zahl}}
Zahlbereiche sind die Mengen, mit denen man gewöhnlich rechnet. Grundlage ist die Menge der natürlichen Zahlen. Als algebraische Verknüpfung dienen Addition und Multiplikation. Indem man fordert, dass auch die Umkehroperationen [[Subtraktion]] und Division stets möglich sein sollen, erweitert man die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge der ganzen Zahlen und zur Menge aller Brüche. Die reellen Zahlen werden als Grenzwerte von Zahlenfolgen eingeführt; sie ermöglichen (unter anderem) das Wurzelziehen aus beliebigen positiven Zahlen. Die Wurzeln aus negativen Zahlen führen auf die komplexen Zahlen.

* Die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\N</math> dient dem Abzählen und steht ganz am Anfang des axiomatischen Aufbaus der Mathematik. Im Folgenden soll die Null <math>0</math> ''nicht'' in <math>\N</math> enthalten sein, die entgegengesetzte Konvention ist aber auch üblich. <math>(\N, +)</math> und <math>(\N, \cdot)</math> sind [[kommutativ]]e [[Halbgruppe]]n. Addition und Multiplikation sind, wie auch bei allen anderen Zahlbereichen, [[Distributivgesetz|distributiv]].

* Die Menge der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\Z</math> entsteht aus <math>\N</math>, indem man die Null als [[neutrales Element]] sowie negative Zahlen als [[Inverses Element|Inverse]] bezüglich der Addition konstruiert. <math>(\Z, +)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]] mit dem neutralen Element <math>0</math> und <math>(\Z, \cdot)</math> ist ein kommutatives [[Monoid]] mit dem neutralen Element <math>1</math>. <math>(\Z, +, \cdot)</math> ist ein kommutativer [[Ring (Algebra)|Ring]] mit Eins.

* Die Menge der positiven [[Bruchrechnung#Bruch und Bruchzahl|Brüche]] <math>\Q^+</math> entsteht aus <math>\N</math>, indem man Bruchzahlen als [[Inverses Element|Inverse]] bezüglich der Multiplikation konstruiert. <math>(\Q^+, \cdot)</math> ist daher eine [[Grothendieck-Gruppe|Gruppe]] und <math>(\Q^+, +)</math> ist eine Halbgruppe (beide kommutativ).

* Die Menge der Brüche oder [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q</math> entsteht aus <math>\Q^+</math> durch Hinzunahme des neutralen Elements und der Inversen bezüglich der Addition oder aus <math>\Z</math> durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der Multiplikation. <math>(\Q, +)</math> und <math>(\Q \setminus \{0\}, \cdot)</math> sind abelsche Gruppen, Addition und Multiplikation sind [[Distributivgesetz|distributiv]]. <math>\Q</math> ist ein [[Körper (Algebra)|Körper]].

* Die Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math> entsteht aus <math>\Q</math> durch topologische [[Vollständiger Raum|Vervollständigung]]: eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse rationaler [[Cauchy-Folge]]n. <math>\R</math> ist ein [[Körper (Algebra)|Körper]].

* Die Menge der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math> besteht aus Paaren reeller Zahlen <math>(a,b)</math>, die in der Schreibweise <math>a+bi</math> mit <math>i^2=-1</math> den üblichen Rechengesetzen genügen. In <math>\Complex</math> ist jede [[algebraische Gleichung]] auflösbar. <math>\Complex</math> ist ein [[Körper (Algebra)|Körper]].

* [[Quaternion]]en, [[Cayley-Zahl]]en und darüber hinaus erweiterte Zahlenbereiche sind nicht mehr kommutativ bezüglich der Multiplikation.

Wichtig sind ferner einige eingeschränkte Zahlbereiche:

* Der [[Restklassenring]] <math>\Z_m</math> ist die Einschränkung der ganzen Zahlen auf die Menge <math>\{ 0, 1, \ldots , m-1 \}</math>. Alle Rechenoperationen werden [[modulo]] <math>m</math> ausgeführt. <math>\Z_m</math> ist ein [[Ring (Algebra)|Ring]]; wenn <math>m</math> eine [[Primzahl]] ist, sogar ein [[Körper (Algebra)|Körper]]. In maschinennahen Programmiersprachen werden vorzeichenlose ganze Zahlen als Restklassenringe zum Beispiel mit <math>m=2^{16}</math> oder <math>m=2^{32}</math> dargestellt.

== Literatur ==

* {{Literatur
|Autor=[[Nicolas Bourbaki]]
|Titel=Die Architektur der Mathematik I
|Sammelwerk=Physikalische Blätter
|Band=17
|Nummer=4
|Datum=1961
|Seiten=161-166
|DOI=10.1002/phbl.19610170403}}
* {{Literatur
|Titel=Die Architektur der Mathematik II
|Sammelwerk=Physikalische Blätter
|Band=17
|Nummer=5
|Datum=1961
|Seiten=212-218
|Originaltitel=Les grands courants de la pensée mathématique
|Originalsprache=fr
|Originaljahr=1948
|Originalort=Marseille
|Übersetzer=Karl Strubecker, Helga Wünsch
|DOI=10.1002/phbl.19610170503}}
* {{Literatur
|Autor=Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder
|Titel=dtv-Atlas Mathematik
|Band=Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie
|Auflage=11.
|Verlag=Deutscher Taschenbuchverlag
|Ort=München
|Datum=1998
|ISBN=3-423-03007-0
|Seiten=36–37}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Mathematical structures|Mathematische Struktur}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4183783-6}}

[[Kategorie:Mathematische Struktur| ]]
[[Kategorie:Liste (Mathematik)|Mathematische Strukturen]]

Mathematische Struktur - Versionsgeschichte

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