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2026-04-01T19:41:31Z

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Die '''mathematische Logik''', auch '''symbolische Logik''' oder veraltet ''Logistik,'' ist ein Teilgebiet der [[Mathematik]], insbesondere als Methode der [[Metamathematik]] und eine Anwendung der modernen [[Formale Logik|formalen Logik]]. Oft wird sie wiederum in die Teilgebiete [[Modelltheorie]], [[Beweistheorie]], [[Mengenlehre]] und [[Rekursionstheorie]] aufgeteilt. Forschung im Bereich der mathematischen Logik hat zum Studium der [[Grundlagen der Mathematik]] beigetragen und wurde auch durch dieses motiviert. Infolgedessen wurde sie auch unter dem Begriff ''Metamathematik'' bekannt.

Ein Aspekt der Untersuchungen der mathematischen Logik ist das Studium der Ausdrucksstärke von formalen Logiken und formalen [[Beweis (Mathematik)|Beweissystemen]]. Eine Möglichkeit, die [[Komplexität]] solcher Systeme zu messen, besteht darin, festzustellen, was damit bewiesen oder definiert werden kann.

== Geschichte ==
[[Datei:Young frege.jpg|mini|hochkant|Gottlob Frege (1878)]]
[[Datei:1925 kurt gödel.png|mini|hochkant|Kurt Gödel (1925)]]

Der Begriff ''mathematische Logik'' wurde von [[Giuseppe Peano]] für symbolische Logik benutzt. Diese ist in ihrer klassischen Version mit der Logik von [[Aristoteles]] vergleichbar, wird aber mit Hilfe von Symbolen anstelle von [[Natürliche Sprache|natürlicher Sprache]] formuliert. Mathematiker mit einem philosophischen Hintergrund, wie [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] oder [[Johann Heinrich Lambert]], versuchten bereits früh, die Operationen der formalen Logik mit einem symbolischen oder algebraischen Ansatz zu behandeln, aber ihre Arbeiten blieben weitgehend isoliert und unbekannt. In der Mitte des 19. Jahrhunderts präsentierten [[George Boole]] und [[Augustus de Morgan]] einen systematischen Weg, die Logik zu betrachten. Die traditionelle aristotelische Doktrin der Logik wurde reformiert und vervollständigt, und daraus erwuchs ein angemessenes Instrument, um die [[Grundlagen der Mathematik]] zu untersuchen. Es wäre irreführend zu behaupten, dass sämtliche grundlegenden Kontroversen aus der Zeit von 1900 bis 1925 geklärt seien, aber die [[Philosophie der Mathematik]] wurde durch die neue Logik zu großen Teilen bereinigt.

Während die griechische Entwicklung der Logik großen Wert auf Argumentationsformen legte, kann man die heutige mathematische Logik als ''kombinatorisches Studium von Inhalten'' bezeichnen. Darunter fallen sowohl das [[Syntax|Syntaktische]] (die Untersuchung von formalen Zeichenketten als solchen) als auch das Semantische (die Belegung solcher Zeichenketten mit Bedeutung).

Historisch bedeutende Publikationen sind die ''[[Begriffsschrift]]'' von [[Gottlob Frege]], ''[[Studies in Logic]]''<ref>[https://archive.org/details/studiesinlogic00peiruoft Studies in Logic] auf [[archive.org]]</ref> herausgegeben von [[Charles Sanders Peirce]], ''[[Principia Mathematica]]'' von [[Bertrand Russell]] und [[Alfred North Whitehead]] sowie ''[[Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I]]'' von [[Kurt Gödel]].

== Formale Logik ==
Die mathematische Logik beschäftigt sich häufig mit mathematischen Konzepten, die durch formale logische Systeme ausgedrückt werden. Am weitesten verbreitet ist das System der [[Prädikatenlogik erster Stufe]] sowohl auf Grund seiner Anwendbarkeit im Bereich der Grundlagen der Mathematik als auch wegen seiner Eigenschaften wie [[Vollständigkeit (Logik)|Vollständigkeit]] und [[Korrektheit (Logik)|Korrektheit]]. Die [[Aussagenlogik]], stärkere klassische Logiken wie [[Prädikatenlogik zweiter Stufe|Prädikatenlogik der zweiten Stufe]] oder nicht-klassische Logiken wie [[intuitionistische Logik]] werden ebenfalls untersucht.

== Teilgebiete der mathematischen Logik ==
Das ''Handbook of Mathematical Logic'' (1977) unterteilt die mathematische Logik in folgende vier Gebiete:
* ''[[Mengenlehre]]'' ist das Studium der [[Menge (Mathematik)|Mengen]], die abstrakte Kollektionen von Objekten sind. Während einfache Konzepte wie [[Teilmenge]] oft im Bereich der [[Naive Mengenlehre|naiven Mengenlehre]] behandelt werden, arbeitet die moderne Forschung im Bereich der [[Axiomatische Mengenlehre|axiomatischen Mengenlehre]], die logische Methoden benutzt, um festzustellen, welche mathematischen Aussagen in verschiedenen formalen Theorien, wie beispielsweise der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] (ZFC) oder [[New Foundations]], beweisbar sind.
* ''[[Beweistheorie]]'' ist das Studium von formalen Beweisen und verschiedenen logischen Deduktionssystemen. Beweise werden als mathematische Objekte dargestellt, um sie mittels mathematischer Techniken untersuchen zu können. Frege beschäftigte sich mit mathematischen Beweisen und formalisierte den Begriff des Beweises.
* ''[[Modelltheorie]]'' ist das Studium der Modelle von formalen Theorien. Die Gesamtheit aller Modelle einer bestimmten Theorie nennt man „[[elementare Klasse]]“. Die klassische Modelltheorie versucht, die Eigenschaften von Modellen einer bestimmten elementaren Klasse zu bestimmen, oder ob bestimmte Klassen von Strukturen elementar sind. Die Methode der [[Quantorenelimination]] wird benutzt, um zu zeigen, dass die Modelle von gewissen Theorien nicht zu kompliziert sein können.
* ''[[Rekursionstheorie]],'' auch ''Berechenbarkeitstheorie'' genannt, ist das Studium von [[Berechenbare Funktion|berechenbaren Funktionen]] und den [[Turinggrad]]en, welche die nicht berechenbaren Funktionen nach dem Grad ihrer Nicht-Berechenbarkeit klassifizieren. Weiterhin umfasst die Rekursionstheorie auch das Studium von verallgemeinerter Berechenbarkeit und Definierbarkeit.

Die Grenzen zwischen diesen Gebieten und auch zwischen der mathematischen Logik und anderen Bereichen der Mathematik sind nicht immer genau definiert. Zum Beispiel ist der [[Unvollständigkeitssatz]] von Gödel nicht nur in der Rekursionstheorie und der Beweistheorie von größter Bedeutung, sondern führte auch zum [[Satz von Löb]], der in der [[Modallogik]] wichtig ist. Auch die [[Kategorientheorie]] benutzt viele formale, axiomatische Methoden, die denen der mathematischen Logik sehr ähnlich sind. Allerdings wird Kategorientheorie üblicherweise nicht als Teil der mathematischen Logik angesehen.

== Verbindungen zur Informatik ==
Es gibt viele Verbindungen zwischen der mathematischen Logik und der [[Informatik]]. Viele Pioniere der Informatik, wie etwa [[Alan Turing]], prägten die Disziplin als Mathematiker und Logiker. Teile der mathematischen Logik werden im Bereich der [[Theoretische Informatik|theoretischen Informatik]] behandelt. Insbesondere die [[deskriptive Komplexitätstheorie]] stellt einen engen Zusammenhang zwischen der mathematischen Logik und der in der theoretischen Informatik behandelten [[Komplexitätstheorie]] her. Die endliche Modelltheorie ist eng mit der Automatentheorie verbunden, da nach dem Satz von Büchi eine Sprache genau dann in MSO definierbar ist, wenn sie regulär ist.

== Wichtige Resultate ==
* Der [[Satz von Löwenheim-Skolem]] (1919) besagt, dass eine Theorie in einer abzählbaren [[Formale Sprache|Sprache]] der ersten Ordnung, die ein unendliches Modell besitzt, Modelle jeder unendlichen Kardinalität besitzt.
* Der [[Vollständigkeitssatz]] (1929) (von [[Kurt Gödel|Gödel]]) zeigte die Äquivalenz von semantischem und syntaktischem Folgern in der klassischen Prädikatenlogik der ersten Stufe.
* Der [[Unvollständigkeitssatz]] (1931) (von Gödel) zeigte, dass kein genügend starkes formales System seine eigene Konsistenz beweisen kann.
* Die algorithmische Unlösbarkeit des [[Entscheidbar|Entscheidungsproblems]], von [[Alan Turing]] und [[Alonzo Church]] 1936 unabhängig entdeckt, zeigte, dass es kein Computerprogramm gibt, das korrekt entscheidet, ob eine beliebige mathematische Aussage wahr ist.
* Die Unabhängigkeit der [[Kontinuumshypothese]] von [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZFC]] zeigte, dass sowohl ein Beweis als auch eine Widerlegung der Hypothese unmöglich sind. Die Tatsache, dass ZFC zusammen mit der Kontinuumshypothese konsistent ist, falls ZFC konsistent ist, wurde von Gödel 1940 nachgewiesen. Die Tatsache, dass die Negation der Kontinuumshypothese zusammen mit ZFC ebenfalls konsistent ist (falls ZFC konsistent ist), wurde 1963 von [[Paul Cohen (Mathematiker)|Paul Cohen]] bewiesen.
* Die algorithmische Unlösbarkeit von [[Hilberts zehntes Problem|Hilberts zehntem Problem]] wurde 1970 von [[Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch|Juri Matijassewitsch]] gezeigt. Er hat bewiesen, dass es kein Computerprogramm gibt, das korrekt entscheidet, ob ein Polynom in mehreren Variablen mit ganzzahligen Koeffizienten ganzzahlige Nullstellen hat.

== Literatur ==
* {{Literatur |Titel=Handbook of mathematical logic |Hrsg=[[Jon Barwise]] |Verlag=North-Holland Publ. Co |Ort=Amsterdam |Datum=1977 |Reihe=Studies in logic and the foundations of mathematics |BandReihe=90 |ISBN=0-444-86388-5}}
* {{Literatur |Autor=[[Heinz-Dieter Ebbinghaus]], Jörg Flum, Wolfgang Thomas |Titel=Einführung in die mathematische Logik |Auflage=6. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-58028-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[Wolfgang Rautenberg]]
|Titel=Einführung in die Mathematische Logik
|Auflage=3.
|Verlag=Vieweg+Teubner
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2008
|ISBN=978-3-8348-0578-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Anne Troelstra|Anne S. Troelstra]], [[Helmut Schwichtenberg]] |Titel=Basic proof theory |Auflage=2. |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=2000 |Reihe=Cambridge tracts in theoretical computer science |BandReihe=43 |ISBN=0-521-77911-1}}
* {{Literatur |Autor=Christopher C. Leary, Lars Kristiansen |Titel=A friendly introduction to mathematical logic |Auflage=2. |Verlag=SUNY Geneseo |Ort=New York |Datum=2015 |ISBN=978-1-942341-07-9 |Online=https://milneopentextbooks.org/download/friendly-intro-2e-update19-pdf/ |Format=PDF |KBytes=2176}}

== Weblinks ==
{{Wikiversity|Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)|Eine Einführung in die mathematische Logik}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4037951-6}}

[[Kategorie:Mathematische Logik| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Mathematische Logik - Versionsgeschichte

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