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Ein '''Materialmodell''', '''Material-''' oder '''Stoffgesetz''', ist eine [[Quantifizierung]] [[physik]]alischer [[Stoffeigenschaft|Materialeigenschaft]]en.

Materialeigenschaften konstatieren die Fähigkeit eines [[Werkstoff|Materials]] auf physikalische Einflüsse (wie [[Kraft|Kräfte]], [[Wärme]]<nowiki/>zufuhren oder [[Elektrischer Strom|Ströme]]) zu reagieren. Materialmodelle sind unabhängig von der Form eines Körpers und meist experimentell motiviert. Ziel eines Materialmodells ist, vorhersagen zu können, wie und in welchem Maß das Material auf äußere Einflüsse reagiert. Als [[Mathematisches Modell|mathematische Modelle]] bilden sie die Zusammenhänge mathematisch ab, die für ihre Urheber, die Modellersteller, relevant sind.

Auch wenn sie oftmals als ''Materialgesetze'' bezeichnet werden, haben Materialmodelle ''nicht'' die allgemeine Gültigkeit [[Physikalisches Gesetz|physikalischer Gesetze]], denn für dasselbe Material können verschiedene Modelle von verschiedenen Modellerstellern vorliegen, die sich in folgenden Punkten unterscheiden:
* dem Anwendungsgebiet
* den betrachteten Abhängigkeiten
* dem Berechnungs[[aufwand]]
* der [[Genauigkeit]]
* dem Gültigkeitsbereich.
Die (unabhängigen) Einflussgrößen nennt man ''[[Konstitutiv]]variable'' und die davon abhängigen Reaktionen eines Materials ''Materialgrößen'' oder ''Materialantworten'' ({{enS|material response}}). Die Verknüpfung der beiden erfolgt in Gleichungen, die Material- oder ''Konstitutivgleichungen'' genannt werden. Des Weiteren können auch [[Ungleichung]]en auftreten, welche die verschiedene Verhaltensmodi (wie [[Plastizität (Physik)|plastisches Fließen]], [[Phasenübergang|Phasenübergänge]]) des Materials voneinander trennen.

Der denkbar einfachste Zusammenhang zwischen Materialgröße und Konstitutivvariable ist die [[Proportionalität]]: die Materialgröße ist gleich einer Konstitutivvariable multipliziert mit einer Konstanten. Ein solcher Zusammenhang hat oftmals definitorischen Charakter für eine Stoffeigenschaft, wie die Beispiele [[Spezifische Wärmekapazität]], [[Permittivität]], [[Permeabilität (Magnetismus)]] auf der Seite [[Materialkonstante]] zeigen.

Materialeigenschaften und daher auch die Materialkonstanten hängen immer von der Temperatur ab, was man mit [[Temperaturkoeffizient]]en berücksichtigen kann. Werden im betrachteten Berechnungsfall weitere oder komplexere Abhängigkeiten als relevant erachtet, so tritt der Modellersteller auf den Plan, der dann ein für den betrachteten Fall geeignetes Modell erstellt (sofern es das noch nicht gibt). Ursachen der Komplexität können [[Nichtlinearität]]en, [[Anisotropie|Mehrachsigkeit]] oder Abhängigkeit von mehreren Konstitutivvariablen sein.

Die [[Kontinuumsmechanik]] hat einen eigenen Wissensbereich, die [[Kontinuumsmechanik #Materialtheorie|Materialtheorie]], die sich mit der [[Klassifizierung]] von Materialien und Materialeigenschaften und der Erstellung von Materialmodellen beschäftigt. Die [[Materialwissenschaft und Werkstofftechnik]] entwickelt Materialmodelle aus dem Bedürfnis heraus, die von ihr entwickelten Werkstoffe möglichst genau zu charakterisieren.

== Gültigkeitsbereich ==
Materialmodelle haben eine eingeschränkte [[Gültigkeit]], weil sie vom Modellersteller ausgeklammerte Einflüsse nicht berücksichtigen. Bei der Anwendung der Modelle ist darauf zu achten, ob die dem Modell zu Grunde liegenden [[Hypothese|Annahme]]n zutreffen, z. B.:
* Umgebungsbedingungen wie [[Temperatur]] oder [[Druck (Physik)|Druck]]
* Zeitspannen, über die das Materialverhalten beobachtet werden soll (Langzeit- oder Kurzzeitverhalten)
* [[Änderungsrate]]n der Konstitutivvariablen (statische, quasi-statische, moderate Raten oder Hochgeschwindigkeitsbereiche)
* Größenskala der [[Prüfkörper|Materialproben]] (Makro-, Meso- oder Mikroebene der Betrachtung)
* Chemischer Zustand: Materialien können durch [[Korrosion]] ihre Eigenschaften verändern.

== Physikalischer Rahmen ==
Materialien unterliegen einerseits den physikalischen Gesetzen wie [[Massenerhaltung|Massen-]], [[Impulserhaltung|Impuls-]] und [[Energieerhaltung]] oder den [[Maxwellsche Gleichungen|Maxwellschen Gleichungen]]. Andererseits folgt eine Materialprobe geometrischen Bindungen, die das Fachgebiet der [[Kinematik]] sind; diese beschreibt die möglichen Bewegungen und daraus resultierende [[Verformung]]en und [[Dehnung]]en. Materialmodelle, die einen quantitativen Zusammenhang zwischen den Variablen in diesen physikalischen und kinematischen Gleichungen angeben, sind dazu geeignet, die Reaktionen eines den [[Naturgesetz]]en folgenden Körpers auf äußere Einflüsse zu berechnen.

Der [[Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik|zweite Hauptsatz der Thermodynamik]] hat einen Sonderstatus: Bei der Aufstellung von Materialmodellen muss darauf geachtet werden, dass bei ''allen möglichen'' zeitlichen Verläufen der Konstitutivvariablen die [[Entropieproduktion]] des Materials nicht negativ ist.

== Einfache Materialien ==
Manche Materialeigenschaften sind so komplex, dass sie mehr exemplarisch anhand der Reaktion von Prüfkörpern dargestellt werden. Beispiele hierfür sind die [[Schlagzähigkeit]], [[Kerbschlagzähigkeit]] oder [[Bauteil (Technik)|Bauteil]]-[[Wöhlerlinie]]n. Es handelt sich hier also eher um Bauteileigenschaften, weil die Trennung von Materialeigenschaft und Probeneigenschaft (Form, Größe oder [[Oberflächenbeschaffenheit]] des Prüfkörpers) nicht zuverlässig oder nicht mit vertretbarem Aufwand gelingt.

Bei den meisten Materialeigenschaften hat sich jedoch die Vorstellung bewährt, dass jeder beliebige Teil einer Materialprobe die gleichen Eigenschaften wie die Probe selbst hat. Für die Bestimmung der Materialantwort an einem Punkt der Probe braucht man dann nur eine ([[infinitesimal]]) kleine Umgebung des Punktes in Betracht zu ziehen; das Material reagiert lokal auf ''lokale'' Einflüsse.

Ferner lehrt die Erfahrung, dass die Materialantwort vollständig von vergangenen oder gegenwärtigen, nicht aber von zukünftigen Einflüssen abhängt, dass Materialien also ''[[deterministisch]]'' sind.

Das [[Prinzip der materiellen Objektivität]] besagt, dass ein [[Euklidische Transformation|beliebig translatorisch oder rotatorisch bewegter Beobachter]] die gleiche Materialantwort misst wie ein relativ zur Probe ruhender Experimentator.

Materialien die lokal, deterministisch und objektiv sind, nennt man ''einfach'', und nur solche sind der Gegenstand der ''klassischen'' Materialtheorie.

== Materialgleichungen ==
=== Objektive Größen ===
Für Materialgrößen und Konstitutivvariable können nur objektive Größen verwendet werden, d. h. solche die ein [[Euklidische Transformation|beliebig translatorisch oder rotatorisch bewegter Beobachter]] in gleicher Weise wahrnimmt wie ein relativ zur Probe ruhender Experimentator.

Zu den [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] objektiven Größen gehören [[Masse (Physik)|Masse]], [[Dichte]], [[Temperatur]], [[Wärme]], [[spezifische Größe|spezifische]] [[innere Energie]] und [[Entropie]].

Gerichtete objektive Größen, also [[Vektor]]en, sind z. B. [[Kraft|Kräfte]], Spannungs-, [[Wärmefluss]]- und [[Entropie]]flussvektoren.

Die [[Geschwindigkeit]] eines Partikels ist aber z. B. ''keine'' objektive Größe, weil sie von unterschiedlich bewegten Beobachtern unterschiedlich beurteilt wird.

Des Weiteren treten in manchen Naturgesetzen [[tensor]]ielle Größen auf, deren Objektivität im Einzelfall zu prüfen ist. Ein wichtiges Beispiel für eine tensorielle objektive Größe ist der [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]]’sche [[Spannungstensor]].

=== Arten von Materialgleichungen ===
Gleichungen, die ein Material beschreiben, können in drei Klassen eingeteilt werden:
# Solche, die die ''materielle Symmetrie'' oder Richtungsabhängigkeit angeben. Bei einer solchen sind die Eigenschaften des Materials in der einen Richtung anders als in der anderen. Ein bekanntes Beispiel dafür ist [[Holz]], das sich in Faserrichtung anders verhält als quer dazu ([[Orthotropie]]).
# ''Materielle [[Zwangsbedingung]]en'' verbieten einem Material bestimmte Veränderungen. Bekanntestes Beispiel hierfür ist die [[Inkompressibilität]], bei der das Volumen einer Materialprobe unveränderlich ist.
# ''Konstitutive Gleichungen'', die den funktionalen Zusammenhang zwischen Materialgrößen und den Konstitutivvariablen formulieren.

Während die Mitglieder der ersten beiden Klassen [[algebra]]ischer Natur sind, können bei den konstitutiven Gleichungen auch andere Formen auftreten:
* [[Differentialgleichungen]]
* [[Integralgleichung]]en
* algebraische Gleichungen
* [[Ungleichungen]], siehe das Beispiel unten.

=== Konservative Materialien ===
Konservative Materialien besitzen eine besondere Form von konstitutiven Gleichungen, bei denen die Materialgröße sich aus der [[Differentialrechnung #Ableitungsfunktion|Ableitung]] eines [[Skalarpotential]]s nach der Konstitutivvariablen ergibt.

Ein Beispiel hierfür ist das eindimensionale [[Hookesches Gesetz|Hookesche Gesetz]], wo
* das Skalarpotential der [[Formänderungsenergie]] <math>W=\tfrac E2\varepsilon^2</math> mit dem [[Elastizitätsmodul]] <math>E</math> entspricht,
* die Materialgröße der [[Mechanische Spannung|mechanischen Spannung]] <math>\sigma</math>
* die Konstitutivvariable der [[Dehnung]] <math>\varepsilon</math>:

:<math>\frac{\rm dW}{\rm d\varepsilon}
=\frac{\rm d}{\rm d\varepsilon}\left(\frac E2\varepsilon^2\right)
=E\varepsilon=\sigma</math>

Hier hat man die besonderen Eigenschaften:
# ''Wegunabhängigkeit'': Die Materialgröße hat bei gegebenem Wert der Konstitutivvariablen immer denselben Wert, egal auf welchem Weg der Endzustand erreicht wurde.
# ''[[Konservative Kraft|Konservativität]]'': Ist das Potential eine Energie, wie im Beispiel oben, so wird entlang eines geschlossenen Weges keine Arbeit verrichtet oder Energie verbraucht. Aufgewendete Arbeiten werden vom System bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt vollständig zurückgegeben.

=== Materialparameter ===
Für die Quantifizierung des Materialverhaltens enthalten die konstitutiven Gleichungen Materialparameter oder – wie sie auch genannt werden – Materialkonstanten, die gestatten das Modell an gemessene Werte anzupassen. Es ist allgemein üblich das Modell so zu gestalten, dass die Parameter bei realen Materialien positive Werte haben. Sollten bei der Anpassung negative Werte auftreten, so ist in der Regel Vorsicht geboten.

Die zulässigen Wertebereiche der Parameter ergeben sich aus dem [[Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik|zweiten Hauptsatz der Thermodynamik]], nach dem zu fordern ist, dass für alle erlaubten Werte in allen möglichen zeitlichen Verläufen der Konstitutivvariablen die [[Entropieproduktion]] des Materials nicht negativ ist, siehe beispielsweise [[Clausius-Duhem-Ungleichung#Beispiel isotherme ideale Plastizität|Clausius-Duhem-Ungleichung]]. Im [[#Konservative Materialien|Beispiel oben]] wäre zu fordern, dass der Elastizitätsmodul positiv ist.

== Mechanische Feststoffmodelle ==
[[Datei:Mechanische Werkstoffgesetze.png|mini|130px|Auswahl von einachsigen Stoffgesetzen: '''a''': viscoelastisch. '''b''': ideal elastisch. '''c''': plastisch. '''d''': ideal linear elastisch]]
Die nachfolgende Aufstellung zeigt Repräsentanten der vier Materialmodelle der klassischen Kontinuumsmechanik für [[Feststoff]]e (s. auch [[Fließgesetz]]):
* Ist der [[Spannungs-Dehnungs-Diagramm|Spannungs-Dehnungs-Verlauf]] bei [[Belastung (Physik)|Belastung]] und Entlastung identisch, so ist das Stoffgesetz ''elastisch'' oder ''ideal elastisch''  ('''b''' oder '''d''' im Bild) und ''nicht'' viskos, d. h. es ist unabhängig von der Geschwindigkeit. Ideal elastische Stoffgesetze können nichtlinear sein ('''b'''). Ist ein Stoffgesetz dagegen ideal elastisch und linear ('''d'''), so spricht man von einem ''linear ideal elastischen Gesetz''. Da dieser Ausdruck sehr lang ist, spricht man abgekürzt von einem ''linearen [[Elastizitätsgesetz]]'' oder einfach nur von einem ''Elastizitätsgesetz'', z. B. beim [[Hookesches Gesetz|Hookeschen Gesetz]].
* Kommt der Spannungs-Dehnungs-Verlauf bei der Entlastung wieder am Startpunkt an, unterscheidet sich aber der Pfad bei Entlastung von dem bei Belastung ('''a'''), so ist das Stoffgesetz [[viskoelastisch]] und man sieht eine [[Hysterese]]. Bei sehr langsamen Spannungs-Dehnungs-Verläufen verschwindet die Hysterese, und man sieht einen Verlauf wie im Bild '''b'''. Ein solches Verhalten zeigen [[gummi]]artige Stoffe.
* Sind Start- und Endpunkt nicht gleich, so spricht man von einem ''plastischen Stoffgesetz'' ('''c'''). Dies gilt für Stoffe, die während der Belastung fließen, siehe auch das Beispiel unten. Hier hängt die Hysterese ''nicht'' von der Dehn[[änderungsrate|geschwindigkeit]] ab.
* Sind Start- und Endpunkt nicht gleich und hängt die Hysterese von der Dehnungsgeschwindigkeit ab, verschwindet aber auch bei sehr langsamen Spannungs-Dehnungs-Verläufen nicht, so liegt [[Viskoplastizität]] vor (hier ohne Abb.). Die Hysteresekurve bei sehr langsamen Spannungs-Dehnungs-Verläufen nennt man hier Gleichgewichtshysterese.
Die vier genannten Materialklassen sind also von der Dehnungsgeschwindigkeit abhängig oder unabhängig und zeigen eine Gleichgewichtshysterese oder nicht:
{| class="wikitable border="1"
! rowspan = "2" | Gleichgewichts- hysterese
! colspan = "2"| Ratenabhängigkeit
|-
! ohne
! mit (viskos)
|-
! ohne
| [[Elastizität (Physik)|Elastizität]] (linear oder nichtlinear)
| [[Viskoelastizität]]
|-
! mit
| [[Plastizität (Physik)|Plastizität]]
| [[Viskoplastizität]]
|}
Das [[Kriechen (Werkstoffe)|Kriechen]] und die [[Relaxation (Naturwissenschaft)|Relaxation]] ist eine Eigenschaft [[viskos]]er Stoffe.

Besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung, so spricht man von einem ''linearen Stoffgesetz'' ('''d'''); es muss auch bezüglich seiner [[Temperaturausdehnung]] linear sein. Gesetze, die keinen linearen Zusammenhang zeigen, nennt man ''nichtlineare Stoffgesetze''.

== Beispiel ==
[[Datei:Idealplaststeps.png|mini|Dehnungsgeschichte beim [[Zugversuch]]]]
[[Datei:Idealplastsig.png|mini|Spannungsverlauf]]
[[Datei:Idealplastisch.png|mini|Spannungsdehnungsdiagramm eines ideal plastischen Materials]]
Als Beispiel soll die ideale Plastizität dienen, deren Materialgleichungen sowohl algebraische als auch Differentialgleichungen und eine Fallunterscheidung beinhalten.

Bei der idealen Plastizität tritt beim plastischen Fließen keine [[Verfestigung (Werkstoffkunde)|Verfestigung]] auf, d. h. die Spannungs-Dehnungs-Kurve hat beim Fließen einen horizontalen Verlauf. [[Knetmasse|Knete]] ist in etwa ideal plastisch. In der Praxis findet dieses Modell Anwendung, wenn nur die [[Fließgrenze]] bekannt ist und man bei der Berechnung der [[Steifigkeit]] eines Bauteils diese auf keinen Fall überschätzen will.

Im wichtigen Sonderfall des einachsigen Zuges/Druckes kann man sich auf skalare Größen beschränken und die Materialgleichungen sehr vereinfachen. Der Weg dorthin wird wie in einem mehrachsigen Plastizitätsmodell mit mehreren Konstitutivvariablen beschritten: die Konstitutivvariable ist die Gesamt[[dehnung]] <math>\varepsilon</math>, die Materialgröße die [[Spannung (Mechanik)|Spannung]] <math>\sigma</math>; im Zugbereich ist die Spannung positiv, im Druckbereich negativ.

Das Material besitzt einen elastischen Bereich, in dem es elastisch reagiert, und einen plastischen Bereich, in dem plastisches Fließen stattfindet.

Die Gesamtdehnung <math>\varepsilon</math> setzt sich zusammen aus der elastischen Dehnung <math>\varepsilon_e</math> und der plastischen Dehnung <math>\varepsilon_p</math>:

:<math>\varepsilon=\varepsilon_e+\varepsilon_p</math>

Die plastische Dehnung entwickelt sich nur, wenn die Spannung die Fließgrenze <math>k</math> erreicht bzw. überschreitet, die ein weiterer Materialparameter ist.

Die Fließfunktion <math>f</math> gibt die Fallunterscheidung zwischen elastischem und plastischem Bereich an:

:<math>f=\sigma^2-{k}^2\le0</math>.

=== Elastischer Bereich ===
Im elastischen Bereich ist <math>f<0\Leftrightarrow|\sigma|<|k|</math>.

Die Spannung hängt über das [[Hookesches Gesetz|hookesche Gesetz]] von der elastischen Dehnung ab:

:<math>\sigma=E\;\varepsilon_e</math>

worin <math>E</math> der [[Elastizitätsmodul]] ist.

Im elastischen Bereich ist <math>\dot\varepsilon_p=0</math> und daher <math>\dot\sigma=E \dot\varepsilon_e=E\dot\varepsilon</math>.

=== Plastischer Bereich ===
Bei plastischem Fließen ist <math>f=0</math> und daher <math>|\sigma|=k=\mathrm{const.}</math>, was das besondere Merkmal der idealen Plastizität ist. Allerdings kann <math>|\sigma|=k</math> auch bei konstanter Dehnung gelten, weswegen Fließen erst eintritt, wenn <math>\sigma\dot\varepsilon>0</math> ist. Die ''Fließbedingung'' lautet also:

::<math>f=0</math>   ''und''   <math>\sigma\dot\varepsilon>0</math> .

Das Fließen wird mit der plastischen Dehnung <math>\varepsilon_p</math> dargestellt, die eine innere Variable des Modells ist; die plastische Dehnung kann also nicht direkt von außen beeinflusst oder vorgegeben werden.

Im Fall plastischen Fließens bestimmt eine ''assoziative Fließregel'' die Evolution der plastischen Dehnung:

:<math>\dot\varepsilon_p=\lambda\frac{\partial f}{\partial\sigma}=2\lambda\sigma</math> .

Darin ist <math>\lambda</math> der ''plastische Multiplikator'', der sich aus der ''[[Widerspruchsfreiheit|Konsistenz]]<nowiki/>bedingung'' <math>\dot{f}=0</math> bei plastischem Fließen ableitet:

::<math>\begin{align}
\dot{f}&=2\sigma\dot{\sigma}=2\sigma E\,\dot{\varepsilon}_e=2\sigma E\,\left(\dot\varepsilon-{\dot\varepsilon}_p\right)=2E\,\sigma\left(\dot\varepsilon-2\lambda\sigma\right)=0\\
\Rightarrow\lambda&=\frac{\dot\varepsilon}{2\sigma}=\frac{\sigma\dot\varepsilon}{2\sigma^2}>0
\end{align}</math>.

Für die Evolution der plastischen Dehnung bedeutet das:

:<math>\begin{align}
\dot{\varepsilon}_p
&=2\lambda\sigma
=2\frac{\dot\varepsilon}{2\sigma}\sigma
=\dot\varepsilon
\\
\Rightarrow\dot\varepsilon_e
&=0\Rightarrow\varepsilon_e
=\text{konst.}
\\
\Rightarrow\sigma&=\text{konst.}\Rightarrow\dot\sigma=0
\end{align}</math>.

=== Zusammenfassung ===
Die Materialgleichungen der idealen Plastizität können also im einachsigen Fall wie folgt zusammengefasst werden:

{| class="wikitable"
! Fließfunktion
| <math>f=\sigma^2-{k}^2\le0</math>
|-
! Spannungs-Dehnungs- Beziehung
| <math>\dot{\sigma}=\begin{cases}
0&\text{falls}\quad f=0\;\text{und}\;\sigma\dot\varepsilon>0
\\
E\dot\varepsilon&\text{sonst}
\end{cases}
</math>
|}
In den Bildern rechts sind Diagramme eines simulierten dehnungsgesteuerten Zugversuchs angegeben. Das obere Bild zeigt den Verlauf der Dehnungen, das mittlere den Verlauf der Spannung über die Zeit und das untere Bild zeigt das [[Spannungs-Dehnungs-Diagramm]] dieses ideal plastischen Materials. Als Materialparameter wurden verwendet:
{| class="wikitable"
|-
! Parameter
| <math>E</math>
| <math>k</math>
|-
! Wert
| 10000
| 160
|-
! Einheit
| MPa
| MPa
|}
Am Ende des Versuchs, nach acht Sekunden, wurde die Probe nach einer Gesamtdehnung von 0,045 entlastet, so dass die Spannung verschwindet, also <math>\sigma = 0</math> und daher auch <math>\varepsilon_e = 0</math> gilt. Am Ende beobachtet man aber eine bleibende Dehnung, die wegen <math>\varepsilon_e=0</math> der plastischen Dehnung entspricht. Ihre Größe ist:

:<math>\varepsilon=0{,}045-\frac{k}{E}=0{,}029=\varepsilon_p</math>.

Ein realer Körper aus diesem Material würde also am Ende des Versuchs nicht in seinen Ausgangszustand zurückkehren, was das Merkmal der Plastizität ist.

== Siehe auch ==
* [[Rheologisches Modell]]

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=[[Holm Altenbach]]
| Titel=Kontinuumsmechanik
| TitelErg=Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen
| Verlag=Springer-Verlag
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Datum=2012
| ISBN=978-3-642-24118-5
| DOI=10.1007/978-3-642-24119-2}}
* {{Literatur
| Autor=Ralf Greve
| Titel=Kontinuumsmechanik
| TitelErg=Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker
| Verlag=Springer
| Ort=Berlin u. a.
| Datum=2003
| Seiten=180
| ISBN=978-3-642-62463-6
| Online={{Google Buch| BuchID=ZhcjBgAAQBAJ| Seite=180}}
| DOI=10.1007/978-3-642-55485-8}}
* {{Literatur
| Autor=P. Haupt
| Titel=Continuum Mechanics and Theory of Materials
| Seiten=249f
| Verlag=Springer
| Datum=2002
| ISBN=978-3-642-07718-0
| DOI=10.1007/978-3-662-04775-0}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4127344-8}}

[[Kategorie:Kontinuumsmechanik]]
[[Kategorie:Werkstoffkunde]]

Materialmodell - Versionsgeschichte

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