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2024-05-12T18:00:14Z

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Die '''Matched-Z-Transformation''' ({{enS|''matched z-transformation''}}, in Deutsch etwa ''angepasste [[Z-Transformation]]'' und auch als ''Pol-Nullstellen-Abbildung'' bezeichnet) ist in der [[Signalverarbeitung]] eine [[Liste von Transformationen in der Mathematik|Transformation]] – eine Umwandlungsart in der Mathematik – zwischen der zeitkontinuierlichen und der [[Diskrete Mathematik|zeitdiskreten]] Darstellung von Systemfunktionen. Sie spielt in der [[digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] und der [[Regelungstheorie]] eine Rolle, da sie eine Umsetzung in der Systembeschreibung zwischen analogen, kontinuierlichen Systemen und digitalen, diskreten Systemen ermöglicht. Transformationen mit ähnlichem Anwendungsbereich sind die [[Bilineare Transformation (Signalverarbeitung)|bilineare Transformation]] und die [[Impulsinvarianzmethode]].

== Motivation ==
In der Signalverarbeitung und Regelungstechnik besteht zur Umsetzung im Bereich der digitalen Signalverarbeitung die Anforderung, gegebene zeitkontinuierliche [[Übertragungsfunktion]]en ''G''(s) von [[Lineares zeitinvariantes System|linearen, zeitinvarianten Systemen]] in zeitdiskrete Übertragungsfunktionen ''H''[z] mit möglichst identischem Verhalten umzusetzen. Die Übertragungsfunktion ''G''(s) kann beispielsweise ein [[Analogfilter|analoges Filter]] beschreiben und ''H''[z] stellt eine aus dem analogen Filter abgeleitete, zeitdiskrete Übertragungsfunktion dar, die ein äquivalentes [[Digitalfilter|digitales Filter]] beschreibt.

Die Matched-Z-Transformation bietet gegenüber ähnlichen Verfahren wie der bilinearen Transformation den Vorteil, nichtlineare Verzerrung der Übertragungsfunktionen von ''G''(s) zu ''H''[z] im Übertragungsbereich zu vermeiden. Nachteilig sind die durch dieses Verfahren bedingten [[Alias-Effekt]]e im zeitdiskreten System.

== Beschreibung ==
[[Datei:Matched Z-Transformation s-z-plane.svg|mini|hochkant=1.5|Abbildung dreier Nullstellen (Kreise) und Polstellen (Kreuze) eines Übertragungssystems von der s- in die z-Ebene]]
Die Beschreibung der Systemfunktionen von zeitkontinuierlichen Systemen erfolgt in der so genannten ''s-Ebene'', in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]], und ihre Analyse erfolgt mittels der [[Laplace-Transformation]]. Bei zeitdiskreten Systemen erfolgt die Darstellung in der so genannten ''z-Ebene'' und die Analyse erfolgt mittels der [[Z-Transformation]]. Bei linearen, zeitinvarianten Systemen – diese Systeme sind bei der Anwendung der Matched-Z-Transformation vorausgesetzt – lässt sich die Übertragungsfunktion ''G(s)'' als [[rationale Funktion]] schreiben als:

:<math>G(s) = K \cdot \frac{\prod_{k=1}^M (s - n_k)}{\prod_{k=1}^N (s - p_k)}.</math>

Mit <math>M</math> [[Nullstelle]]n <math>n_k</math> und <math>N</math> [[Polstelle]]n <math>p_k</math>. Der Faktor <math>K</math> stellt einen Verstärkungsfaktor dar. Bei der Matched-Z-Transformation werden alle Pol- und Nullstellen mit der Beziehung

:<math>z = \mathrm e^{sT}</math>

umgesetzt. Der Parameter ''T'' stellt das zeitliche [[Abtastrate|Abtastintervall]] (Periodendauer) des zeitdiskreten Systems dar. Die zeitdiskrete Übertragungsfunktion ''H[z]'' wird damit gebildet zu:

:<math>H[z] = K' \cdot \frac{\prod_{k=1}^M \left(z - \mathrm e^{n_kT} \right)} {\prod_{k=1}^N \left(z - \mathrm e^{p_kT} \right)}.</math>

Grafisch ist der Transformationsvorgang in nebenstehender Abbildung qualitativ an einen Übertragungssystem mit drei Null- und drei Polstellen skizziert, der Übergang der einzelnen Punkte ist durch die farbliche Übereinstimmung dargestellt. Liegen im zeitkontinuierlichen System nicht alle Pol- und Nullstellen in der s-Ebene innerhalb des als ''Hauptwertstreifen'' bezeichneten nicht schraffierten Bereiches, kommt es im zeitdiskreten System zu Alias-Effekten.

Der Verstärkungsfaktor <math>K'</math> im zeitdiskreten System wird durch Vergleich an charakteristischen Frequenzpunkten gewählt. Beispielsweise bei einem [[Tiefpassfilter]] für den Gleichanteil bei der Frequenz 0 s<sup>−1</sup>. Um gleiche Verzögerungszeiten im zeitdiskreten Filter sicherzustellen, kann es zusätzlich notwendig sein, weitere Pole oder Nullstellen bei <math>z=0</math> hinzuzufügen.<ref name="lect19"/>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor = Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer
|Titel = Zeitdiskrete Signalverarbeitung
|Verlag = Oldenbourg | Ort = München | Jahr = 1999 | Auflage = 3. | ISBN = 3-486-24145-1 }}
* {{Literatur
|Autor = Won Young Yang
|Titel = Signals and Systems with MATLAB
|Verlag = Springer Verlag | Jahr = 2009 | Seiten = 291 bis 294 | ISBN = 978-3-540-92953-6 }}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="lect19">{{Internetquelle | autor= D. Rowell | hrsg= Massachusetts Institute of Technology (MIT) | url= https://ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/2-161-signal-processing-continuous-and-discrete-fall-2008/lecture-notes/lecture_19.pdf | sprache= Englisch | titel= Signal Processing - Continuous and Discrete - Lecture Note 19 (OpenCourseWare) | datum= 2008 | zugriff=2013-02-04 | format= PDF; 244 kB }}</ref>
</references>

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Systemtheorie]]
[[Kategorie:Regelungstheorie]]
[[Kategorie:Diskrete Transformation]]

Matched-Z-Transformation - Versionsgeschichte

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