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2026-02-04T04:35:37Z

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{{Dieser Artikel|bezieht sich auf die physikalische Masse, für den elektrischen Massepol siehe [[Masse (Elektronik)]].}}
Der '''Massenpunkt'''<ref>Gerthsen, Meschede, 2015, S. 13. [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-45977-5_2 Mechanik der Massenpunkte, Zusammenfassung]</ref><ref name="Landau_Lifschiz_I_1962" /><ref name="Halliday_2020" /> (seltener auch '''Massepunkt'''<ref name="Halliday_2017" /> oder '''Punktmasse'''<ref name="Stöcker_2010" />) ist in der [[Physik]] die höchstmögliche [[Idealisierung (Physik)|Idealisierung]] eines realen [[Körper (Physik)|Körpers]]: Man stellt sich vor, dass seine [[Masse (Physik)|Masse]] in seinem [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] konzentriert ist. Dies vereinfacht die Beschreibung seiner Bewegung.

Das Fachgebiet, das sich mit der Bewegung von Massenpunkten befasst, wird als [[Punktmechanik]] bezeichnet. Der Körper wird als mathematischer [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] betrachtet, der eine von Null verschiedene Masse und eventuell eine [[elektrische Ladung]] besitzt. Eigenschaften, die mit seiner Nicht-Punktförmigkeit (seiner Ausdehnung) zusammenhängen, wie Abmessungen, Volumen, Form und Verformbarkeit, werden vernachlässigt. Insbesondere kann ein Massenpunkt nicht rotieren, also auch keine Rotationsenergie aufnehmen.

Die angenäherte Beschreibung eines ausgedehnten Körpers durch einen Massenpunkt ist in vielen Fällen nützlich, selbst wenn der Körper rotiert. Beispielsweise folgen geworfene Gegenstände, aber auch ganze Himmelskörper oft sehr genau der Bahn eines Massenpunkts.

Phänomene eines ausgedehnten Körpers wie Eigendrehung mit [[Präzession]] und [[Nutation (Physik)|Nutation]] einerseits und [[Verformung]]en andererseits lassen sich besser mit den Methoden der [[Kontinuumsmechanik]] oder der Mechanik [[starrer Körper]] behandeln. Deren Mathematik ist jedoch deutlich komplizierter, nicht zuletzt, weil ein starrer Körper sechs [[Freiheitsgrad]]e und ein verformbarer Körper unendlich viele Freiheitsgrade besitzt.

== Grundlagen ==
Die Bewegung eines Massenpunkts wird in der [[Newtonsche Mechanik|newtonschen Mechanik]] durch das [[Newtonsche Axiome|newtonsche Bewegungsgesetz]] beschrieben:

:<math>\vec F = m \; \vec a</math>

mit
* <math>\vec F </math> = Kraft[[vektor]]
* <math> m </math> = Masse
* <math> \vec a</math> = Beschleunigungsvektor.
In der klassischen Mechanik legen die Variablen ''Ort'' und ''Impuls'' den Zustand eines Massenpunkts fest: Zu jeder Zeit <math>t</math> befindet er sich an einem bestimmten Ort und besitzt einen bestimmten [[Impuls]] <math> \vec p = m \vec v</math> (Masse mal Geschwindigkeit). Bei gegebener auf ihn wirkender Kraft wird die Änderung des Bewegungszustands durch das oben genannte newtonsche Bewegungsgesetz bestimmt.

Der Massenpunkt führt folglich nur [[Translation (Physik)|Translations-]], aber keine [[Rotation (Physik)|Rotationsbewegungen]] aus. Die Bahn, die er dabei beschreibt, heißt [[Trajektorie (Physik)|Trajektorie]].

=== Mathematischer Repräsentant für einen Körper ===
Die Punktmasse ist der einfachste mathematische Repräsentant für ein ausgedehntes Volumenelement, für einen materiellen Körper. Sie bildet daher den Anfang jeder elementaren [[Dynamik (Physik)|Dynamik]].<ref>Siehe Stäckel (1905), in der Literatur unten, Seite 449.</ref>

In diesem mathematischen Modell besteht die Vereinfachung darin, die Objektmenge von überabzählbar vielen Körperelementen auf ein einzelnes Element zu verringern. Mathematisch wird also eine Zuordnung
:<math>\lim_{\Delta V \to 0}\sum_i \rho(\vec{x}_i) \cdot \Delta V_i = \int_V\rho\, dV~ \rightarrow ~ m(\vec{x})</math>
eingeführt, wobei <math>m(\vec{x})</math> die Punktmasse am Punkt des Ortsvektors <math>\vec{x}</math> bezeichnet.
[[Datei:Der Massenpunkt als Körpermittelpunkt.png|mini|Abb. 1: Der Massenpunkt als Körpermittelpunkt]]
Diese Vereinfachung gelingt unter der Annahme des ''Kontinuitätsprinzips'', dass für den Raumbereich die Massenverteilung homogen und örtlich unveränderlich ist. Dann (und nur dann) existiert eine konstante [[Dichte|Materialdichte]] <math>\rho</math> im Raumbereich des Körpers.<ref>Hamel (1967), in der Lit. unten, S. 45. Noll (1959), S. 267.</ref> Daraus wird die Vorstellung gefolgert, dass die gesamte Körpermenge in einem festen Punkt mit den Ortskoordinaten <math>\vec{x}</math> im [[Prähilbertraum|Euklidischen Raum]] konzentriert wäre, im Idealfall in einem infinitesimal kleinen Element <math>dm</math>. Dieser Wert ist in diesem Fall Anteil des [[Flächenmoment| linearen Moments]] des Körpers und kann durch den einfachen Zahlwert <math>m>0</math>, der '''Masse''', ersetzt werden (siehe Abb. 1).<ref>Siehe Hamel (1967), in der Lit. unten, S. 45 und 49; sowie insbes. Noll (1959), in der Lit. unten, S. 268.</ref> Der Ort <math>\vec{x}</math> mit dem Abstandbetrag <math> x_M</math> des Massenpunktes fällt dann auch mit dem [[Massenmittelpunkt]] zusammen.<ref>Man vergleiche mit Synge (1960), in der u. a. Literatur, S. 31 (III. ''Mass distributions and force systems'').</ref>
: <math> x_M\cdot m=\lim_{x_i\to 0} \sum_i x_i\cdot \Delta m_i</math> bzw. <math> m=\frac{1}{x_M}\int x \cdot dm</math>.
=== Der Massenpunkt in den Grundlagen der Mechanik ===
Die Bedeutung des Massenpunktes für die Physik ist Gegenstand der ''Grundlagen der Mechanik''. Dieser Bereich der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] und der [[Wissenschaftstheorie]] beschäftigt sich u. a. mit der Frage, unter welchen einschränkenden Bedingungen ein beliebiger Körper eindeutig und vollständig repräsentiert werden kann.<ref>Zu der Bedeutung und den Ergebnissen der ''Grundlagen'' siehe insbes. J. L. Synge (1960), in der u. a. Literatur: ''Introduction'', S. 1 f.; sowie C. Truesdell, R. Toupin (1960), in der u. a. Literatur: ''The field viewpoint in classical physics. '' S. 228 f.</ref> Diese Fragestellung ist seit Beginn der theoretischen, neuzeitlichen Mechanik bis heute kontrovers und umstritten.<ref>Noch im 17. und 18. Jahrhundert wurde sie vorwiegend als naturphilosophisches und metaphysisches Problem beschrieben. Ab dem 19. bis Mitte des 20. Jahrhunderts, im Zuge der fortgeschrittenen Mathematisierung aller mechanischen Fragen, wurde sie als vorrangig mathematisches Problem gesehen, das eine eindeutige Lösung erfordere. (Selbst diese Eindeutigkeit, bis auf Äquivalenz, ist hoch umstritten und fällt in den Bereich der [[Metamathematik]].) Mit diesem Hintergrund wurde es zu Beginn des 20. Jahrhunderts zu den [[Hilbertsche Probleme|mathematischen Problemen]] nach [[David Hilbert]] gefasst. Und zwar ist die Frage dort im ''Sechsten Problem'' enthalten: der Versuch, die gesamte Mechanik deduktiv abgeschlossen und einheitlich zu formulieren. Hierzu sind mehrfache parallele Lösungsvorschläge zu finden, die ebenfalls aus dem Umfeld der Göttinger Mathematiker-Schule Hilberts stammen, allen voran von [[Georg Hamel|G. Hamel]]. Einen historischen Überblick zum Sechsten Problem Hilberts siehe etwa [[Leo Corry|L. Corry]], ''David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898-1918)''. (Kluwer) Dordrecht, Boston, London 2004.</ref> Symptomatisch dafür sind die zum Teil konfrontativen Positionen zwischen Physikern, Mathematikern und Technikern, die im Umfeld der Beschreibung von Punktmassen, mathematischen Körpern und materiellen Kontinua eingenommen werden.<ref>Das verdeutlicht bereits der Gegensatz in den beiden ''Handbuch''-Einträgen Synge (1960) und Truesdell, Toupin (1960), die in der Literatur unten zu finden sind. Frühere Quellen zu den gegensätzlichen Positionen zwischen Punkt- und Kontinuumsmechanik, die auch das ''Sechste Problem'' Hilberts (siehe vorigen Einzelnachweis) mitgeprägt haben, sind in der Reihe ''Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen'', hrsg. v. [[Felix Klein (Mathematiker)|F. Klein]] u. [[Conrad Müller|C. Müller]], zu finden. Online-Zugriff: [https://de.wikisource.org/wiki/Encyklop%C3%A4die_der_mathematischen_Wissenschaften wikisource]. Siehe darin vor allem Art. 1 (Band 4-1) von [[Aurel Voss|A. Voss]] (1901), ''Die Prinzipien der rationellen Mechanik''. Darin Seite 24 ff. (C. ''Mechanisch-physikalische Prinzipien''); außerdem Art. 23 (Band 4-4) von C. Müller, A. Timpe (1907), ''Die Grundgleichungen der mathematischen Elastizitätstheorie''. Darin Seite 6 f. (2. ''Die Grundgleichungen als Bewegungsgleichungen des einzelnen Teilchens''). Sowie Art. 25, Bd. 5-3 von [[Max Born|M. Born]], '' Atomtheorie des festen Zustands – Dynamik der Kristallgitter'' (1922). Darin insbes. S. 530 f. (2. ''Geometrie und Kinematik des Kristallgitters'').</ref>

Aus den Grundlagen geht ebenso hervor, dass der Massenpunkt nur eindeutig bezeichnet ist, wenn die Verbindungslinien <math>x_i</math> unveränderlich sind, der Körper also ''starr'' ist. Diese Behandlung der Mechanik eröffnet die [[Punktmechanik]]. Ihre axiomatische Fassung<ref>Siehe etwa Hamel (1967), in der u. a. Literatur, Seite 51 f. Eine erste axiomatische Fassung der Punktmechanik, wie sie in heutigen Lehrbüchern wiederzufinden ist, steht in [[Ludwig Boltzmann|L. Boltzmann]], ''Vorlesungen ueber die Principe der Mechanik'', 1. Theil. (Barth-Verlag) Leipzig 1897, darin
Seite 22 (§7. ''Masse und Kraft''). Boltzmann betont allerdings, dass er speziell den Massenbegriff der Mechanik [[Ernst Mach|E. Mach]]s entnommen habe. Online: {{archive.org|bub_gb_Ws7mAAAAMAAJ|Blatt =35}}</ref> wird heute unabhängig vom realistischen Aufbau der Materie behandelt. Der physikalische Aufbau der Materie umfasst ''unabhängige Zusatzannahmen'', die vor allem unabhängig von der Verbindung zur [[Kristallstruktur|Physik der Kristallgitter]] oder von weiteren phänomenologischen [[Materialmodell|Feststoffmodellen]] sind.

Die heute noch in manchen Lehrbüchern zu findende Behauptung, die logischen und empirischen Verknüpfungen zwischen den einzelnen Disziplinen der Mechanik gelingen ‹einwandfrei›<ref>Das ist zum Beispiel der Wortlaut in Gerthsen, Meschede (2015), in der u. a. Literatur, Seite 13.</ref> und seien ohne Schwierigkeiten aufzustellen, ignoriert die Geschichte und die Grundlagenfragen der Mechanik. Sie hat bis heute für zusätzliche Polemik gegenüber pädagogischen Vereinfachungen gesorgt.<ref>Siehe dazu etwa die Untersuchung von [[Clifford Truesdell]], ''Reactions of Late Baroque Mechanics to Success, Conjecture, Error, and Failure in Newton’s Principia''. Kap. III in C. Truesdell, ''Essays in the History of Mechanics'', pp. 139–183. (Springer), New York 1968. Darin insbes. S. 141.</ref><ref>Noch grundsätzlicher stellt [[Paul Feyerabend]] das nach seinem Verständnis irrationale Bedürfnis von Lehrbuchautoren nach Auflösung aller konzeptuellen Probleme in Frage. Schwierigkeiten werden den Lernenden bewusst verheimlicht, was gegen das eigene Bekenntnis zur kritischen Wissenschaftlichkeit stehe. Siehe dazu insbes. Feyerabend, ''Realismus and Instrumentalism: Comments on the Logic of Factural Report'' (1969), darin Anm. 4, Seite 283. Deutsch erschienen in Kap. 5 in Feyerabend, ''Der wissenschaftstheoretische Realismus und die Autorität der Wissenschaften''. (Vieweg) Wiesbaden 1978. Titel: ''Realismus und Instrumentalismus zur Logik der Unterstützung durch Tatsachen''; darin Anm. 4, Seite 82, ein Auszug im Wortlaut: «Der problematische Charakter ''jeder'' wissenschaftlichen Theorie wird oft der Öffentlichkeit, ja selbst vor Studenten des Fachs verborgen gehalten. Sowohl populäre Darstellungen als auch Lehrbücher verweilen bei den Erfolgen einer Theorie, sprechen aber kaum über ihre weitaus interessanteren Schwierigkeiten».</ref>
== Elementarteilchen als Massenpunkte ==
Das Konzept des Massenpunkts hat sich in vielen Bereichen und Anwendungen bewährt und ermöglicht es, Aspekte der [[Relativitätstheorie]], der [[Quantenmechanik]] und der [[Teilchenphysik]] zu behandeln. Dabei bleibt die Darstellung übersichtlich und auch für Einsteiger zugänglich.<ref name="Falk_1966" details="V ff."/>

[[Elementarteilchen]] wie beispielsweise [[Elektron]]en werden nach heutigem Kenntnisstand als punktförmige Objekte betrachtet. Sie sollten daher der Idealisierung eines Massenpunkts sehr nahe kommen. Mit Ausnahme des [[Higgs-Boson]]s besitzen sie jedoch eine Eigenschaft, die sich mit der Vorstellung eines Massenpunkts nicht erklären lässt: Sie haben einen [[Spin]], also einen [[Drehimpuls#Der Eigendrehimpuls |Eigendrehimpuls]], der aber nicht als Rotation eines starren Körpers um eine Achse verstanden werden kann. Im Gegensatz zum klassischen Eigendrehimpuls eines Körpers ist der Spin eine [[physikalische Größe]], die für alle Teilchen der gleichen Art unveränderlich den gleichen Wert hat, nur ihre Orientierung entlang einer Achse kann variieren.

== Grenzen des Modells ==
Kein physikalischer Körper ist ein Massenpunkt. Genauso wenig kann das Newtonsche Kraftgesetz nur für einen einzelnen Massenpunkt gelten.<ref>Das ist nur ein einfaches Beispiel für die logisch unentwirrbare Schwierigkeit hinter dem [[Grundgesetz der Mechanik]] und dem Zusammenspiel von Masse, Beschleunigung und Kraft in der [[Klassische Mechanik|Klassischen Mechanik]]. Einflussreiche Untersuchungen dazu sind etwa [[Carl Gottfried Neumann|Carl Neumann]], ''Über die Principien der Galilei-Newton’schen Theorie''. (Teubner), Leipzig 1870. Online: {{archive.org| ueberdieprincip00neumgoog}} sowie [[Henri Poincaré]], ''Wissenschaft und Hypothese''. (Teubner) Leipzig 1904. Darin Kap. 6.: ''Die Klassische Mechanik'', Seite 90 ff. {{archive.org|wissenschaftundh00poin/page/n11/mode/2up|Blatt = 90}}. In Physiklehrbüchern erfährt man heute über derartige Schwierigkeiten wenig oder nichts.</ref> Dennoch liefert dieses idealisierende Modell oft brauchbare Ergebnisse, beispielsweise wenn die betrachteten Objekte viel kleiner sind als die Distanzen zwischen ihnen oder wenn Rotationen der Körper aufgrund mechanischer Zwangsbedingungen ausgeschlossen oder keine Rolle spielen. Außerdem müssen die auftretenden Kräfte so gering sein, dass eine Verformung der Körper vernachlässigt werden kann.

Die Planeten verhalten sich aufgrund der großen Entfernungen im Sonnensystem nahezu wie Massenpunkte. Ihre Bahnen lassen sich daher vergleichsweise genau vorhersagen, wenn man sie als punktförmig annimmt. Das Modell des Massenpunkts ist aber völlig ungeeignet, um Phänomene wie die [[Präzession#Präzession der Erdachse|Präzession der Erdachse]], [[Gezeiten]], [[gebundene Rotation]] etc. zu beschreiben.

Auch bei der Beschreibung von Schwerependeln werden die Grenzen des Modells offenbar: Beschreibt man das Pendel als eine Punktmasse am Ende eines starren, aber masselosen Stabes, so gelangt man zum so genannten [[Mathematisches Pendel|mathematischen Pendel]]. Im [[physikalisches Pendel|physikalischen Pendel]] wird auch die Ausdehnung der Masse und die Masse des Stabes mitberücksichtigt, die das Schwingungsverhalten mehr oder weniger stark beeinflussen. Dieses Modell kommt der Realität also erheblich näher.

Bei der Beschreibung [[ideales Gas|idealer]], einatomiger Gase werden die Gasatome als Massenpunkte angenommen. Besteht das Gas aus mehratomigen Molekülen, so geht das einfachste Modell davon aus, dass ein Molekül aus Massenpunkten besteht, die starr miteinander verbunden sind. Nach diesem Modell sind Rotationen um die Längsachse eines linearen Moleküls ausgeschlossen, weshalb ein zweiatomiges Molekül zwei Rotationsfreiheitsgrade hat, ein gewinkeltes Molekül aus drei oder mehr Atomen jedoch drei Rotationsfreiheitsgrade. Ist die Bindung nicht starr, sondern elastisch, treten entsprechende Vibrationsfreiheitsgrade hinzu. Dies schlägt sich unter anderem in der Formel für die [[Innere Energie#Gleichverteilungssatz für ideales Gas|Innere Energie]] von idealen Gasen nieder. Daher macht die Vorstellung, dass ein Gas aus frei beweglichen Molekülen aus Massenpunkten besteht, viele Aussagen über dessen Verhalten, die sich experimentell bestätigen lassen. Allerdings können andere Beobachtungen nicht erklärt werden, weil dieses Modell außer Acht lässt, dass die Atome ein gewisses Eigenvolumen besitzen und nicht starr sind. Zu diesen Phänomenen zählen [[Van-der-Waals-Kräfte]] und der [[Joule-Thomson-Effekt]]. Folglich lässt sich ein [[reales Gas]] nur teilweise mit dem Modell der Massenpunkte erklären (siehe [[kinetische Gastheorie]]).
== Zur Geschichte der Mechanik von Massenpunkten ==
Die naturphilosophische Auffassung zu einer allgemeinen Punktmechanik, die zunächst wenig Beachtung gefunden hat, geht auf [[Rugjer Josip Bošković|R. Boskovich]] zurück.<ref>Siehe bspw. [[Gregor Schiemann|G. Schiemann]], ''Wahrheitsgewissheitsverlust. Hermann von Helmholtz’ Mechanismus''. Darmstadt 1997, Seite 107 ff.</ref> Dort fällt die Auffassung auch mit dem [[Atomismus|atomistischen]] Modell zusammen, was i. A. allerdings nicht zwingend der Fall sein muss.<ref>Newton selbst hat sich in dieser Frage zurückgehalten und das Ganze zu seinen ''Queries'' gezählt (siehe dazu etwa Siehe [[Eduard Jan Dijksterhuis|E. J. Dijksterhuis]], ''Die Mechanisierung des Weltbildes''. Kap IV, c): ''Newtons naturphilosophische Ideen''. (Springer-Verlag) Berlin, Heidelberg, New York, 1983. (Nachdruck 2002). S. 546. [[Leonhard Euler]] z. B. entwickelte später die Punktmechanik mit, lehnte den Atomismus aber strikt ab.</ref>

Das mathematische Programm zur Durcharbeitung der gesamten Mechanik und Physik auf Basis von Punktmassen geht hingegen erst auf [[Pierre Simon Laplace|P.-S. Laplace]] zurück.<ref>Siehe Stäckel (1905), in der Literatur unten, Seite 449.</ref> Sämtliche Befürworter dieses Programms berufen sich dabei auf die einfache und allgemeine Struktur von Massenelementen mit [[Zentralkraft]]wirkung, wie sie erstmals von [[Isaac Newton|I. Newton]] für die Gravitation beschrieben wurde.<ref>Siehe dazu insbesondere das ''Vorwort'' der ''Principia Mathematica Philosophiae Naturalis'', erstmals veröffentlicht London 1687. In der [[Jakob Philipp Wolfers|P. Wolfers]] Übersetzung, (Oppenheim) Berlin 1872, Seite 2: Online: ([https://de.wikisource.org/wiki/Mathematische_Principien_der_Naturlehre Wikisource])</ref> Die Beschränkung auf [[Punktmechanik]] ist kein explizites Ergebnis der [[Newtonsche Mechanik|Newtonschen Mechanik]], sondern eine Übertreibung und Vereinfachung, die sich bis heute auf viele Physiklehrbücher übertragen hat.<ref>Ein aufklärender Korrekturversuch ist der im oben genannten Einzelnachweis Truesdell (1968).</ref>

Vor der neuzeitlichen Dynamik ist die Punktmasse Gegenstand der klassischen [[Statik (Mechanik)|Statik]] gewesen. Das statische Modell zur Ersetzung eines (starren) Körpers durch eine Punktmasse findet man wie selbstverständlich in den mechanischen Werken [[Galileo Galilei|Galileis]] und [[Bernardino Baldi|Baldis]].<ref>[[René Dugas]], ''A History of Mechancs''. Engl. Ausgabe des französ. Originals von 1955. (Dover) New York 1988. Seite 130: ‚Die Existenz des ''Schwerpunktes'' eines Körpers war für Galilei genauso eine experimentelle Tatsache wie für den (damaligen wie heutigen) Schülern.‘</ref><ref>Als Nachweise für Galilei siehe insbesondere sein Scriptum ''La Mecaniche''. Online-Originalversion: ''[[s:it:Le mecaniche (Favaro)|Le mecaniche (Favaro)]]''. [[Wikisource]] (italienisch). Ebenso die von [[Marin Mersenne|Mersenne]] kommentierte und herausgegebene Fassung ''Les Mecaniques de Galilee'' in dem von ihm herausgeg. Gesamtband Mersenne, ''Questions Inouyes ou Recreation des Sçavans''. Paris 1634. Darin die ''Suppositions'' I bis III auf Seite 445. Ebenso abgedruckt in: [[Émile Jouguet|E. Jouguet]], ''Lecture de Mécanique''. (Gauthier-Villars), Paris 1908, S. 30 f. Online: {{archive.org|lecturesdemcani01jouggoog|Blatt=45}}.</ref><ref>Als Nachweis für Baldi siehe insbesondere B. Baldi, ''In Mechanica Aristotelis Problemata Exercitationes''. Mainz 1621, Seite 2. {{DOI|10.3931/e-rara-8255}} Man beachte die kommentierte Neuauflage von E. Nenci (Hrsg.): ''Bernardino Baldi’s In mechanica Aristotelis problemata exercitationes'', Edition Open Sources 2011, [https://edition-open-sources.org/sources/3/index.html Online], Faksimile-Seite 2.</ref>
Eine Statik von Punktmassen sowie eine Schwerpunktmechanik wurde bereits von [[Archimedes]] begründet<ref>Siehe etwa [[Émile Jouguet|E. Jouguet]], ''Lecture de Mécanique''. (Gauthier-Villars), Paris 1908, S. 10. Online: {{archive.org|lecturesdemcani01jouggoog|Blatt=25}}</ref> und von [[Jordanus Nemorarius|Jordanus]] weiterentwickelt.<ref>Siehe Dijksterhuis (1983), im oben angeg. Einzelnachweis. Kap III, A: ''Die Schule des Jordanus'', S. 276.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Teilchen]]
* [[Punktladung]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Hrsg=[[Christian Gerthsen]], [[Dieter Meschede]] |Titel=Gerthsen Physik |Auflage=25 |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-45977-5 |Umfang=1052 |Seiten=13–68 |Online={{Google Buch |BuchID=qW7dBgAAQBAJ}}}}
* {{Literatur |Autor=[[Georg Hamel]] |Titel=Theoretische Mechanik – Eine einheitliche Einführung in die gesamte Mechanik| Verlag= (Nachdruck der Ausgabe von 1949. Neu erschienen 2013). Springer-Verlag|Ort=Berlin, Heidelberg, New York|Datum= 1967}}
* {{Literatur |Autor = [[Walter Noll (Mathematiker)|Walter Noll]]|Titel =The Foundations of Classical Mechanics in the Light of Recent Advances in Continuum Mechanics.|Verlag= Seiten 266 – 281 in [[Leon Henkin]], [[Patrick Suppes]], [[Alfred Tarski]] (Hrsg.), ''The Axiomatic Method with Special Reference to Geometry and Physics''. (In der Reihe ''Studies in Logic and Foundations of Mathematics'', hrsg. von [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|L. E. J. Brouwer]], [[Evert Willem Beth|E. W. Beth]], [[Arend Heyting|A. Heyting]]). North-Holland Publ. |Ort=Amsterdam |Datum=1959|Online= {{archive.org |axiomaticmethod031862mbp |Blatt=266}}.}}
* {{Literatur |Autor = [[Paul Stäckel]]|Titel= ''Elementare Dynamik der Punktsysteme und starren Körper''|Reihe = Artikel 6.1, Band IV der ''Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen'', hrsg. v. [[Felix Klein (Mathematiker)|F. Klein]] u. [[Conrad Müller|C. Müller]], [[Akademie der Wissenschaften zu Göttingen|Akademien der Wissenschaften zu Göttingen]]|Verlag= Teubner-Verlag|Ort= Leipzig, München und Wien |Datum = 1905|Seiten =435 – 684 |Online=https://de.wikisource.org/wiki/Encyklop%C3%A4die_der_mathematischen_Wissenschaften |DOI=10.1007/978-3-663-16021-2}}
* {{Literatur |Autor=[[John Lighton Synge|John Synge]] |Titel=''Classical Dynamics''|Verlag= Artikel 1 in Band III/1 der Reihe ''Handbuch der Physik (Prinzipien der klassischen Mechanik und Feldtheorie)''. Hrsg. v. [[Siegfried Flügge|S. Flügge]], Seiten 1–225. Springer-Verlag|Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg|Datum= 1960}}
* {{Literatur |Autor=[[Clifford Truesdell]], R. A. Toupin|Titel=''The Classical Field Theories''|Verlag= Artikel 2 in Band III/1 der Reihe ''Handbuch der Physik (Prinzipien der klassischen Mechanik und Feldtheorie)''. Hrsg. v. [[Siegfried Flügge|S. Flügge]], Seiten 226–902. Springer-Verlag|Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg|Datum= 1960}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Landau_Lifschiz_I_1962">
{{Literatur |Autor=[[Lew Dawidowitsch Landau]], [[Jewgeni Michailowitsch Lifschiz]] |Titel=Mechanik |Auflage=1 |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1962 |Umfang=X, 193 S. |Seiten=1}}
</ref>
<ref name="Halliday_2020">
{{Literatur |Autor=David Halliday, Robert Resnick |Titel=Physik. Teil 1 |Auflage=Reprint 2020 der 1993er |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin/Boston |Datum=2020 |ISBN=3110860767 |Umfang=792 |Seiten=33 |Online={{Google Buch |BuchID=RzcYEAAAQBAJ |Seite=33}}}}
</ref>
<ref name="Halliday_2017">
{{Literatur |Autor=David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker |Titel=Halliday Physik |Auflage=Dritte, vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage |Verlag=WILEY-VCH |Ort=Weinheim, Germany |Datum=2017 |ISBN=9783527812608 |Umfang=1635 |Seiten= |Online={{Google Buch |BuchID=ldM3DwAAQBAJ |Hervorhebung=Massepunkt}}}}
</ref>
<ref name="Stöcker_2010">
{{Literatur |Hrsg=[[Horst Stöcker]] |Titel=Taschenbuch der Physik: Formeln, Tabellen, Übersichten |Auflage=6. korrigierte Auflage |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2010 |ISBN=978-3-8171-1861-8 |Umfang=XXIV, 1079 |Seiten=10}}
</ref>
<ref name="Falk_1966">
{{Literatur |Autor=[[Gottfried Falk]] |Titel=Theoretische Physik auf der Grundlage einer allgemeinen Dynamik |TitelErg=Elementare Punktmechanik |Band=1. Band |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1966 |DOI=10.1007/978-3-642-94958-6 |DNB=456597212}}
</ref>
</references>
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Massenpunkt - Versionsgeschichte

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