imported>Vfb1893: BKL JEK aufgelöst

2025-01-10T21:17:57Z

BKL JEK aufgelöst

Neue Seite

Als '''Massefunktionen''' werden wichtige Parameter des [[Erdschwerefeld]]es bezeichnet, die durch [[Harmonische Funktion|harmonische Analyse]] des [[Schwerepotential]]s ([[Reihenentwicklung]] nach [[Kugelflächenfunktion|Kugelfunktionen]]) bestimmt werden können.

Der Begriff wurde vom [[Geodät]]en [[Karl Ledersteger]] um 1965 geprägt, der erstmals untersuchte, wie weit die wesentlichen Ergebnisse der [[Dynamische Satellitengeodäsie|Dynamischen Satellitengeodäsie]] mit theoretischen [[Gleichgewichtsfigur]]en des [[Erdinneres|Erdinnern]] in Einklang gebracht werden können.

Physikalisch stellen die Massefunktionen jene Parameter des Schwerepotentials dar, mit denen man die wesentlichen Abweichungen des Erdschwerefeldes von dem einer mittleren [[Erdfigur|Erdkugel]] bzw. eines theoretischen [[Erdellipsoid]]s beschreiben kann. Mathematisch sind sie die [[harmonische]]n [[Koeffizient]]en einer Reihenentwicklung des Schwerepotentials, die an der [[Erdoberfläche]] durch [[geografische Länge|längen-]] und [[geografische Breite|breiten]]<nowiki/>abhängige [[Kugelflächenfunktion]]en bis zu einem bestimmten [[Grad (Polynom)|Grad]] <math>n</math> durchgeführt wird. Diese [[zweidimensional]]e Lösung wird mittels geeigneter Verfahren der [[Feldfortsetzung]] in den Bereich der [[Bahnhöhe]]n der [[geodätischer Satellit|geodätischen Erdsatelliten]] transformiert.

== Einzelne Massefunktionen bzw. Koeffizienten ==
* <math>J_1</math> ist immer Null.
* Die größte Massefunktion des [[Erde|Erdkörpers]] ist der '''Schwerekoeffizient''' <math>J_2</math>, der etwa 0,00108 beträgt und direkt mit der [[Erdabplattung]] zusammenhängt (21 km Unterschied zwischen mittlerem Äquator- und Pol[[Erdradius|radius der Erde]]). Physikalisch ist <math>J_2</math> die Differenz der [[Trägheitsmoment]]e um die [[Erdachse|Rotationsachse der Erde]] und um eine im [[Äquator]] liegende Achse:

::<math>J_2 = J_\text{rot} - J_\text{eq}</math>
Als eigentliche Massefunktionen werden jedoch erst die nachfolgenden Koeffizienten <math>J_3, J_4</math> usw. bezeichnet, die wesentlich kleiner sind (Wirkung auf die Erdfigur nur wenige Millionstel bzw. weniger als 20 Meter). Sie beschreiben die mittlere vertikale Abweichung des [[Geoid]]s vom globalen Erdellipsoid in bestimmten [[Breitenkreis|Breitenzonen]]. Dieses [[Rotationssymmetrie|rotationssymmetrische]] Potentialmodell (Mittelung des [[Schwerefeld#Geopotential|Geopotentials]] entlang der [[Parallelkreis]]e) erhält man durch harmonische Entwicklung nach [[Zonale Kugelfunktion|zonalen Kugelfunktionen]], die sich aus breitenabhängigen [[Legendre-Polynom]]en aufbauen.
* <math>J_3</math> bedeutet eine Nord-Süd-[[Asymmetrie]] der Erdfigur, die einer unterschiedlichen Abplattung der beiden [[Erdoberfläche #Gliederung nach Hemisphären|Hemisphären]] entspricht und etwa 15 Meter ausmacht. Sie wurde bereits durch kleine [[Bahnstörung]]en des ersten US-[[Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]] [[Explorer 1]] entdeckt und erhielt in den Medien den unglücklichen Spitznamen „Birnenform der Erde“, obwohl sie gegenüber der Erdabplattung selbst weniger als ein Tausendstel beträgt und vom Weltraum aus nicht zu beobachten wäre.
* Die Massefunktion 4. Ordnung <math>J_4</math> kann als mittlere Abweichung der Erd[[Meridian (Geographie)|meridiane]] von der Ellipsenform gedeutet werden und macht unter 45° [[Geografische Breite|Breite]] ebenfalls rund 15 Meter aus (also wie <math>J_3</math> etwa 2 Millionstel des Erdradius).
* Der Koeffizient <math>J_5</math> ist fast Null.
* <math>J_6</math> macht nur wenige Meter aus, und die folgenden Terme lediglich einige [[Dezimeter]].

== Weiterentwicklung ==
Seit etwa 1970 wurde es möglich, die vereinfachte [[Zone|zonale]] Reihenentwicklung (<math>J_2, J_3, \dots, J_{14}</math>) des Geoids zu einer flächendeckenden, zweidimensionalen Analysemethode zu erweitern, in der auch die geografische Länge berücksichtigt ist. In einem solchen [[Erdmodell]] mit [[tesseral]]en (schachbrettartigen) Kugelflächenfunktionen entspricht <math>J_2</math> dem harmonischen Koeffizienten <math>C(2,0)</math>, <math>J_3</math> entspricht <math>C(3,0)</math> usw. Die allgemeinen Terme der harmonischen Koeffizienten werden dann als <math>C(n,m)</math> und <math>S(n,m)</math> bezeichnet. Dabei stehen <math>C</math> für einen [[Cosinus]]-Term und <math>S</math> für einen Sinus-Term, jeweils der geografischen Länge, die in der Ordnung <math>m</math> auftritt (<math>m = 0, 1, 2, \dots</math>), während <math>n</math> den [[Grad (Funktion)|Grad]] der Breitenabhängigkeit darstellt (<math>n = 2, 3, 4, \dots</math>).

In einer solchen verallgemeinerten Reihenentwicklung können sich daher breiten- und längenabhängige Wirkungen auf das Geoid zwanglos [[Superposition (Physik)|überlagern]], sodass man sie ohne jegliche Vorgaben (also nur aus den vorliegenden Messungen) bestimmen kann. Dies ist heute aus den Bahnen von Erdsatelliten bis etwa Grad und Ordnung 70 möglich.

Um etwa 1975 begann man, auch höhergradige Koeffizienten des Schwerefeldes zu bestimmen, indem man die aus Satellitenbahnen abgeleiteten [[Term]]e <math>C(n,m)</math> mit [[terrestrisch]] bestimmten Schwerefeldparametern kombinierte. Seit einigen Jahren ist dies bis etwa zu Grad und Ordnung 720 möglich. Damit haben die [[Geowissenschaften]] ein mathematisches Verfahren zur Verfügung, mit dem das Erdschwerefeld – je nach Bedarf – durch bis zu 100.000 Parameter beschrieben wird. Damit lässt sich das Geoid weltweit durch [[rekursiv]]e (also einfach zu [[programmieren]]de) Formeln mit einer [[Auflösung (Physik)|Auflösung]] von etwa 50 km darstellen, und die Wirkung auf [[Satellitenbahn]]en auf mindestens 1 Meter.

Feinere Details können durch lokale terrestrische Messungen angefügt werden, während bei geringerem Genauigkeitsbedarf die Reihenentwicklung an passender Stelle abgebrochen wird. So haben [[GPS-Empfänger]] das Schwerefeld der Erde bis etwa zum Grad n=8 oder 10 einprogrammiert, was etwa 100 Massefunktionen und einer Höhengenauigkeit von ca. 5 Metern entspricht.

== Literatur ==
* [[Karl Ledersteger]]: ''Astronomische und Physikalische Geodäsie (Erdmessung).'' In: ''[[Handbuch der Vermessungskunde|JEK]].'' Band V, Kapitel 6, 7 und 12, Metzler, Stuttgart 1968.
* [[Günter Seeber]]: ''Satellitengeodäsie.'' de Gruyter, um 1975 und 1995.
* [[Manfred Schneider (Geodät)|Manfred Schneider]]: ''[[Himmelsmechanik]].'' In 4 Bänden. Band I und III. München 1995 und 1999.
* {{Literatur |Autor=K. Seitz: |Titel=Ellipsoidische und topographische Effekte im geodätischen Randwertproblem |Ort=München |Datum=1997 |ISBN=3769695232 |Hrsg=Bayerische Akademie der Wissenschaften |Online={{Webarchiv | url=http://www.gik.uni-karlsruhe.de/diss_seitz.html | wayback=20070708225520 | text=Abstract (im Webarchiv)}}}}

== Siehe auch ==
* [[Erdmessung]], [[Physikalische Geodäsie]], [[Potentialtheorie]]
* [[Randwertaufgabe]], [[Störpotential]]
* [[Altimetrie]], [[Gradiometrie]]

[[Kategorie:Erdmessung]]
[[Kategorie:Potentialtheorie]]

Massefunktion - Versionsgeschichte

imported>Vfb1893: BKL JEK aufgelöst