~2026-25824-70: /* Supermartingale und Submartingale */

2026-04-28T12:47:56Z

Supermartingale und Submartingale

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{{Dieser Artikel|behandelt den Prozess Martingal in der Wahrscheinlichkeitstheorie.
* Zu Martingal im Reitsport siehe [[Hilfszügel]].
* Zu der entsprechenden Glücksspielstrategie siehe [[Martingalespiel]].}}

[[Datei:Randomwalk1rp.png|mini|400px|Bei der eindimensionalen [[Irrfahrt (Stochastik)|Irrfahrt]] geht man in jedem Schritt (x-Achse) mit Wahrscheinlichkeit 1/2 nach oben oder unten (y-Achse), fünf mögliche Pfade sind dargestellt. Ist <math>M_n</math> die Position auf der y-Achse zum Zeitpunkt ''n'', so erhält man ein Martingal <math>(M_n)_n</math>.]]

Als '''Martingal''' bezeichnet man in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] einen [[stochastischer Prozess|stochastischen Prozess]], der über den [[bedingter Erwartungswert|bedingten Erwartungswert]] definiert wird und sich dadurch auszeichnet, dass er im Mittel [[Fairness|fair]] ist. Martingale entstehen auf natürliche Weise aus der Modellierung fairer [[Glücksspiel|Glücksspiele]]. Vereinfacht kann man sagen, dass ein Martingal ein [[Nullsummenspiel]] beschreibt. Martingale wurden von [[Paul Lévy (Mathematiker)|Paul Lévy]] in die Mathematik eingeführt.

Eng verwandt mit den Martingalen sind die '''Supermartingale''', dies sind stochastische Prozesse, bei denen im Mittel ein Verlust auftritt, und '''Submartingale''', dies sind stochastische Prozesse, bei denen im Mittel ein Gewinn auftritt.

== Definition ==
=== Diskreter Fall ===
Gegeben seien ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math> (\Omega, \mathcal A, P )</math> sowie eine [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]] <math> \mathbb F = (\mathcal F_n)_{n \in \N} </math>. Gegeben sei ein [[stochastischer Prozess]] <math>X= (X_n)_{n \in \N} </math> auf <math> (\Omega, \mathcal A) </math>, für den gilt:
* Der Prozess ist ein [[integrierbarer Prozess]], das heißt, es ist <math> \operatorname E (|X_n|) < \infty </math> für alle <math> n \in \N </math>.
* Der Prozess ist [[Adaptierter Prozess|adaptiert]] an <math> \mathbb F </math>, das heißt, <math>X_n</math> ist <math>\mathcal F_n</math>[[messbare Funktion|-messbar]] für alle <math>n \in \N</math>.

Dann heißt <math> X </math> ein ''Martingal'' (bezüglich <math> \mathbb F </math>), wenn
:<math> \operatorname E (X_{n+1}|\mathcal F_n) = X_n \quad P\mathrm{-fast\ sicher\ f\ddot ur\ alle\ } n \in \N </math>

gilt.

Dabei bezeichnet <math> \operatorname E (Y | \mathcal B ) </math> den [[Bedingter Erwartungswert|bedingten Erwartungswert]] der [[Zufallsvariable]]n <math> Y </math>, gegeben die [[σ-Algebra]] <math> \mathcal B </math>.

=== Zeitstetiger Fall ===
Sind ein Wahrscheinlichkeitsraum <math> (\Omega, \mathcal A, P) </math> sowie eine beliebige, [[Ordnungsrelation|geordnete]] Indexmenge <math> T </math> (meist <math> T \subset \R </math>) und eine Filtrierung <math> \mathbb F = (\mathcal F_t)_{t \in T} </math> gegeben, so heißt ein integrierbarer, an <math> \mathbb F </math>-adaptierter Prozess <math> X=(X_t)_{t \in T} </math> ein Martingal (bezüglich <math> \mathbb F </math>), wenn für alle <math> s, t \in T </math> gilt
:<math> \operatorname E (X_t|\mathcal F_s) = X_s \quad P\mathrm{-fast\ sicher\ f\ddot ur\ alle\ } s \leq t </math>.

Die Definition im diskreten Fall ist ein Spezialfall der Definition des zeitstetigen Falls. Denn ist <math>(X_n)_{n\in\mathbb N}</math> ein diskretes Martingal, so gilt, gemäß der [[Bedingter Erwartungswert#Rechenregeln|Turmregel]],
:<math>\operatorname E(X_{n+1}\vert \mathcal F_{n-1})=\operatorname E(\operatorname E(X_{n+1}\vert\mathcal F_n)\vert \mathcal F_{n-1})=\operatorname E(X_n\vert\mathcal F_{n-1})=X_{n-1}.</math>
Induktiv folgt <math>\operatorname E(X_m\vert\mathcal F_n)=X_n</math> für alle <math>m\geq n</math>.

=== Supermartingale und Submartingale ===
Ein integrierbarer und <math>\mathbb{F}</math> adaptierter diskreter stochastischer Prozess heißt '''Submartingal''', wenn
:<math> \operatorname E (X_{n+1}|\mathcal F_n) \geq X_n \quad P\mathrm{-fast\ sicher\ f\ddot ur\ alle\ } n \in \N </math>,

und '''Supermartingal''', wenn
:<math> \operatorname E (X_{n+1}|\mathcal F_n) \leq X_n \quad P\mathrm{-fast\ sicher\ f\ddot ur\ alle\ } n \in \N </math>

gilt. Im stetigen Falle definiert man analog ein Submartingal über
:<math> \operatorname E (X_t|\mathcal F_s) \geq X_s \quad P\mathrm{-fast\ sicher\ f\ddot ur\ alle\ } s\leq t </math>.

und ein Supermartingal über
:<math> \operatorname E (X_t|\mathcal F_s) \leq X_s \quad P\mathrm{-fast\ sicher\ f\ddot ur\ alle\ } s\leq t </math>.

Submartingale sind also im Gegensatz zu Martingalen tendenziell steigend, Supermartingale tendenziell fallend.

=== Bemerkung ===
Die Eigenschaft, ein (Sub-/Super-)Martingal zu sein, kommt nicht stochastischen Prozessen allein zu, sondern immer einem stochastischen Prozess in Kombination mit einer Filtrierung. Daher sollte die Filtrierung immer mit angegeben werden. Manche Autoren geben keine Filtrierung mit an, wenn sie die von dem Prozess selbst [[erzeugte Filtrierung]] verwenden, die durch <math>\mathcal{F}_t^E :=\sigma({X_s;s \le t}) </math> gegeben ist. Wenn <math>(X_t)_{t \in T}</math> ein Martingal bezüglich einer Filtrierung <math>(\mathcal F_t)_{t \in T}</math> ist, dann ist es auch ein Martingal bezüglich <math>(\mathcal F_t^E)_{t \in T}</math>.

=== Allgemeiner Fall ===
Sei <math>I</math> eine [[halbgeordnete Menge]], <math>(E,\|\cdot\|_E)</math> ein [[Banachraum]], <math>(\Omega,\mathcal{F},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum mit einer Filtration <math>\mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\in I}</math> und <math>X=(X_t)_{t\in I}</math> ein <math>E</math>-wertiger Prozess darauf. Dann nennt man <math>X</math> ein ''<math>\mathbb{F}</math>-<math>P</math>-Martingal'', falls
* <math>X</math> <math>\mathbb{F}</math>-adaptiert ist,
* <math>\forall t \in I</math> ist <math>X_t\in L^1(\Omega,\mathcal{F}_t,P;E)</math>, das heißt <math>\mathbb{E}\|X_t\|_E<\infty</math>,
* <math>\mathbb{E}[X_t|\mathcal{F}_s]=X_s</math> <math>P</math>-fast sicher für alle <math>s,t\in I</math> mit <math>t\geq s</math> ist.
Falls zusätzlich gilt, dass
* <math>\forall t \in I</math> ist <math>X_t\in L^p(\Omega,\mathcal{F}_t,P;E)</math>, das heißt <math>\mathbb{E}\|X_t\|^p_E<\infty</math>,
dann ist <math>X</math> ein ''<math>L^p(\mathbb{F},P)</math>-Martingal'' oder kurz ''<math>L^p</math>-Martingal''.<ref>{{Literatur|Autor=Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis|Datum=2016|Titel=Analysis in Banach Spaces, Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory|Hrsg=Springer Cham|DOI=10.1007/978-3-319-48520-1|Kommentar=auf allgemeinen Banachräumen}}</ref>

=== Mehrdimensionaler Fall ===
Analog ist ein <math>d</math>-dimensionaler Prozess <math>M=(M^{(1)},\dots,M^{(d)})</math> ein Martingal in einem Raum <math>S^d</math>, falls jede Komponente <math>T_i(M)=M^{(i)}</math> ein ein-dimensionales Martingal in <math>S</math> ist.

== Motivierendes Beispiel ==
Der Begriff des Martingals lässt sich als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen [[Glücksspiel]]s auffassen. Sei dazu <math>M_0</math> das Startkapital des Spielers. Dieses wird in vielen Fällen eine Konstante sein, aber auch ein zufälliges Startkapital ist denkbar. Der zufällige Gewinn im ersten Spiel werde mit <math>X_1</math> bezeichnet. Er kann positiv, null oder negativ (also ein Verlust) sein. Das Kapital des Spielers nach dem ersten Spiel beträgt <math>M_1 = M_0 + X_1</math> und allgemein nach dem <math>n</math>-ten Spiel
:<math>M_n = M_0 + \sum_{k=1}^n X_k,</math>
wenn <math>X_k</math> den Gewinn im <math>k</math>-ten Spiel bezeichnet.
Bei einem fairen Glücksspiel ist der Erwartungswert jedes Gewinns gleich null, d. h., es gilt <math>E(X_k) = 0</math> für alle <math>k\in\N</math>.

Der Spielverlauf werde nun bis zum Zeitpunkt <math>n</math> einschließlich beobachtet, d. h. die Kapitalstände <math>M_0, M_1, \dots, M_n</math> seien bekannt. Falls nun der Gewinn im nächsten, also im <math>n+1</math>-ten, Spiel unabhängig vom bisherigen Spielverlauf ist, dann berechnet sich das erwartete Gesamtkapital <math>M_{n+1} = M_n + X_{n+1}</math> nach dem nächsten Spiel unter Berücksichtigung aller zur Verfügung stehenden Informationen mit Hilfe der Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte als
:<math>E(M_{n+1} \mid M_0,\dots,M_n) = E(M_n \mid M_0, \dots, M_n) + E(X_{n+1} \mid M_0,\ldots,M_n) = M_n + E(X_{n+1}) = M_n.</math>
Damit ist gezeigt, dass sich das Kapital eines Spielers, der an einem fairen Glücksspiel teilnimmt, als Martingal modellieren lässt.

Bei realen Glücksspielen, wie beispielsweise beim [[Roulette]], ist jedoch wegen des [[Bankvorteil]]s der erwartete Gewinn bei jedem Spiel im Allgemeinen negativ, also <math>E(X_k) < 0</math>. Dann ergibt sich analog zur obigen Rechnung
:<math>E(M_{n+1} \mid M_0,\dots,M_n) \leq M_n.</math>
Aus Sicht des Spielers handelt es sich in diesem Fall um ein Supermartingal (Merkspruch: „Supermartingale sind super für die Spielbank“).

== Beispiele ==
=== Von einer Filtrierung erzeugtes Martingal ===
Ist <math> (\Omega, \mathcal A, P) </math> ein Wahrscheinlichkeitsraum, <math> \mathbb F=(\mathcal F_n)_{n \in \N} </math> eine Filtration und <math> X </math> eine <math>P</math>-integrierbare Zufallsvariable auf <math> (\Omega, \mathcal A) </math>. Dann wird durch
:<math> X_n:=\operatorname E (X|\mathcal F_n) </math>

ein Martingal (bezüglich <math>\mathbb F</math>) definiert.

Um zu zeigen, dass es sich um ein Martingal handelt, rechnet man die Definition nach:
:<math> \operatorname E(X_{n+1}|\mathcal F_n)=\operatorname E (\operatorname E (X|\mathcal F_{n+1})|\mathcal F_n)= \operatorname E (X|\mathcal F_n)= X_n</math>.

Somit handelt es sich um ein Martingal. Dabei ist die erste Umformung das Einsetzen der Definition, die zweite eine Anwendung der Turmregel des bedingten Erwartungswertes und die dritte wieder Einsetzen der Definition.

=== Pólya-Urne ===
In einer [[Polyas Urnenmodell|Pólya-Urne]] liegen zu Beginn eine schwarze und eine weiße Kugel. In jedem Schritt wird eine Kugel zufällig aus der Urne gezogen und im Anschluss mit einer weiteren gleichfarbigen Kugel gemeinsam zurückgelegt. Wenn <math>X_n</math> die Anzahl der schwarzen Kugeln in der Urne nach <math>n</math> Schritten bezeichnet, so ist <math>\left(\frac{X_n}{n+2}\right)_{n\geq 0}</math> ein Martingal bzgl. der kanonischen Filtrierung.

=== Doob-Martingal ===
Ein Spezialfall des obigen Martingals sind [[Doob-Martingal]]e: Ist eine P-integrierbare Zufallsvariable <math> X </math> gegeben und wird die Filtrierung durch eine Folge von Zufallsvariablen <math> (Y_n)_{n \in \N} </math> erzeugt, also
:<math> \mathcal F_n:=\sigma (Y_0, \dots, Y_n) </math>,

so heißt das Martingal, welches durch
:<math> X_n:=\operatorname E(X|\mathcal F_n)= \operatorname E (X| Y_0, \dots, Y_n) </math>

definiert wird, ein Doob-Martingal (benannt nach [[Joseph L. Doob]]).

=== Epidemiemodelle ===
Martingale werden auch in der mathematischen Theorie der Epidemien angewendet. Das Ende einer Epidemie ist eine [[Stoppzeit]]. So können Formeln für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der finalen Größe der Epidemie abgeleitet werden.<ref>Philippe Picard: ''Application of Martingale theory to some epidemic models.'' In: ''J. of Applied Probability.'' Band 17, 1980, S. 583–599.</ref><ref>Claude Lefèvre, Philippe Picard: ''On the formulation of discrete-time epidemic models.'' In: ''Mathematical Biosciences.'' Band 95, 1989, S. 27–35.</ref>

== Beispiele für zeitstetige Martingale ==
[[Datei:Wienerprozess.png|mini|Wiener-Prozess als Beispiel für ein Martingal]]
* Ein [[Wiener-Prozess]] <math>W_t</math> ist ein Martingal, ebenso sind für einen Wiener-Prozess <math>W_t</math> die Prozesse <math>W_t^2 - t</math> und die [[geometrische brownsche Bewegung]] ohne Drift <math>a \exp\left(\sigma W_t - \frac{\sigma^2}{2}t\right)</math> Martingale.
* Ein [[Poisson-Prozess]] mit Rate <math>\lambda</math>, der um seinen Drift bereinigt wird, also <math>\hat P_{\lambda,t}=P_{\lambda,t}-\lambda t</math>, ist ein Martingal.
* Nach der [[Itō-Formel]] gilt: Jedes [[Stochastische Integration|Itō-Integral]] (mit beschränktem Integranden) ist ein Martingal. Nach dem Itoschen Martingaldarstellungssatz lässt sich umgekehrt jedes Martingal (sogar jedes lokale Martingal) bezüglich einer von einer Brownschen Bewegung erzeugten Filtration als Ito-Integral bezüglich ebendieser Brown’schen Bewegung darstellen.
* Jedes [[stetig]]e Martingal ist entweder von unendlicher [[Variation (Mathematik)|Variation]] oder [[Konstante Funktion|konstant]].
* Jedes [[Stoppzeit|gestoppte]] Martingal ist wieder ein Martingal.
[[Datei:HittingTimes1.png|mini|Gestoppte Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Martingal]]

== Eigenschaften ==
=== Erwartungswert ===
Sei <math>(X_t)_{t\in T}</math> ein Martingal. Es gilt, für alle <math>s \le t</math>,
: <math>\operatorname E(X_t)=\operatorname E(\operatorname E(X_t\vert\mathcal F_s))=\operatorname E(X_s).</math>
Falls <math>T</math> [[Ordnungsrelation#Totalordnung|total geordnet]] ist, so ist der Erwartungswert von allen <math>X_t</math> also gleich. Wenn <math>X_t</math> beispielsweise das Kapital eines Glücksspielers zum Zeitpunkt <math>t</math> modelliert, so ist das Glücksspiel also in der Tat fair, denn der Erwartungswert des Kapitals ist gleich dem Anfangskapital.
=== Rechenregeln ===
* <math> X </math> ist genau dann ein Submartingal, wenn <math> -X </math> ein Supermartingal ist.
* Sind <math> X,Y</math> (Sub-)Supermartingale und ist <math> a,b \geq 0 </math>, dann ist auch <math> aX+bY </math> ein (Sub-)Supermartingal.
* Sind <math> X,Y </math> Martingale, so ist auch <math> aX+bY </math> ein Martingal für <math> a,b \in \R </math>.
* Sind <math> X,Y </math> Supermartingale, dann ist auch
::<math> Z= (\min(X_t,Y_t))_{t \in T} </math>
:ein Supermartingal.
* Sind <math> X,Y </math> Submartingale, dann ist auch
::<math> Z= (\max(X_t,Y_t))_{t \in T} </math>
:ein Submartingal.
* Ist <math> \varphi </math> eine konvexe Funktion und <math> X </math> ein Martingal und gilt <math> \operatorname E (\varphi(X_t)^+) < \infty </math>, so ist <math> (\varphi(X_t))_{t \in T} </math> ein Submartingal.

=== Einfluss der Filtrierung ===
Sind zwei Filtrierungen <math> \mathcal F, \mathcal F^* </math> gegeben und ist <math> \mathcal F </math> kleiner als <math> \mathcal F^* </math> in dem Sinne, dass für jedes <math> t </math> gilt <math> \mathcal F_t \subset \mathcal F^*_t </math>, so ist jedes <math> \mathcal F^* </math>-Martingal auch ein <math> \mathcal F </math>-Martingal.

=== Orthogonalität ===
Seien <math>X,Y</math> zwei quadratintegrierbare Martingale mit <math>X_0=Y_0=0</math> und seien <math>X_{\infty},Y_{\infty}</math> ihre terminalen Werte, dann heißen sie
* ''schwach orthogonal'' wenn <math>\mathbb{E}[X_{\infty}Y_{\infty}]=0</math>,
* ''stark orthogonal'' wenn <math> XY</math> ein gleichmäßig-integrierbares Martingal ist oder äquivalent wenn <math>\langle X,Y\rangle_t=0</math>.<ref>{{Literatur|Autor=Philip E. Protter|Titel=Stochastic Integration and Differential Equations|Hrsg=Springer|Ort=Berlin|Datum=2003|ISBN=3-540-00313-4|Seiten=179}}</ref>

== Quadratische Variation und Exponentialmartingal ==
Ist die [[quadratische Variation]] <math>\langle M\rangle</math> eines stetigen beschränkten Martingals <math>M_t</math> (oder eines mit endlichen exponentiellen Momenten) endlich, so ist der stochastische Prozess
:<math>X_t = M_t^2 - \langle M \rangle_t</math>
ebenfalls ein Martingal.

Ebenso ist das sogenannte [[Stochastisches Exponential|Exponentialmartingal]] von <math>M_t</math>, gegeben durch
:<math>X_t=e^{\left(M_t-\frac{1}{2}\langle M\rangle_t\right)},</math>

ein Martingal. Dies folgt aus dem [[Kazamaki-Kriterium]].

== Wichtige Aussagen über Martingale ==
=== Ungleichungen ===
Die wichtigsten Ungleichungen im Bezug auf Martingale sind die [[Doobsche Maximalungleichung]] und die [[Aufkreuzungsungleichung]]. Die Doobsche Maximalungleichung liefert eine Abschätzung dafür, welcher Maximalwert eines Martingals bis zu einem gegebenen Zeitpunkt nicht überschritten wird. Die Aufkreuzungsungleichung liefert eine Aussage darüber, wie oft ein Submartingal ein vorgegebenes Intervall von unten nach oben durchquert.

=== Kombination mit Stoppzeiten ===
Das [[Optional Stopping Theorem]] und das [[Optional Sampling Theorem]] kombinieren [[Stoppzeit]]en mit Martingalen und beschäftigen sich mit den Eigenschaften und Erwartungswerten der [[Gestoppter Prozess|gestoppten]] Prozesse. Mit diesen Ergebnissen kann man zeigen, dass keine Abbruchstrategie für ein faires Spiel existiert, die für den Spieler vorteilhaft ist.

=== Martingaltransformation ===
{{Hauptartikel|Martingaltransformation}}
Ein Martingal und ein vorhersagbarer, lokal beschränkter Prozess lassen sich mittels des [[Diskretes stochastisches Integral|diskreten stochastischen Integrals]] zu einem neuen Martingal kombinieren. Man nennt diesen Prozess dann die Martingaltransformierte des ursprünglichen Martingals. Die Martingaltransformierte ist wieder ein Martingal. Dies hat weitreichende Folgen für die Existenz von Spielstrategien in fairen Spielen, die dem Spieler im Mittel Gewinn bringen. Modelliert das Martingal das faire Spiel und der vorhersagbare, lokal beschränkte Prozess die Spielstrategie, so folgert aus der Martingaltransformation, dass es keine Spielstrategie gibt, die dem Spieler im Allgemeinen einen Vorteil bringt.

=== Doob-Zerlegung ===
Die [[Doob-Zerlegung]] erlaubt für jeden adaptierten integrierbaren stochastischen Prozess eine Zerlegung in ein Martingal und einen [[Vorhersagbarer Prozess|vorhersagbaren Prozess]].

=== Martingalkonvergenzsatz ===
Der [[Martingalkonvergenzsatz]] liefert für Zufallsvariablen, die ein Martingal bilden, Kriterien, unter denen sie [[Fast sichere Konvergenz|fast sicher]] oder [[Konvergenz im p-ten Mittel|im p-ten Mittel]] konvergieren.

== Abgeleitete Prozessklassen ==
=== Lokale Martingale ===
[[Lokales Martingal|Lokale Martingale]] sind Prozesse, für die eine monoton wachsende Folge von [[Stoppzeit]]en existiert, so dass für jede Stoppzeit der [[Gestoppter Prozess|gestoppte Prozess]] ein Martingal ist.

=== Semimartingale ===
[[Semimartingale]] sind eine Klasse von [[Adaptierter Prozess|adaptierten Prozessen]] mit [[Càdlàg]]-Pfaden (Die Pfade sind rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren), die sich in ein lokales Martingal, ein Prozess mit lokal endlicher Variation und einen fast sicher endlichen Anteil zerlegen lassen.

=== Rückwärtsmartingale ===
[[Rückwärtsmartingal]]e sind Martingale, bei denen die Indexmenge umgekehrt wird. Sie laufen quasi „falschherum“ bzw. von hinten nach vorne.

== Herkunft des Wortes ==
Die [[Martingalespiel|Martingale]] ist eine seit dem 18. Jahrhundert bekannte Strategie im Glücksspiel, bei der nach einem verlorenen Spiel der Einsatz erhöht (im einfachsten Fall verdoppelt) wird, so dass im hypothetischen Fall unerschöpflichen Vermögens, unerschöpflicher Zeit und der Nichtexistenz eines Höchsteinsatzes sicherer Gewinn einträte.<ref>H. Bauer: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' de Gruyter, Berlin 1991, S. 144.</ref> Was den Ursprung des Wortes (und nicht des Konzepts) betrifft, so findet sich das erste Zitat in der [[Dissertation]] ''Étude critique de la notion de collectif'' von [[Jean Ville|Jean André Ville]]. Dort tritt das Wort in Kapitel IV, dritter Absatz, im Ausdruck ''système de jeu ou martingale'' („Spielsystem oder Martingal“) auf; jedoch gibt er ab dem folgenden Kapitel den Ausdruck „Spielsystem“ vollständig auf und behält nur „Martingal“. Er macht an anderer Stelle deutlich, dass dieser Name direkt aus dem Wortschatz der Spieler entlehnt ist. Tatsächlich war es zu dieser Zeit nicht ungewöhnlich, dass Spieler, die behaupteten, eine sichere Gewinnstrategie zu haben, mit Probabilisten sprachen. Ville selbst traf einen gewissen Parcot, der die Roulette-Ergebnisse analysierte, um seine angeblich sichere Gewinnstrategie oder sein Martingal zu erhalten. Das Wort war daher den Probabilisten vertraut und wurde auf das mathematische Konzept übertragen, dessen erste Beispiele aus Spielen stammten.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.jehps.net/juin2009/Mansuy.pdf |titel=The Origins of the Word “Martingale” |hrsg=Roger MANSUY |abruf=2023-01-02 |sprache=en}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Andrew Shepard |url=https://roulette77.de/roulette-strategien/grand-martingale |titel=Testen und Analysieren des Grand Martingale Systems |werk=roulette77.de |datum=2022-11-25 |abruf=2023-01-02 |sprache=de}}</ref>

Da die Martingale das bekannteste Spielsystem war und ist, wurde der Begriff auch als Synonym für „Spielsystem“ gebraucht und fand so Eingang in die mathematische Literatur.<ref name="jehps">[https://www.jehps.net/juin2009/Mansuy.pdf The Origins of the Word "Martingale"] auf jehps.net, S. 1 f.</ref>

Das Wort „Martingale“ selbst stammt aus dem [[Provenzalische Sprache|Provenzalischen]] und leitet sich von der französischen Stadt [[Martigues]] im [[Département Bouches-du-Rhône]] am Rande der [[Camargue]] ab, deren Einwohner früher als etwas naiv galten. Der provenzalische Ausdruck ''jouga a la martegalo'' bedeutet so viel wie sehr waghalsig zu spielen.

Der „Martingal“ genannte [[Hilfszügel]] soll ebenfalls nach der Stadt Martigues benannt sein, hierbei handelt es sich um einen optionalen Teil der Pferdeausrüstung, der das Pferd daran hindern soll, den Kopf nach oben zu reißen und zu steigen. Dass dieser Hilfszügel ebenfalls Martingal genannt wird, war den Pionieren der Martingaltheorie nicht bekannt<ref name="jehps" /> und hat mit der mathematischen Begriffsbildung nichts zu tun.

== Weblinks ==
* {{EoM| Autor = A.N. Shiryaev| Titel = Martingale | Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Martingale| id = }}
* {{MathWorld| id = Martingale| title = Martingale| author = }}

== Literatur ==
; Historische Literatur
* [[Paul Lévy (Mathematiker)|Paul Lévy]]: ''Calcul de probabilités.'' Gauthier-Villars, Paris 1925.
* [[Joseph L. Doob|J. L. Doob]]: ''Stochastic Processes.'' Wiley, New York 1953.

; Einführungen
* David Williams: ''Probability with Martingales.'' Cambridge University Press, Cambridge 1991, ISBN 0-521-40605-6.
* [[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]: ''Wahrscheinlichkeitstheorie''. 5. Auflage, de Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4.

; Diskrete Martingale
* {{Literatur |Autor=Harald Luschgy |Titel=Martingale in diskreter Zeit – Theorie und Anwendungen |Verlag=Springer Spektrum |Ort=New York |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-29960-5| DOI=10.1007/978-3-642-29961-2}}
* J. Neveu: ''Discrete-Parameter Martingales''. North-Holland, Amsterdam 1975.
* Y. S. Chow und H. Teicher: ''Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales''. Springer, New York 1997.

; Stetige Martingale
* C. Dellacherie, P.-A. Meyer: ''Probabilités et potentiel I-IV'', Hermann Paris, 1975–1987. (Englische Übersetzung bei North Holland.)

; Anwendungen
* R. Bouss: ''Optimierung des Kreditgeschäftes mit Martingalen''. Haupt, Bern 2003.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Martingale und Martingaltheorie| ]]

Martingal - Versionsgeschichte

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