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2026-04-26T17:00:35Z

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Ein '''Markow-Prozess''' beschreibt eine Klasse stochastischer Prozesse. Sie sind nach [[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1856)|Andrei Andrejewitsch Markow]] benannt. Für Markow-Prozesse ist die Wahrscheinlichkeit, einen Zustand anzunehmen einzig von dem Zustand abhängig, in dem sie sich davor befanden, aber nicht von der gesamten Vergangenheit des Prozesses. Markow-Prozesse haben somit ein „kurzes Gedächtnis“.

Im Fall einer endlichen Zustandsmenge basiert die mathematische Formulierung auf den Konzepten der [[Diskrete Verteilung|diskreten Verteilung]] und der [[Bedingte Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeit]]. Bei Prozessen mit kontinuierlicher Zeit sind weiterführende mathematische Konzepte wie [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]] und [[bedingte Erwartung]] erforderlich.

== Definition ==
Gegeben sei ein stochastischer Prozess <math> X=(X_t)_{t \in T} </math>, wofür die Indexmenge <math> T </math> gilt, dass <math> T \subset [0,\infty) </math> sowie <math> 0 \in T </math> und sie abgeschlossen bezüglich Addition ist. Jedes <math> X_t </math> nehme Werte im [[Zustandsraum (Stochastik)|Zustandsraum]] <math> (E, \mathcal B(E)) </math> an, demnach nimmt <math> X </math> Werte in <math> (E^{\times T}, \mathcal B (E)^{ \otimes T}) </math> an. Dabei ist <math> \mathcal B (E) </math> die [[Borelsche σ-Algebra]].

Der Prozess heißt dann ein ''Markow-Prozess'' mit Verteilungen <math> (P_x)_{x \in E} </math> auf <math> (\Omega, \mathcal A) </math>, wenn gilt:

# Für alle <math> x \in E </math> ist <math> X </math> ein stochastischer Prozess auf <math> (\Omega, \mathcal A, P_x) </math> mit <math> P_x(X_0=x)=1 </math>
# Es existiert ein [[Markow-Kern]] <math> \kappa </math> von <math> (E, \mathcal B(E)) </math> nach <math> (E^{ \times T}, \mathcal B (E)^{\otimes T}) </math> mit <math> \kappa(x, B)= P_x(X \in B) </math> für alle <math> B \in \mathcal B (E)^{ \otimes T} </math>.
# Es gilt die [[schwache Markow-Eigenschaft]].

=== Stetige Zeit und diskreter Zustandsraum ===
Analog lässt sich die Markow-Kette auch für kontinuierliche Zeit und diskreten Zustandsraum bilden. Das heißt, dass sich zu bestimmten Zeitpunkten der Zustand sprunghaft ändert.

Sei <math>(X(t))_{t \ge 0}</math> ein stochastischer Prozess mit kontinuierlicher Zeit und diskretem Zustandsraum. Dann gilt bei einem homogenen Markow-Prozess

: <math>\forall n \in\N,\ 0 < t_1 < \dotsb < t_n,\ t > 0,\ i_1, \ldots, i_n, j \in S:</math>
:: <math>\begin{align}
P(X(t_n + t) = j \mid X(t_n) = i_n, \ldots, X(t_1) = i_1)
&= P(X(t_n + t) = j \mid X(t_n) = i_n)\\
&= P(X(t) = j \mid X(0) = i_n)\\
&=: p_{i_n,j}(t)
\end{align}</math>

Auch hier lassen sich Übergangsmatrizen bilden: <math>P(t) := [ p_{i,j} (t) ]</math> für alle <math>t > 0</math> und <math>P(0) := I</math> (Hierbei steht <math>I</math> wie üblich für die [[Einheitsmatrix]]).

Es gilt die [[Chapman-Kolmogorow-Gleichung]] und <math>(P(t))_{t\geq0}</math> ist entsprechend eine [[Halbgruppe]], die unter gewissen Voraussetzungen einen [[Infinitesimaler Erzeuger|infinitesimalen Erzeuger]], nämlich die [[Q-Matrix]] hat.

== Anmerkungen ==
Inhomogene Markow-Prozesse lassen sich mithilfe der [[Elementare Markow-Eigenschaft|elementaren Markow-Eigenschaft]] definieren, homogene Markow-Prozesse mittels der [[Schwache Markow-Eigenschaft|schwachen Markow-Eigenschaft]] für Prozesse mit stetiger Zeit und mit Werten in beliebigen Räumen definieren. Meist beschränkt man sich hierbei aber aus Gründen der Handhabbarkeit auf [[Polnischer Raum|polnische Räume]]. Eine Verschärfung der schwachen Markow-Eigenschaft ist die [[starke Markow-Eigenschaft]].

== Beispiel ==
Ein klassisches Beispiel für einen Markow-Prozess in stetiger Zeit und stetigem Zustandsraum ist der [[Wiener-Prozess]], die mathematische Modellierung der [[Brownsche Bewegung|brownschen Bewegung]].

Beispiel für einen Markow-Prozess in stetiger Zeit und diskretem Zustandsraum ist der homogene [[Poisson-Prozess]], der die Q-Matrix <math> p_{ij}=\lambda \mathbf{1}_{\{j=i+1\}} - \lambda \mathbf{1}_{\{j=i\}} </math> besitzt, oder allgemeiner jeder [[Geburts- und Todesprozess]].

== Anwendungen ==
In der [[Finanzmathematik]] werden auf dem [[Wiener-Prozess]] basierende Markow-Prozesse zur Modellierung von Aktienkurs- und Zinsentwicklungen verwandt.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Ehrhard Behrends |Titel=Markovprozesse und stochastische Differentialgleichungen: Vom Zufallsspaziergang zur Black-Scholes-Formel |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2013 |Reihe=SpringerLink Bücher |ISBN=978-3-658-00987-8 |Sprache=de}}
* {{Literatur |Autor=Jewgeni Borissowitsch Dynkin, Alexander Adolfowitsch Juschkewitsch |Titel=Sätze und Aufgaben über Markoffsche Prozesse |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1969 |Reihe=Heidelberger Taschenbücher |NummerReihe=51 |ISBN=978-3-540-04546-5 |Sprache=de}}
* {{Literatur |Autor=Achim Klenke |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Auflage=3. Aufl. 2013 |Verlag=Springer Berlin Heidelberg Imprint Springer Spektrum |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2013 |Reihe=Springer-Lehrbuch Masterclass |ISBN=978-3-642-36018-3 |Sprache=de}}

[[Kategorie:Markow-Prozesse| ]]

Markow-Prozess - Versionsgeschichte

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