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2023-05-25T16:32:49Z

Wie groß ist die n-te Markoff-Zahl?: link geprüft

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[[Datei:MarkoffNumberTree.png|mini|450px|Die ersten Einträge im Baum der Markoff-Zahlen]]
Eine '''Markoff-Zahl''' (nach [[Andrei Andrejewitsch Markow (Mathematiker, 1856)|Andrei Andrejewitsch Markow]]) ist eine natürliche Zahl <math>x, y</math> oder <math>z</math>, die als Lösung der [[Diophantische Gleichung|diophantischen]] ''Markoff-Gleichung''

: <math>x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz\,</math>

vorkommt. Die ersten Markoff-Zahlen sind
: 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, …
Sie sind Teile der Lösungen der Markoff-Gleichung, von denen die ersten <math>(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29)</math> lauten. Die Lösungen werden auch als ''Markoff-Tripel'' bezeichnet.<ref>Siehe auch den Abschnitt „Die Markoff-Zahlen“ in Paulo Ribenboims Buch ''Meine Zahlen, meine Freunde'': [http://books.google.de/books?id=5sB1T_-jGSQC&lpg=PP1&dq=ribenboim%20zahlen&hl=en&pg=PA312#v=onepage&q=markoff&f=false Google Books]</ref><ref>Die Markoff-Zahlen sind die Folge A002559 in [[Neil Sloane]]s [http://oeis.org/ Online Encyclopedia of Integer Sequences].</ref>

Markoff-Zahlen kommen in der Theorie der [[Binäre quadratische Form#Markoff-Formen|Quadratischen Formen]] und der [[Diophantische Approximation|diophantischen Approximationen]] vor: Ist <math>m</math> eine Markoff-Zahl, so ist <math>m/\sqrt{9m^2-4}</math> sowohl ein Element des sogenannten ''Markoff-Spektrums'' (quadratische Formen) als auch des Lagrange-Spektrums (diophantische Approximationen).

== Eigenschaften ==
Es gibt unendlich viele Markoff-Zahlen und -Tripel. Da die Markoff-Gleichung symmetrisch in den Variablen ist, kann man die Lösungstripel <math>(x, y, z)</math> der Größe nach geordnet mit <math>x \le y \le z</math> angeben. Mit Ausnahme der beiden kleinsten Tripel <math>(1,1,1)</math> und <math>(1,1,2)</math> bestehen die Lösungstripel <math>(x, y, z)</math> aus drei verschiedenen Zahlen. Eine seit langer Zeit untersuchte – aber noch unbewiesene – Vermutung besagt, dass das größte Element <math>z</math> eines Tripels schon das Markoff-Tripel <math>(x, y, z)</math> bestimmt.<ref>Der Lösungsansatz von Norbert Riedel aus dem Jahr 2007 (''Markoff Equation and Nilpotent Matrices'', {{arXiv|0709.1499}}) wird diskutiert in dem langen Artikel von Serge Perrine: ''De Frobenius à Riedel: analyse des solutions de l’équation de Markoff'', [http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/40/66/01/PDF/Perrine_orig.pdf Archive-Ouvertes] (PDF; 713 kB).</ref>

Die Markoff-Zahlen können wie rechts abgebildet in einem Baum angeordnet werden. Die zur Region 1 benachbarten Markoff-Zahlen sind die [[Fibonacci-Folge|Fibonacci-Zahlen]] <math>f_i</math> mit ungeradem <math>i</math>. Die zur Region 2 benachbarten Markoff-Zahlen sind die sogenannten [[Pell-Folge|Pell-Zahlen]] <math>p_i</math> mit ungeradem <math>i</math>.<ref>Diese genügen, mit den Startwerten <math>p_0=0</math> und <math>p_1=1</math>, der Rekursion <math>p_i = 2p_{i-1}+p_{i-2}</math>. Die Pell-Zahlen mit ungeradem <math>i</math> haben die Eigenschaft, dass <math>2p_i^2 - 1</math> eine Quadratzahl ist (sie sind Lösungen <math>y</math> der [[Pellsche Gleichung|Pellschen Gleichung]] <math>x^2-2y^2=-1\,</math>).</ref>

Ist eine Markoff-Zahl <math>m</math> ungerade, so erfüllt sie die Kongruenz <math>m \equiv 1\ mod\ 4</math> und wenn sie gerade ist, dann gilt <math>m \equiv 2\ mod\ 32</math>.<ref>Ying Zhang: ''Congruence and Uniqueness of Certain Markov Numbers'', Acta Arithmetica '''128''' 3, 2007, 295–301</ref> Die drei Markoff-Zahlen eines Tripels sind stets paarweise [[Teilerfremdheit|teilerfremd]].

== Die Erzeugung neuer Markoff-Tripel aus bekannten ==
Man kann aus einer Lösung <math>(x, y, z)</math> der Markoff-Gleichung mittels <math>(x, y, z) \to (x, y, 3xy - z)</math> weitere Lösungen erzeugen.<ref>Es gilt nämlich <math>x^2 + y^2 + (3xy-z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 9x^2y^2 - 6xyz = 9x^2y^2 - 3xyz = 3(3xy-z)xy\,</math>.</ref> Dabei ist es nicht nötig, dass die Lösung, mit der man beginnt, der Größe nach geordnet ist. Die unterschiedlichen Anordnungen von <math>x, y</math> und <math>z</math> können unterschiedliche Tripel <math>(x, y, 3xy - z)</math> erzeugen.

Nimmt man zum Beispiel <math>(1, 5, 13)</math>, dann bekommt man die drei benachbarten Tripel <math>(5, 13, 194), (1, 13, 34)</math> und <math>(1, 2, 5)</math> im Markoff-Baum, wenn man <math>x</math> gleich <math>1, 5</math> oder <math>13</math> setzt. Wendet man <math>(x, y, z) \to (x, y, 3xy - z)</math> zweimal an, ohne die Einträge im Tripel umzusortieren, so bekommt man wieder das Ausgangstripel.

[[Datei:MarkoffNumberAsymptotics.png|mini|300px|Fehler der Approximation für die ersten 1000 Markoff-Zahlen]]
Beginnt man mit <math>(1, 1, 2)</math> und vertauscht fortwährend <math>y</math> und <math>z</math> vor jeder Transformation, so erzeugt man damit die oben erwähnten Markoff-Tripel, die Fibonacci-Zahlen enthalten. Mit dem gleichen Starttripel aber mit Vertauschen von <math>x</math> und <math>z</math> erzeugt man die Pell-Lösungen.

== Wie groß ist die ''n''-te Markoff-Zahl? ==
Im Jahr 1982 bewies [[Don Zagier]] eine asymptotische Formel für die Anzahl der Markoff-Tripel unterhalb einer Schranke und vermutete, dass die <math>n</math>-te Markoff-Zahl asymptotisch gegeben ist durch
:<math>m_n = \tfrac13 e^{C\sqrt{n}+o(1)}</math> mit <math>C = 2,3523418721\ldots</math>
(hier wird die [[Landau-Symbole|O-Notation]] von E. Landau verwendet).<ref>Don B. Zagier: ''On the Number of Markoff Numbers Below a Given Bound''. In: ''Mathematics of Computation'', 160, 1982, S. 709–723, [http://www.ams.org/journals/mcom/1982-39-160/S0025-5718-1982-0669663-7/S0025-5718-1982-0669663-7.pdf ams.org] (PDF; 1,2 MB)</ref><ref>Siehe den {{Webarchiv |url=http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/MarkoffEn2009.pdf |wayback=20140224114418 |text=Vortrag von M. Waldschmidt |format=PDF; 4,2 MB}}</ref>
Der Fehler <math>(\log(3 m_n)/C)^2-n</math> ist in der nebenstehenden Abbildung illustriert. Die 1000. Markoff-Zahl ist ca. <math>6\cdot 10^{31}</math>.<ref>{{OEIS|A002559}}</ref>

== Literatur ==
* Thomas Cusick, Mari Flahive: ''The Markoff and Lagrange spectra''. In: ''Math. Surveys and Monographs'', 30, 1989, AMS, Providence
* Serge Perrine: ''La théorie de Markoff et ses développements''. Tessier & Ashpool, 2002, {{arXiv|math-ph/0307032}}
* [[Caroline Series]]: ''The Geometry of Markoff Numbers''. In: ''The Mathematical Intelligencer'', 7 (3), 1985, S. 20–29.
* {{MathWorld |id=MarkovNumber |title=Markov number}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Markoff-Zahl - Versionsgeschichte

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