~2026-11367-67: Zwei Punke nacheinander, einen entfernt

2026-02-20T19:53:12Z

Zwei Punke nacheinander, einen entfernt

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Als '''Mantelfläche''' oder kurz ''Mantel'' bezeichnet man in der [[Geometrie]] einen Teil der Oberfläche bestimmter [[Körper (Geometrie)|Körper]]. In diesem Artikel wird die Mantelfläche von [[Rotationskörper]]n behandelt, zu denen unter anderem der [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], der [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] und der [[Kegelstumpf]] zählen. Zur Mantelfläche bei Nicht-Rotationskörpern wird auf die jeweiligen Artikel verwiesen (siehe z. B. [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]] und [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]). „Boden“ ([[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]]) und „Deckel“ (Deckfläche) des Körpers werden, falls vorhanden, in der Regel nicht zum „Mantel“ (Mantelfläche) gezählt und gelegentlich als „Stirnflächen“ bezeichnet.

Die Mantelfläche von Zylinder, Kegel und Kegelstumpf kann durch „Abrollen“ oder „[[Abwicklung (Darstellende Geometrie)|Abwickeln]]“ zweidimensional dargestellt werden. Zur Berechnung der Fläche genügen in diesen Fällen einfache geometrische Formeln. Allgemein gilt für Rotationskörper, dass ihre Mantelfläche durch Rotation eines [[Funktionsgraph|Graphen]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] um eine Koordinatenachse entsteht. Bei diesem Ansatz wird die [[Integralrechnung]] zur Berechnung der Fläche benötigt.

== Mantelfläche des Kreiszylinders ==
[[Datei:Kreiszylinder.svg|mini|480px|Abbildung 1: Gerader Kreiszylinder mit abgerollter Mantelfläche]]
Die blaue Fläche in Abbildung 1 entspricht der Mantelfläche des gezeigten [[Kreiszylinder]]s. Dieser könnte etwa durch Rotation einer konstanten Funktion um eine Koordinatenachse entstehen.

Interessant ist, dass die Mantelfläche eines Zylinders, der gerade eine Kugel in sich aufnehmen kann (Zylinderradius = Kugelradius <math>r</math> und Zylinderhöhe <math>h = 2r</math>), mit der Oberfläche der Kugel übereinstimmt.
<div style="clear:both;"></div>

== Mantelfläche des Kegels ==
Siehe dazu [[Kegel (Geometrie)#Mantelfläche]].

== Mantelfläche des Kegelstumpfs ==
[[Datei:Kegelstumpf mit Mantel.svg|mini|hochkant=2|Abbildung 2: Kegelstumpf und seine abgewickelte Mantelfläche]]
Die punktierte Fläche in Abbildung 2 entspricht der Mantelfläche des gezeigten [[Kegelstumpf]]s, betrachtet in der [[Draufsicht]]. Dieser könnte etwa durch Rotation einer Geraden um eine Koordinatenachse entstehen.

=== Herleitung ===
Es sei <math> M_\mathrm{G}</math> die Mantelfläche des ganzen Kegels,
<math> M_\mathrm{H}</math> die Mantelfläche vom kleinen Kegel und
<math> M_\mathrm{KS}</math> die Mantelfläche vom Kegelstumpf,
dann errechnet sich die Mantelfläche
<math> M_\mathrm{KS}</math> des Kegelstumpfes durch
<math> M_\mathrm{KS} = M_\mathrm{G}-M_\mathrm{H}</math>

Nun bezeichnet man zusätzlich zu den in der Skizze bereits festgelegten Variablen die Verlängerung der Höhe <math>h</math> zur Spitze <math>s</math> mit <math>x</math> und die Verlängerung der Seitenlänge <math> m</math> zur Spitze des Kegels mit <math> s_\mathrm{x}</math>.

Mit Hilfe dieser Notation verifiziere man anschließend
: <math>(1)~~M_\mathrm{KS} = M_\mathrm{G}-M_\mathrm{H} = \pi r(m+s_\mathrm{x})-\pi Rs_\mathrm{x}</math>

(''Hinweis'' zu den Formeln für <math> M_\mathrm{G}</math> und <math> M_\mathrm{H}</math>:
Für die Fläche eines Kreissegments gilt <math> A=\pi r^2 \tfrac{\alpha}{360^\circ}</math> und für den Segmentbogen <math> b = 2\pi r \tfrac{\alpha}{360^\circ} = \pi r \tfrac{\alpha}{180^\circ}</math> woraus <math> A = \tfrac{1}{2}br</math> folgt.
Angepasst an die gegebenen Variablen des Kegels ergeben sich die Formeln für <math> M_\mathrm{G}</math> und <math> M_\mathrm{H}</math> (siehe Abbildung 2: rechts, abgewickelte Mantelfläche).)

Mit Hilfe der [[Strahlensatz|Strahlensätze]] leitet man folgenden Zusammenhang innerhalb des Kegels für <math> s_\mathrm{x}</math> her:
:<math>\frac{(m+s_\mathrm{x})}{s_\mathrm{x}} = \frac{r}{R}\Leftrightarrow R(m+s_\mathrm{x}) = rs_\mathrm{x}\Rightarrow s_\mathrm{x} = \frac{Rm}{r-R}</math>.

Durch Einsetzen von <math> s_\mathrm{x}</math> in <math>(1)</math> erhält man schließlich

:<math>\begin{matrix}
M_\mathrm{KS} &=& \pi \left(rm+r(\frac{Rm}{r-R})-R(\frac{Rm}{r-R})\right) \\
&=& \pi \left(rm+\frac{rRm}{r-R}-\frac{R^2m}{r-R}\right) \\
&=& \pi m \left(r+\frac{R(r-R)}{r-R}\right) \\
&=& \pi (r+R)m \end{matrix}</math>

=== Flächenberechnung mit guldinscher Regel ===
Mithilfe der [[Guldinsche Regeln|ersten guldinschen Regel]] <math>M = L \cdot 2 \pi R</math> lässt sich der [[Flächeninhalt]] ebenfalls leicht ausrechnen: Dabei ist <math>L</math> die Länge der erzeugenden Linie <math>m</math> (Mantellinie) und <math>R</math> die Position ihres Schwerpunkts <math> \tfrac{r_\mathrm{1}+r_\mathrm{2}}{2}</math>. Einsetzen ergibt die Mantelfläche des Kegelstumpfes <math>M = \pi \cdot m \cdot (r_\mathrm{1}+r_\mathrm{2})</math>.

== Berechnung der Mantelfläche eines Rotationskörpers ==
Der [[Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion <math>f\colon[a,b] \to \R_0^+</math>, die Mantellinie, rotiere um die x-Achse. Nun sei die Mantelfläche dieser Mantellinie im Bereich von <math>x_1=a</math> bis <math>x_2=b</math> gesucht.

=== Rotation um die x-Achse ===
:<math>M = 2 \pi \cdot \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}\, \mathrm d x</math>

Erklärung:

Man stellt sich den [[Rotationskörper]] vor als zusammengesetzt aus auf der x-Achse aufgereihten Scheiben, die jede einen Kegelstumpf der Seitenlänge <math>\Delta L</math> und den Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> darstellen. Die Summe über die Mantelflächen der Kegelstümpfe (s. o.) bildet dann die gesamte Mantelfläche

:<math>M =\sum_i \pi \cdot \Delta L_i \cdot (r_{1i}+r_{2i}).</math>

Das Linienelement <math>\Delta L_i</math> der rotierenden Funktion <math>f(x)</math> ist über den Satz des [[Pythagoras]] gegeben als
:<math>\Delta L_i = \sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2} = \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i.</math>

Beim Grenzübergang zum Integral (immer mehr und gleichzeitig entsprechend dünnere Kegelstumpfscheiben) werden <math>r_{1i} = r_{2i} = f(x_i)</math> und man kann schreiben

:<math>M = \pi\sum_i 2\cdot f(x_i)\cdot\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}\right)^2}\Delta x_i \rightarrow 2 \pi \cdot \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}\, \mathrm dx.</math><ref>{{Internetquelle |autor=Arno Fehringer |url=https://mathematikgarten.hpage.com/get_file.php?id=32079181&vnr=182735 |titel=Rotationskörper |seiten=8 |abruf=2026-02-20 |kommentar=Download}}</ref>

=== Rotation um die y-Achse ===
Hier gilt demnach:
:<math>M = 2 \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} x \sqrt{1+(x')^2} \, \mathrm d y</math><ref>{{Internetquelle |autor=Arno Fehringer |url=https://mathematikgarten.hpage.com/get_file.php?id=32079181&vnr=182735 |titel=Rotationskörper |seiten=10 |abruf=2026-02-20 |kommentar=Download}}</ref>
mit <math>x=f^{-1}(y)</math>, d. h. nach <math>x</math> aufgelöst und <math>x' = \tfrac{{dx}}{{dy}}</math>.

== Siehe auch ==
* [[Kugelschicht]]
* [[Kugelsegment]]
* [[Rotationsfläche]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Mantelflache}}
[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]

Mantelfläche - Versionsgeschichte

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