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{{Dieser Artikel|behandelt den geometrischen Topos. Siehe auch: [[Das Mannigfaltige]] in der Philosophie.}}
[[Datei:Triangles (spherical geometry).jpg|mini|400px|Die Sphäre kann mit mehreren Abbildungen „plattgedrückt“ werden. Entsprechend kann die Erdoberfläche in einem Atlas dargestellt werden.]]

Unter einer '''Mannigfaltigkeit''' versteht man in der [[Mathematik]] einen [[topologischer Raum|topologischen Raum]], der lokal dem [[euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\mathbb{R}^n</math> gleicht. Global muss die Mannigfaltigkeit jedoch ''nicht'' einem euklidischen Raum gleichen (nicht zu ihm [[Homöomorphismus|homöomorph]] sein).

Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der [[Differentialgeometrie]]; sie haben bedeutende Anwendungen in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]].

== Einführendes Beispiel ==
Ein gern gewähltes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit ist eine [[Topologische Sphäre|Sphäre]] (= Kugeloberfläche), anschaulich etwa die Erdoberfläche:

Jede Region der Erde kann mit einer [[Atlas (Mathematik)|Karte]] auf eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] (<math>\mathbb{R}^2</math>) abgebildet werden.
Nähert man sich dem Rand der Karte, soll zu einer anderen Karte gewechselt werden, die das angrenzende Gebiet darstellt. So kann eine Mannigfaltigkeit durch einen vollständigen Satz von Karten vollständig beschrieben werden; man braucht dabei Regeln, wie sich beim Kartenwechsel die Karten überlappen. Dagegen gibt es keine einzelne Karte, auf der die gesamte Kugeloberfläche vollständig dargestellt werden kann, ohne letztere zu „zerreißen“; [[Karte (Kartographie)|Weltkarten]] haben ebenfalls stets „Ränder“, oder sie bilden Teile der Erde zweimal ab.
Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte; alle Karten haben die gleiche Dimension.

Ein anderes Beispiel ist der [[Torus]] („[[Rettungsring]]“, „[[Donut]]“).

== Geschichtlicher Überblick ==

Das Konzept von Mannigfaltigkeiten entstand im 19. Jahrhundert insbesondere durch Forschung in der [[Geometrie]] und der [[Funktionentheorie]]. Während [[Differentialgeometrie|Differentialgeometer]] lokale Konzepte wie zum Beispiel die [[Krümmung]] von [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] und [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] untersuchten, betrachteten Funktionentheoretiker globale Probleme. Sie fanden heraus, dass Eigenschaften von Funktionen <math>F</math> mit topologischen Invarianten der Menge <math>F^{-1}(c)</math> für bestimmte <math>c</math> zusammenhängen. Diese Mengen <math>F^{-1}(c)</math> sind Mannigfaltigkeiten (vgl. [[Satz vom regulären Wert]]).

Der Begriff der Mannigfaltigkeit geht auf [[Bernhard Riemann]] zurück. In seinem Habilitationsvortrag ''Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen'', den er 1854 unter anderem vor [[Carl Friedrich Gauß]] hielt, führte er den Begriff der [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Mannigfaltigkeiten]] ein. Er spricht von ''discreten'' und ''stetigen Mannigfaltigkeiten'', die ''n-fach ausgedehnt'' sind, beschränkt sich zu dieser Zeit also auf Gebilde, die in den <math>\R^n</math> eingebettet sind.<ref>[https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/Geom.html Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.]</ref> Auf diesen Mannigfaltigkeiten kann man Winkel und Abstände messen. In späteren Arbeiten entwickelte er die [[Riemannsche Fläche|riemannschen Flächen]], die wahrscheinlich die ersten abstrakten Mannigfaltigkeiten waren. Mannigfaltigkeiten werden zur Abgrenzung manchmal abstrakt genannt, um auszudrücken, dass sie keine Teilmengen des [[Euklidischer Raum|euklidischen]] Raums sind.

[[Henri Poincaré]] begann in seinen Arbeiten mit der Untersuchung von [[3-Mannigfaltigkeit|dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten]], während bis dahin überwiegend zweidimensionale Mannigfaltigkeiten (Flächen) behandelt worden waren. Im Jahr 1904 stellte er die nach ihm benannte [[Poincaré-Vermutung]] auf. Sie besagt, dass jede [[einfach zusammenhängend|einfach-zusammenhängende]], [[Kompakter Raum|kompakte]] dreidimensionale Mannigfaltigkeit [[Homöomorphismus|homöomorph]] zur [[3-Sphäre]] ist. Für diese Vermutung veröffentlichte [[Grigori Jakowlewitsch Perelman]] im Jahr 2002 einen Beweis, der zwar nicht in einer referierten Fachzeitschrift, sondern nur im Internet veröffentlicht wurde, jedoch von der Fachöffentlichkeit als richtig angesehen wird.

Die heute übliche Definition erschien erstmals 1913 bei [[Hermann Weyl]] in ''Riemannsche Flächen''. Jedoch wurden erst durch die Veröffentlichungen von [[Hassler Whitney]] aus dem Jahr 1936 Mannigfaltigkeiten zu einem etablierten mathematischen Objekt. Sein wohl bekanntestes Resultat ist der [[Einbettungssatz von Whitney]].

== Arten von Mannigfaltigkeiten ==
=== Topologische Mannigfaltigkeiten ===
Sei <math>M</math> ein [[topologischer Raum]]. Man nennt <math>M</math> eine (topologische) Mannigfaltigkeit der Dimension <math>n</math> oder kurz eine <math>n</math>-Mannigfaltigkeit, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt werden:
# <math>M</math> ist ein [[Hausdorff-Raum]].
# <math>M</math> erfüllt das [[Abzählbarkeitsaxiom#Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]].
# <math>M</math> ist lokal euklidisch, das heißt, jeder Punkt besitzt eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]], welche [[homöomorph]] zu einer offenen Teilmenge des <math>\R^n</math> ist.

Mannigfaltigkeiten erben viele lokale Eigenschaften vom Euklidischen Raum: sie sind lokal wegzusammenhängend, [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und lokal [[metrisierbar]]. Mannigfaltigkeiten, welche homöomorph zueinander sind, werden als gleich (beziehungsweise äquivalent) angesehen. Daraus entstand die Frage nach der [[Klassifikation]], also die Frage, wie viele nicht äquivalente Mannigfaltigkeiten es gibt.

=== Differenzierbare Mannigfaltigkeiten ===
{{Hauptartikel|Differenzierbare Mannigfaltigkeit}}
==== Homöomorphismus, Karte und Atlas ====
Um differenzierbare Funktionen zu betrachten, reicht die Struktur einer topologischen Mannigfaltigkeit nicht aus.
Es sei <math>M</math> eine solche topologische <math>n</math>-Mannigfaltigkeit ohne Rand.
Ist eine [[Offene Menge|offene Teilmenge]] von <math>M</math> vorgegeben, auf der ein Homöomorphismus zu einer offenen Menge von <math>\mathbb{R}^n</math> definiert ist, dann nennt man diesen Homöomorphismus eine [[Atlas (Mathematik)|Karte]].
Eine Menge von Karten, deren Urbilder <math>M</math> überdecken, heißt [[Atlas (Mathematik)|Atlas]] von <math>M</math>.
Verschiedene Karten <math>\theta, \eta</math> induzieren einen Homöomorphismus <math>\theta\circ\eta^{-1}</math> (einen so genannten Kartenwechsel oder Koordinatenwechsel) zwischen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{R}^n</math>.
Falls für einen Atlas <math>\mathcal{A}</math> alle solchen Kartenwechsel <math>k</math>-mal differenzierbar sind, dann nennt man <math>\mathcal{A}</math> einen <math>C^k</math>-Atlas.
Zwei <math>C^k</math>-Atlanten (derselben Mannigfaltigkeit) nennt man genau dann miteinander ''verträglich'', wenn ihre Vereinigung wieder einen <math>C^k</math>-Atlas bildet.
Diese Verträglichkeit ist eine [[Äquivalenzrelation]].
Eine <math>C^k</math>-Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit einem <math>C^k</math>-Atlas (eigentlich mit einer Äquivalenzklasse von <math>C^k</math>-Atlanten).
Glatte Mannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten vom Typ <math>C^\infty</math>.
Sind alle Kartenwechsel sogar [[Analytische Funktion|analytisch]], dann nennt man die Mannigfaltigkeit ebenfalls analytisch oder auch <math>C^\omega</math>-Mannigfaltigkeit.

Auf einer <math>C^k</math>-Mannigfaltigkeit <math>M</math> nennt man eine Funktion <math>f\colon M\to\mathbb{R}</math> genau dann <math>s</math>-mal differenzierbar (<math>s\le k</math>), wenn sie auf jeder Karte <math>s</math>-mal differenzierbar ist.

Zu jeder (parakompakten) <math>C^r</math>-Mannigfaltigkeit (<math>r>1</math>) existiert ein Atlas, der beliebig oft differenzierbar oder sogar analytisch ist.
In der Tat ist diese Struktur sogar eindeutig, das heißt, es ist keine Einschränkung der Allgemeinheit, anzunehmen, dass jede Mannigfaltigkeit analytisch ist (wenn man von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten redet).

Diese Aussage ist aber für topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension <math>4</math> oder höher nicht mehr unbedingt richtig:
So gibt es sowohl <math>C^0</math>-Mannigfaltigkeiten, die keine differenzierbare Struktur besitzen, als auch <math>C^1</math>-Mannigfaltigkeiten (oder auch <math>C^\omega</math>-Mannigfaltigkeiten, s. o.), die als differenzierbare Mannigfaltigkeiten unterschiedlich, aber als topologische Mannigfaltigkeiten gleich sind.
Das bekannteste Beispiel für den zweiten Fall sind die so genannten exotischen <math>7</math>-Sphären, die alle homöomorph zu <math>\mathbb{S}^7</math> (aber untereinander nicht diffeomorph) sind.
Da die topologische und die differenzierbare Kategorie in niedriger Dimension übereinstimmen, sind solche Resultate nur schwer zu veranschaulichen.

==== Tangentialbündel ====
{{Hauptartikel|Tangentialbündel}}

An jedem Punkt <math>p</math> einer <math>n</math>-dimensionalen, differenzierbaren (aber nicht einer topologischen) Mannigfaltigkeit findet man einen [[Tangentialraum]].
In einer Karte heftet man an diesen Punkt einfach einen <math>\mathbb{R}^n</math> an und überlegt sich dann, dass das Differential eines Koordinatenwechsels an jedem Punkt einen linearen Isomorphismus definiert, der die Transformation des Tangentialraums in die andere Karte leistet.
Abstrakt definiert man den Tangentialraum an <math>p</math> entweder als den Raum der ''Derivationen'' an diesem Punkt oder den Raum von Äquivalenzklassen von differenzierbaren Kurven (wobei die Äquivalenzrelation angibt, wann die Geschwindigkeitsvektoren zweier Kurven an <math>p</math> gleich sein sollen).

Die Vereinigung aller Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit bildet ein [[Vektorbündel]], das Tangentialbündel genannt wird. Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit <math>M</math> im Punkt <math>p</math> wird meist mit <math>T_p M</math> bezeichnet, das Tangentialbündel mit <math>TM</math>.

=== Komplexe Mannigfaltigkeiten ===
{{Hauptartikel|Komplexe Mannigfaltigkeit}}

Eine topologische Mannigfaltigkeit <math>X</math> heißt komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension <math>n</math>, falls jeder Punkt <math>x \in X</math> eine offene Umgebung <math>U \subset X</math> hat, die homöomorph zu einer offenen Menge <math>V \subset \mathbb C^n</math> ist. Ferner fordert man, dass für je zwei Karten <math>\theta_i \colon U_i \rightarrow V_i, x \in U_i</math> der Kartenwechsel
:<math>\theta_j \circ \theta_i^{-1}\colon V_{ij} \rightarrow V_{ji}</math>
[[Holomorphe Funktion|holomorph]] ist. Hierbei bezeichne <math>V_{ij} \subset \mathbb C^n</math> die Menge <math>\theta_i (U_i \cap U_j)</math>.

Der wesentliche Unterschied zu gewöhnlichen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten liegt weniger im Unterschied zwischen <math>\mathbb C^n</math> und <math>\mathbb R^{2n}</math>, sondern in der viel stärkeren Forderung der [[komplex differenzierbar|''komplexen'' Differenzierbarkeit]] der Kartenwechselabbildungen.

(Zusammenhängende) Komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension 1 werden als [[Riemannsche Fläche]]n bezeichnet. Andere spezielle komplexe Mannigfaltigkeiten sind die [[Steinsche Mannigfaltigkeit|Steinschen Mannigfaltigkeiten]] und die [[Kählermannigfaltigkeit]]en, die komplexe, riemannsche Mannigfaltigkeiten sind.

=== Riemannsche Mannigfaltigkeiten ===
{{Hauptartikel|Riemannsche Mannigfaltigkeit}}

Um auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit von Längen, Abständen, Winkeln und Volumen zu sprechen, benötigt man eine zusätzliche Struktur. Eine ''Riemannsche Metrik'' (auch ''[[Metrischer Tensor]]'' genannt) definiert im Tangentialraum jedes Punktes der Mannigfaltigkeit ein [[Skalarprodukt]]. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer riemannschen Metrik heißt ''Riemannsche Mannigfaltigkeit''. Durch die Skalarprodukte sind zunächst Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren definiert, davon ausgehend dann auch Längen von Kurven und Abstände zwischen Punkten auf der Mannigfaltigkeit.

Ist statt eines Skalarprodukts in jedem Tangentialraum nur eine (nicht notwendig symmetrische) [[Norm (Mathematik)|Norm]] definiert, so spricht man von einer ''Finsler-Metrik'' und einer ''[[Finsler-Mannigfaltigkeit]]''. Auf Finsler-Mannigfaltigkeiten sind Längen und Abstände definiert, nicht aber Winkel.

=== Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten ===
{{Hauptartikel|Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit}}

Andere Verallgemeinerungen riemannscher Mannigfaltigkeiten sind ''Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten'' (auch ''Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten'' genannt), die zum Beispiel in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] auftreten.

Hier braucht die durch die Metrik in jedem Tangentialraum definierte symmetrische [[Bilinearform]] nicht positiv definit zu sein, sondern nur [[ausgeartete Bilinearform|nicht-ausgeartet]]. Nach dem [[Trägheitssatz von Sylvester]] lässt sich eine solche Bilinearform als Diagonalmatrix mit Einträgen von <math>\pm 1 </math> darstellen. Sind dann <math>r</math> Einträge +1 und <math>s</math> Einträge -1, spricht man von einer Metrik mit [[Signatur (lineare Algebra)|Signatur]] <math>(r, s)</math>. Ist die Signatur der Metrik <math>(m-1,1)</math> (oder nach einer anderen Konvention <math>(1,m-1)</math>), wobei <math>m</math> die Dimension der Mannigfaltigkeit ist, so spricht man von einer ''[[Lorentz-Mannigfaltigkeit]]''. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die [[Raumzeit]] durch eine vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit, also mit der Signatur (3,1) (bzw. (1,3)), beschrieben.

=== Banach-Mannigfaltigkeit ===
{{Hauptartikel|Banach-Mannigfaltigkeit}}

Eine Banach-Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und der lokal homöomorph zu einem beliebigen [[Banachraum]] ist und die übliche Kartenwechsel-Bedingung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit erfüllt. Die Kartenwechsel können [[Fréchet-Differential|frechet-differenzierbar]] und die Dimension dieser Mannigfaltigkeiten kann unendlichdimensional sein. Somit kann dieser Typ Mannigfaltigkeit als Verallgemeinerung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit verstanden werden.

=== Lie-Gruppen ===
{{Hauptartikel|Lie-Gruppe}}

Eine Lie-Gruppe ist sowohl eine differenzierbare Mannigfaltigkeit als auch eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], wobei die Gruppenmultiplikation (beziehungsweise Addition) und das Invertieren eines Gruppenelements differenzierbare Abbildungen sein müssen. Der [[Tangentialraum]] einer Lie-Gruppe am neutralen Element ist bezüglich des [[Kommutator (Mathematik)|Kommutators]] <math>[\cdot,\cdot]</math> [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossen]] und bildet eine zur Lie-Gruppe assoziierte [[Lie-Algebra]].

Ein einfaches Beispiel für eine nicht [[Kompakter Raum|kompakte]] Lie-Gruppe ist der euklidische Vektorraum <math>\R^n</math> zusammen mit der normalen Vektorraumaddition. Die [[unitäre Gruppe]] <math>U(1)</math> ist ein Beispiel einer kompakten Lie-Gruppe (man kann sich diese Mannigfaltigkeit als einen Kreis vorstellen und die [[Gruppenoperation]] ist eine Drehung dieses Kreises). In der Physik (siehe [[Quantenchromodynamik]]) kommen vor allem die Gruppen <math>SU(n)</math> vor, die „speziellen unitären Gruppen der Ordnung <math>n</math>“ (z. B. <math>n=3</math>).

== Topologische Eigenschaften ==
* Für Mannigfaltigkeiten fallen die Begriffe [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]] und [[Wegzusammenhängender Raum|wegzusammenhängend]] zusammen. Da Mannigfaltigkeiten auch [[Lokal einfach zusammenhängender Raum|lokal einfach zusammenhängend]] sind, haben alle zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten eine [[universelle Überlagerung]].<ref name="SmoothMani8-10">John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, 8–10.</ref>
* Jede Mannigfaltigkeit hat eine abzählbare [[Fundamentalgruppe]].<ref name="SmoothMani8-10" />
* Jede Mannigfaltigkeit der Dimension <math>n \leq 3</math> ist [[Triangulierung (Topologie)|triangulierbar]]. Vierdimensionale Mannigfaltigkeiten sind im Allgemeinen nicht triangulierbar und auch für Mannigfaltigkeiten höherer Dimension wurde von [[Ciprian Manolescu]] bewiesen, dass sie nicht immer triangulierbar sind.
* Jede Mannigfaltigkeit ist [[metrisierbarer Raum|metrisierbar]]. Dies folgt mittels des [[Metrisierbarkeitssatz von Urysohn|Metrisierbarkeitssatzes von Urysohn]] aus der Zweitabzählbarkeit zusammen mit der lokalen Kompaktheit oder Metrisierbarkeit.

== Mannigfaltigkeit mit Rand ==
[[Datei:SurfacesWithAndWithoutBoundary.svg|miniatur|Auf der linken Seite sind Mannigfaltigkeiten ohne Rand und auf der rechten Seite sind Mannigfaltigkeiten mit Rand abgebildet.]]
{{Hauptartikel|Mannigfaltigkeit mit Rand}}

Mannigfaltigkeiten, welche bis jetzt in diesem Artikel abgehandelt wurden, sind unberandet. Berandete Mannigfaltigkeiten sind auch keine Mannigfaltigkeiten im obigen Sinn, jedoch ist ihre Definition sehr ähnlich. Sei dazu also <math>M</math> wieder ein [[Topologischer Raum|topologischer]] [[Hausdorff-Raum]], welcher dem [[Abzählbarkeitsaxiom#Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweiten Abzählbarkeitsaxiom]] genügt. Der Raum <math>M</math> heißt Mannigfaltigkeit mit Rand, falls jeder Punkt eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] besitzt, welche [[Homöomorphismus|homöomorph]] zu einer Teilmenge des „nichtnegativen <math>n</math>‑dimensionalen Halbraumes“ <math>\R_{+}^n</math> ist:
:<math>\R_{+}^n = \{ x \in \R^n \mid x_n \geq 0\}</math>.

Diese (nichtkompakte) Mannigfaltigkeit ist durch die <math>(n-1)</math>-dimensionale Ebene <math>\{ x \in \R^n \mid x_n = 0\}</math> berandet.

Ein Beispiel für eine kompakte berandete Mannigfaltigkeit ist die abgeschlossene Vollkugel, die die [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] als Rand hat. Diese ist selbst eine unberandete Mannigfaltigkeit.
Auf berandeten Mannigfaltigkeiten kann man zusätzliche Strukturen ähnlich wie auf unberandeten Mannigfaltigkeiten definieren. Es ist zum Beispiel möglich, auf gewissen Mannigfaltigkeiten mit Rand eine differenzierbare Struktur zu definieren oder von Orientierbarkeit zu sprechen.

== Mannigfaltigkeiten mit Orientierung ==
{{Hauptartikel| Orientierung (Mathematik)}}

Eine weitere wesentliche Eigenschaft von berandeten oder unberandeten Mannigfaltigkeiten betrifft die [[Orientierung (Mathematik)|Orientierbarkeit]] bzw. Nicht-Orientierbarkeit der Mannigfaltigkeit. Sie kann ebenfalls „kartenweise“ definiert werden (wobei die Verträglichkeit von selbst erfüllt ist).

Wie die folgenden Beispiele zeigen, kommen alle vier Kombinationen mit bzw. ohne Rand sowie mit bzw. ohne Orientierung vor.

== Beispiele ==
=== Diskreter Raum ===
Jeder [[Abzählbarkeit|abzählbare]] [[Diskrete Topologie|diskrete topologische Raum]] <math>S</math> ist eine nulldimensionale topologische Mannigfaltigkeit. Die Karten dieser Mannigfaltigkeiten sind die Paare <math>({s},\phi_s)</math> mit <math>\phi_s \colon s \to 0</math> und <math>s \in S</math>.

=== Sphäre ===
{{Hauptartikel|Topologische Sphäre}}

Die Sphäre <math>\mathbb{S}^n</math> ist eine unberandete orientierte Mannigfaltigkeit der Dimension <math>n</math>. Ein Atlas dieser Mannigfaltigkeit ist gegeben durch die beiden [[Stereographische Projektion|stereographischen Projektionen]]
:<math>\begin{align}
\phi_1 \colon \mathbb{S}^n \setminus {N} \to \mathbb R^n,& \quad \phi_1(x_1, \dotsc, x_{n+1}) = \left(\frac{x_1}{(1-x_{n+1})}, \dotsc, \frac{x_{n}}{(1-x_{n+1})}\right)\\
\phi_2 \colon \mathbb{S}^n \setminus {S} \to \mathbb R^n,& \quad \phi_2(x_1, \dotsc, x_{n+1}) = \left(\frac{x_1}{(1+x_{n+1})}, \dotsc, \frac{x_{n}}{(1+x_{n+1})}\right),
\end{align}</math>
wobei <math>N</math> den Nordpol <math>x_{n+1}=+1</math> und <math>S</math> den Südpol <math>x_{n+1} = -1</math> der Sphäre bezeichnen. Die daraus resultierende [[Initialtopologie]] ist die gleiche, die durch <math>\R^{n+1}</math> auf <math>\mathbb{S}^n</math> als [[Teilraumtopologie]] induziert würde. Die Sphäre wird außer in der Mathematik auch in anderen Wissenschaften untersucht, so zum Beispiel in der Kartographie oder auch in der Theoretischen Physik bei der sogenannten [[Bloch-Kugel]].

=== Rechteck ===
[[Datei:Rectangle.svg|mini|Eine orientierbare Mannigfaltigkeit mit Rand: ein Rechteck mit Länge <math>a</math> und Breite <math>b</math> (sowie der Diagonale <math>d</math>)]]
Ein einfaches Beispiel einer berandeten und orientierbaren Mannigfaltigkeit betrifft ein (abgeschlossenes) Rechteck wie in nebenstehender Skizze.
Der Rand besteht aus den Rechteckseiten; die zwei Orientierungen sind „''entgegen'' dem Uhrzeigersinn“ (+) bzw. „''im'' Uhrzeigersinn“ (−). Im ersten Fall wird etwa der folgende Umlauf betrachtet: Von A nach B und weiter nach C und D, von dort zurück nach A; alles entgegen dem Uhrzeigersinn.

=== Möbiussches Band ===
[[Datei:MobiusStrip-01.svg|links|miniatur|Eine nicht-orientierbare zweidimensionale Mannigfaltigkeit: Das Möbiussche Band]]
{{Hauptartikel|Möbiusband}}

Wenn man die Seiten <math>\overline{AD}</math> und <math>\overline{BC}</math> des oben behandelten Rechtecks derart zusammenklebt, dass A auf B und C auf D zu liegen kommen, dann erhält man eine orientierbare, berandete Mannigfaltigkeit, die homöomorph zu <math>[0,1] \times S^{1}</math>, das heißt zum [[kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]] aus dem [[geschlossenes Intervall|geschlossenen]] [[Intervall (Mathematik)|Einheitsintervall]] und dem Kreisrand ist. Diese kann in den dreidimensionalen [[euklidischer Raum|euklidischen Raum]] als [[Mantelfläche]] eines [[Zylinder (Geometrie)|Zylinders]] eingebettet werden.

Wenn man dagegen die Punkte A und C sowie D und B zusammenklebt, was nach „Verdrillung“ der Schmalseiten möglich ist, und wenn das „Zusammenkleben“ ''nahtlos'' erfolgt, entsteht eine nicht orientierbare zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Diese wird [[Möbiusband]] genannt.

Der Rand dieser Mannigfaltigkeit entspricht einer „8“, das heißt mit der charakteristischen Überkreuzung in der Mitte. Zunächst wird z. B. entgegen dem Uhrzeigersinn der untere Halbkreis der 8 durchlaufen (= von A nach B), dann folgt die Überkreuzung (diese entspricht dem Überkleben mit Verdrillung); nach dem Überkreuzen folgt der obere Kreis der 8, durchlaufen im anderen Drehsinn, das heißt nicht von C nach D, sondern von D nach C.

=== Kleinsche Flasche ===
[[Datei:KleinBottle-01.svg|miniatur|Eine nicht-orientierbare zweidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand: Die Kleinsche Flasche]]
{{Hauptartikel|Kleinsche Flasche}}

Auf analoge Weise erhält man durch geeignetes Zusammenkleben ''zweier'' Bänder in Räumen mit wenigstens drei Dimensionen eine nicht orientierbare zweidimensionale Mannigfaltigkeit ganz ohne Rand, analog zur Oberfläche einer „Kugel mit Henkel“, das heißt eines Gebildes, das einem [[Torus]] ähnelt, der aber natürlich orientierbar wäre:

Diese nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand heißt Kleinsche Flasche.

== Klassifizierung und Invarianten von Mannigfaltigkeiten ==
Am Anfang des Artikels wurde dargestellt, dass Mannigfaltigkeiten unterschiedliche Strukturen allgemeiner Art tragen können. Bei der Klassifikation von Mannigfaltigkeiten müssen diese Strukturen natürlich beachtet werden. So können zwei Mannigfaltigkeiten aus topologischer Sicht äquivalent sein, was bedeutet, dass es einen [[Homöomorphismus]] gibt, der die eine Mannigfaltigkeit in die andere überführt, jedoch können diese zwei Mannigfaltigkeiten unterschiedliche, nicht verträgliche [[differenzierbare Struktur]]en tragen, dann sind sie aus Sicht der [[Differentialgeometrie]] nicht äquivalent; aus der Sicht der Topologie können sie dagegen äquivalent sein. Sind zwei Mannigfaltigkeiten aus einer vorgegebenen Sicht äquivalent, so haben diese auch die gleichen, zu dieser Sicht passenden [[Invariante (Mathematik)|Invarianten]], zum Beispiel gleiche Dimension oder gleiche [[Fundamentalgruppe]].

Die zusammenhängenden eindimensionalen Mannigfaltigkeiten sind entweder diffeomorph und damit auch homöomorph zur reellen Zahlengerade <math>\mathbb{R}</math> oder zum [[Kreis]] <math>\mathbb{S}^1</math>.

Die Klassifikation [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossener Mannigfaltigkeiten]] ist in den Dimensionen zwei und drei ebenfalls bekannt. Mannigfaltigkeiten dieser Dimension haben genauso wie die eindimensionalen Mannigfaltigkeiten die besondere Eigenschaft, dass jede topologische Mannigfaltigkeit genau eine differenzierbare Struktur zulässt. Dies hat zur Folge, dass sich bei der Untersuchung solcher Mannigfaltigkeiten topologische und differentialgeometrische Methoden kombinieren lassen. In der Theorie der zweidimensionalen, geschlossenen Mannigfaltigkeiten gibt es den [[Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten]]. So sind zwei geschlossene [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] mit gleichem [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] zueinander [[Diffeomorphismus|diffeomorph]], wenn sie beide orientierbar beziehungsweise beide nicht-orientierbar sind. Geschlossene Flächen sind also durch die Invarianten Orientierbarkeit und Geschlecht vollständig bestimmt. Für dreidimensionale, geschlossene Mannigfaltigkeiten wurde mittlerweile die wichtige „Vermutung zur [[Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten]]“ von [[Grigori Perelman]] bewiesen. Diese Theorie enthält als Spezialfall die [[Poincaré-Vermutung|Vermutung von Poincaré]].

Bei vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten ist die Klassifikation selbst im Fall einfach zusammenhängender Mannigfaltigkeiten sehr kompliziert und im Allgemeinen unmöglich, weil jede endlich präsentierte Gruppe als Fundamentalgruppe einer 4-Mannigfaltigkeit vorkommt und die Klassifikation endlich präsentierter Gruppen algorithmisch unmöglich ist. Man nennt den [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\R^n</math>, die [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] <math>\mathbb{S}^n</math> und den [[Hyperbolischer Raum|hyperbolischen Raum]] <math>H^n</math> ''Modellräume'' (im Englischen: ''model spaces''), da ihre Geometrie verhältnismäßig einfach zu beschreiben ist. In Dimension vier sind diese Räume auch sehr komplex. Es ist nicht bekannt, ob die [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] <math>\mathbb{S}^4</math> zwei nicht verträgliche differenzierbare Strukturen besitzt, vermutet wird, dass sie unendlich viele besitzt. Der (nicht geschlossene) euklidische Raum <math>\R^4</math> besitzt sogar [[Überabzählbarkeit|überabzählbar]] viele. Aus diesem Grund ist die vierte Dimension eine Besonderheit, denn in allen anderen Dimension lässt sich nur genau eine differenzierbare Struktur auf <math>\R^n</math> definieren. Ab Dimension fünf erweist sich die Klassifikation, jedenfalls für einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten, als etwas einfacher. Jedoch gibt es auch hier noch viele offene Fragen, und die Klassifikation ist immer noch sehr komplex. Aus diesem Grund beschränkt man sich oftmals darauf zu untersuchen, ob Mannigfaltigkeiten unterschiedlichen Klassen angehören, also ob sie unterschiedliche Invarianten besitzen. So nutzt man unter anderem Techniken aus der [[algebraische Topologie|algebraischen Topologie]], wie zum Beispiel die [[Homotopietheorie]] oder [[Homologietheorie]]n, um Mannigfaltigkeiten auf Invarianten zu untersuchen, beispielsweise einer Invariante für den [[Einfach zusammenhängender Raum|„einfachen Zusammenhang“]].

[[Datei:Gaussian curvature.svg|miniatur|Mannigfaltigkeiten Krümmungen unterschiedlicher Vorzeichen (von links nach rechts): Das [[Hyperboloid]] mit negativer Krümmung, der [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] mit Krümmung null und die [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] mit konstanter positiver Krümmung.]]
Zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeiten besitzen keine lokalen Invarianten. Das heißt, diese Eigenschaften gelten global für die ganze Mannigfaltigkeit und sind nicht von einem Punkt abhängig. Bei riemannschen Mannigfaltigkeiten ist dies anders. Mit Hilfe ihres Skalarproduktes können Krümmungen definiert werden. Der wichtigste Krümmungsbegriff ist der [[Riemannscher Krümmungstensor|riemannsche Krümmungstensor]], aus dem die meisten anderen Krümmungsbegriffe abgeleitet werden. Der Wert des Krümmungstensors ist abhängig von Punkt der Mannigfaltigkeit. So sind die Invarianten von Mannigfaltigkeiten mit Skalarprodukt vielfältiger als die von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ohne Skalarprodukt. Die [[Schnittkrümmung]] ist eine wichtige aus dem Krümmungstensor abgeleitete Größe. Für riemannsche Mannigfaltigkeiten mit konstanter Schnittkrümmung ist eine Klassifikation bekannt. Es lässt sich zeigen, dass solche Mannigfaltigkeiten [[Isometrie|isometrisch]] (also äquivalent) zu <math>N / \Gamma</math> sind. Wobei <math>N</math> für einen der oben erwähnten Modelräume <math>\mathbb{S}_R^n, \, \R^n</math> oder <math>\mathbb{H}_R^n</math> steht und <math>\Gamma</math> eine [[Diskreter Raum|diskrete]] [[Untergruppe]] der [[Isometriegruppe]] <math>J(N)</math> ist, die [[Freie Wirkung|frei]] und [[Eigentlich diskontinuierliche Wirkung|eigentlich diskontinuierlich]] auf <math>N</math> operiert. In der [[Globale Riemannsche Geometrie|globalen riemannschen Geometrie]] untersucht man Mannigfaltigkeiten mit global beschränkter Krümmung auf topologische Eigenschaften. Ein besonders bemerkenswertes Resultat aus diesem Bereich ist der [[Sphärensatz]]. Hier wird aus bestimmten topologischen Eigenschaften und einer durch <math>\tfrac{1}{4} < K < 1</math> beschränkten Schnittkrümmung <math>K</math> gefolgert, dass die Mannigfaltigkeit homöomorph (topologisch äquivalent) zur Sphäre ist. Im Jahr 2007 konnte sogar bewiesen werden, dass unter diesen Voraussetzungen die Mannigfaltigkeiten diffeomorph sind.

== Anwendungen ==
Mannigfaltigkeiten spielen eine wichtige Rolle in der [[Theoretische Physik|Theoretischen Physik]], der [[Theoretische Biologie|Theoretischen Biologie]], den [[Ingenieurwissenschaften]] sowie in den [[Geowissenschaften]], z. B. bei der [[Integralrechnung|Integration]] über Flächen und mehrdimensionale Integrationsgebiete, besonders Mannigfaltigkeiten mit Rand und mit Orientierung (siehe z. B. den Artikel [[Satz von Stokes]]).

In der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] und der [[Astrophysik]] sowie in den relativistischen [[Quantenfeldtheorie]]n spielen [[Lorentzmannigfaltigkeit]]en, das heißt solche der Signatur (3,1), eine besondere Rolle bei der mathematischen Modellierung der [[Raumzeit]] und der vielen damit zusammenhängenden Größen.

In der Evolutionsbiologie betrachtet man unter anderem die Wright-Mannigfaltigkeit, als Menge der in einem genetischen Kopplungsgleichgewicht befindlichen Allelfrequenzen einer Population.

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Mannigfaltigkeit}}

== Literatur ==
* {{BibISBN|0387954481}}
* John M. Lee: ''Introduction to Topological Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 202). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2.

== Einzelnachweise ==
<references />

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[[Kategorie:Differentialtopologie]]
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Mannigfaltigkeit - Versionsgeschichte

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