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[[Datei:Manhattan distance.svg|mini|hochkant=1.5|Die Linien in rot, blau und gelb sind drei Beispiele für die Manhattan-Distanz zwischen den zwei schwarzen Punkten (je 12 Einheiten lang); die grüne Linie stellt zum Vergleich den [[Euklidischer Abstand|Euklidischen Abstand]] dar, der eine Länge von <math>6 \sqrt{2} \approx 8{,}5</math> Einheiten hat.]]

Die '''Manhattan-Metrik''' (auch '''Manhattan-Distanz''', '''Mannheimer Metrik''', '''Taxi-''' oder '''Cityblock-Metrik''') ist eine [[Metrischer Raum|Metrik]], in der die [[Abstand|Distanz]] <math>d</math> zwischen zwei [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] <math>A</math> und <math>B</math> als die [[Summe]] der [[Absolutbetrag|absoluten]] [[Subtraktion|Differenzen]] ihrer Einzel[[koordinaten]] definiert wird:<ref>{{Literatur | Autor = Christian Royer | Titel = Simultane Optimierung von Produktionsstandorten, Produktionsmengen und Distributionsgebieten | Jahr = 2001 | Verlag = Utz, Wiss. | Ort = München | ISBN = 3-8316-0042-2 | Seiten = 55 }}</ref>

:<math>
d(A,B)=\sum_{i} \left|A_i-B_i\right|
</math>

Die zugrundeliegende Geometrie wurde zuerst von [[Hermann Minkowski]] untersucht.

Ihren Namen hat diese Distanzdefinition von der [[Schachbrettmuster]]-artigen Anlage der Gebäudeblöcke und dem orthogonalen Straßengitter [[Manhattan]]s, die einen Taxifahrer zwingen, die Entfernung zwischen zwei Adressen durch Aneinanderreihung „vertikaler“ und „horizontaler“ Wegstücke zu überwinden. Die [[Quadratestadt|Innenstadt Mannheims]] weist eine vergleichbare Struktur auf.

Ein Taxifahrer, der seine Route durch ein derartiges System plant, legt auf der Fahrt zu seinem Ziel immer die gleiche Streckenlänge zurück, sofern er nur Wege benutzt, die ihn seinem Ziel näher bringen. Dabei verlässt er niemals ein am Raster ausgerichtetes Rechteck, dessen gegenüberliegende Ecken auf dem Start- und dem Zielpunkt liegen.

Die Manhattan-Metrik ist die von der [[Summennorm]] (1-Norm) eines Vektorraums erzeugte Metrik.

So ist beispielsweise in der nebenstehenden Grafik die Manhattan-Metrik in einem zweidimensionalen Raum, sodass sich
:<math>d(A,B)=|A_1-B_1|+|A_2-B_2| = |6|+|6|= 12</math>
ergibt, wobei <math>A=(A_1,A_2)</math> und <math>B=(B_1,B_2)</math> die schwarz markierten Punkte sind.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Johann Cigler]], [[Hans-Christian Reichel]]
|Titel=Topologie. Eine Grundvorlesung
|TitelErg=Unter Mitarbeit von [[Magister|Mag.]] Gabriel Zils
|Reihe=[[BI-Hochschultaschenbücher]]
|BandReihe=121
|Verlag=[[Bibliographisches Institut]]
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Auflage=2., überarbeitete
|Datum=1987}}

== Siehe auch ==
* [[Französische Eisenbahnmetrik]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld|TaxicabMetric|Taxicab Metric}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Metrischer Raum]]

Manhattan-Metrik - Versionsgeschichte

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