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2026-01-12T21:19:58Z

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Bei den '''Mandelstam-Variablen''' ''s'', ''t'' und ''u'' (nach [[Stanley Mandelstam]], der sie 1958 einführte) handelt es sich um Kurzschreibweisen für Terme, die in der [[Teilchenphysik]] bei der Berechnung von [[Streuprozess]]en mit zwei einlaufenden und zwei auslaufenden Teilchen häufig auftauchen.

Sind die [[Viererimpuls]]e der beiden einlaufenden Teilchen mit <math>p_1, p_2</math> und die der auslaufenden Teilchen mit <math>p_3, p_4</math> bezeichnet, so sind die Mandelstam-Variablen gegeben durch:

:<math>s = (p_1 + p_2)^2 = (p_3 + p_4)^2</math> ist gleich dem Quadrat der [[Schwerpunktsenergie]] des Systems (s-Kanal).
:<math>t = (p_1 - p_3)^2 = (p_2 - p_4)^2</math> ist gleich dem Quadrat des Viererimpuls-Übertrags bei einem gewöhnlichen Streuprozess wie der Elektron-Nukleon-Streuung (t-Kanal).
:<math>u = (p_1 - p_4)^2 = (p_2 - p_3)^2</math>

Das in diesen Definitionen auftauchende Quadrat von Viererimpulsen ist dabei – wie in der [[Relativistische Physik|relativistischen Physik]] üblich – definiert als <math> p^2 := p_\mu p^\mu</math> (siehe [[Vierervektor]]). Die Mandelstam-Variablen sind damit [[Lorentzinvarianz|lorentzinvariante Skalare]] ebenso wie die [[Streuamplitude]] selbst, die durch sie in relativistisch invarianter Weise ausgedrückt werden soll.

Die drei Mandelstamvariablen sind nicht voneinander unabhängig; ihre Summe ist gleich der Summe der Massenquadrate der beteiligten Teilchen:

:<math>s + t + u = p_1{}^2 + p_2{}^2 + p_3{}^2 + p_4{}^2 = m_1{}^2 + m_2{}^2 + m_3{}^2 + m_4{}^2</math>,

wobei wie in der Teilchenphysik üblich der dimensionslose Wert c=1 für die [[Lichtgeschwindigkeit]] angenommen ist ([[natürliche Einheiten]]).

Allgemein sollte die Streuamplitude, da sie eine relativistische Invariante ist, von den relativistischen Invarianten <math>{p_i}^2</math> (i = 1, 2, 3, 4) und den sechs möglichen unabhängigen (relativistischen) [[Skalarprodukt]]en <math> p_1\cdot p_2,\, p_1 \cdot p_3,\, p_1 \cdot p_4,\, p_2 \cdot p_3,\, p_2 \cdot p_4,\, p_3 \cdot p_4 </math> abhängen – auch die Mandelstamvariablen s, t, u sind aus diesen als [[Linearkombination]] zusammengesetzt. Die <math>{p_i}^2</math> sind keine Variablen wegen <math>{p_i}^2 = {m_i}^2</math> (die äußeren Beine der [[Feynmandiagramm]]e sind ''[[Massenschale|on shell]]''). Wegen der [[Erhaltungssatz|Erhaltung]] <math> p_1 + p_2 = p_3 + p_4</math> der Viererimpulse (was vier Gleichungen ergibt, da die <math>p_i</math> je vier Komponenten haben) sind von den sechs Skalarprodukten <math>p_i \cdot p_j</math> nur zwei unabhängig. Also sind auch nur zwei der Mandelstam-Variablen unabhängig, die dritte ergibt sich aus der o. g. Summe.

== Zusammenhang mit dem Streuwinkel ==
Sei <math>\vec p_1 = p_1 \vec e_z = - \vec p_2</math>. Dann gilt für den Zusammenhang zwischen Streuwinkel unter Annahme jeweils gleicher Massen im [[Schwerpunktsystem]] und Mandelstam-Variablen:
:<math>t = m_1^2 + m_3^2 - \frac{s}{2}\left(1- \sqrt{1-\frac{4m_1^2}{s}} \sqrt{1-\frac{4m_3^2}{s}}\cos\theta\right).</math>
Im Hochenergie-Limes, wenn <math>m_i^2 \ll s</math>, folgen die einfacheren Relationen
:<math>\begin{align}
t &= - \frac{s}{2} (1 - \cos \theta) \\
u &= - \frac{s}{2} (1 + \cos \theta).
\end{align}</math>

== s-, t- und u-Kanal ==
Die Beiträge zum Streuprozess, in denen die jeweiligen Mandelstam-Variablen bei ihrer Berechnung auftauchen, werden als s-, t- und u-Kanal bezeichnet. Die zugehörigen [[Feynman-Diagramm]]e sind in den folgenden Abbildungen gezeigt.
{| cellpadding="10"
|[[Datei:Feynman-s-channel.svg|mini|s-Kanal]]
|[[Datei:Feynman-t-channel.svg|mini|hochkant|t-Kanal]]
|[[Datei:Feynman-u-channel.svg|mini|hochkant|u-Kanal]]
|}
Die Darstellung folgt der Konvention, dass die einlaufenden Teilchen als von links kommende Linien und die Streuprodukte als nach rechts auslaufende Linien dargestellt sind. Die gestrichelte Zwischenlinie stellt ein [[virtuelles Teilchen]] dar; das Quadrat seines Viererimpulses ist dem jeweiligen Diagramm entsprechend gleich ''s'', ''t'' oder ''u''.

Beispielsweise gibt das Diagramm für den s-Kanal eine [[Elektron]]-[[Positron]]-[[Paarvernichtung]] auf der linken Seite unter Bildung eines virtuellen Photons und einer Elektron-Positron-[[Paarerzeugung]] auf der rechten Seite wieder. Auch die Bildung eines instabilen Zwischenzustands ([[Resonanz#Teilchenphysik|Resonanz]]) bei der Wechselwirkung zweier Teilchen wird so wiedergegeben. Eine gewöhnliche Elektron-Elektron-Streuung wird durch das Diagramm des t-Kanals wiedergegeben (wobei der u-Kanal mit betrachtet werden muss, bei dem die äußeren Beine 3,4 des Diagramms vertauscht sind).

In der Streuamplitude werden den Regeln der [[Quantenmechanik]] entsprechend alle möglichen Prozesse mit virtuellen Teilchen vom Typ s, t, u aufsummiert, da nur die Anfangszustände 1,2 und Endzustände 3,4, aber nicht die virtuellen Teilchen der Zwischenzustände beobachtet werden.

[[Kategorie:Teilchenphysik]]

Mandelstam-Variable - Versionsgeschichte

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