imported>Karl432: /* Multiplikation */ +ref

2026-02-09T20:28:41Z

Multiplikation: +ref

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{{Begriffsklärungshinweis}}
{{Mathematische Zeichen|⋅ ×}}

Als '''Malzeichen''', '''Multiplikationszeichen''' oder '''Produktsymbole''' werden verschiedene [[Sonderzeichen]] bezeichnet, die vor allem zur Darstellung des [[mathematischer Operator|mathematischen Operators]] für die [[Multiplikation]] verwendet werden. In der Mathematik wird üblicherweise der dem [[Mittelpunkt (Schriftzeichen)|Mittelpunkt]] ähnliche '''Malpunkt''' ⋅ verwendet, seltener auch eine Form des [[Kreuzchen]]s als '''Malkreuz''' × und speziell in [[Tabellenkalkulation]]s-Programmen und [[Programmiersprache]]n das [[Sternchen (Schriftzeichen)|Sternchen]] *.

In der [[Vektorrechnung]] wird der Malpunkt (oder eine [[Schriftschnitt|halbfette]] Variante) auch für das [[Skalarprodukt]] und das Malkreuz für das [[Kreuzprodukt]] verwendet. In der [[Mengenlehre]] steht das Malkreuz für das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]]. Das Malkreuz kommt außerdem bei der Angabe mehrdimensionaler [[Abmessungen]] zum Einsatz.

== Geschichte ==
Das älteste Symbol scheint das Malkreuz (×) zu sein. Verwendet wurde es erstmals von dem englischen [[Mathematiker]] [[William Oughtred]] in seinem Werk ''Clavis Mathematicae'', veröffentlicht 1631 in [[London]]. Wahrscheinlich benutzte Oughtred das Malkreuz schon seit 1618, falls ein anonymer Anhang zur englischen Übersetzung von [[John Napier]]s ''Descriptio'' von ihm stammt. Die Herleitung des Symbols – vom [[Buchstaben]] [[X]] oder auch vom [[Andreaskreuz]] – ist nicht geklärt.

Der deutsche [[Wissenschaftler]] [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] lehnte das Malkreuz wegen der Verwechslungsgefahr mit dem Buchstaben X ab und bevorzugte den Punkt (⋅). Leibniz benutzte den Multiplikationspunkt in einem Briefwechsel des Jahres 1698, hat ihn aber wahrscheinlich schon 1694 oder noch früher in seine mathematische Notation eingeführt.

[[Johann Heinrich Rahn (Mathematiker)|Johann Rahn]] führte den Stern (∗) für die Multiplikation ein. Zusammen mit dem [[Geteiltzeichen|Symbol für die Division]] (÷) erscheint dieser erstmals in seinem Buch ''Teutsche Algebra'', veröffentlicht 1659.

== Verwendung ==
=== Multiplikation ===
In der [[Grundrechenart]] Multiplikation sind der Malpunkt ⋅ und das Malkreuz × inhaltlich gleichbedeutend,<ref>DIN EN ISO 80000-2:2023-08 ''Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik (ISO 80000-2:2019, Korrigierte Fassung 2021-11); Deutsche Fassung'', Abschnitt 10 ''Verknüpfungen'', Tabelleneintrag 2.10.5, Spalte ''Bemerkungen und Beispiele'': „… Das Zeichen der Multiplikation ist ein halbhoher Punkt · oder ein Kreuz ×. …“</ref> sie werden aber unterschiedlich verwendet.

Das Malkreuz × wird bevorzugt eingesetzt,
* wenn die Multiplikation optisch auffallend dargestellt werden muss, etwa auf einem Plakat:
*: 5 × 2 Freikarten!
* wenn die Faktoren nicht Formelzeichen oder Zahlen sind, sondern Wörter:
*: [[Gewerbesteuer (Deutschland)|Gewerbesteuer]] = Steuermessbetrag × Hebesatz
* wenn nur der linke Faktor angegeben ist, also im Sinne von „-mal“ oder „-fach“:
*: Vergrößerung: 6×
* in angloamerikanisch geprägten Kulturen sowie in Frankreich im Schulunterricht und im Alltag.

Der Malpunkt ⋅ wird dagegen bevorzugt benutzt,
* wenn Berechnungen mit Zahlen wiedergegeben werden:
*: <math>a \,=\, 5\cdot 6 + 7</math>
* in Deutschland im Schulunterricht.

In mathematischen Formeln kann der Malpunkt weggelassen werden, wenn die Gestaltung es erlaubt und aus dem Kontext heraus keine Verwechslungsgefahr besteht.
: ''U'' = 2π''r'' – ohne Leerraum
: ''U'' = 2 π ''r'' – [[schmales Leerzeichen]]
Dies gilt auch für Maßeinheiten. Zum Beispiel ist Nm und N m für [[Newtonmeter]] eine gängige, verkürzte Schreibweise für N ⋅ m. Normgerecht ist allerdings nur die Schreibweise mit (vorzugsweise schmalem) [[Leerzeichen]].<ref name="SI-Brosch">[https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/ ''Le Système international d’unités''.] 9e édition, 2019 („SI-Broschüre“), Kap. 5.2, S. 35 (frz.) und S. 147 (engl.)</ref>

In [[Programmiersprache]]n wird üblicherweise das Sternchen <code>*</code> ([[American Standard Code for Information Interchange|ASCII]] 42) benutzt.

=== Skalarprodukt und Kreuzprodukt ===
In der [[Vektorrechnung]] werden ⋅ für das [[Skalarprodukt]] und  ×  für das [[Kreuzprodukt]] verwendet. Die beiden Symbole werden hier also für völlig unterschiedliche Verknüpfungen benutzt. Zum Beispiel sind in der Physik die [[Arbeit (Physik)|Arbeit]]

: <math>W = \vec s \cdot \vec F</math>

und das [[Drehmoment]]

: <math>\vec M = \vec s \times \vec F</math>.

Für das Skalarprodukt ist das Unicode-Zeichen ⋅ (U+22C5, HTML-Entity: <code>&sdot;</code>) vorgesehen. Grafisch angelegt wird es genau wie ein <code>&middot;</code> oder etwas [[Schriftschnitt|halbfett]]; bei normalen Schriftgrößen sind die beiden Zeichen optisch kaum zu unterscheiden. Als wissenschaftliche Arbeiten noch mit mechanischen [[Schreibmaschine]]n verfasst wurden oder im [[American Standard Code for Information Interchange|ASCII]]-Zeichensatz übermittelt wurden, verwendete man hier ersatzweise den einfachen [[Punkt (Satzzeichen)|Punkt]].

Für das Kreuzprodukt gibt es zurzeit – anders als beim Skalarprodukt – kein gesondertes Zeichen; es ist das Kreuzchen × (Unicode U+00D7, HTML-Entity: <code>&times;</code>) zu verwenden. Früher musste man hier auf das Sternchen * oder notfalls den Buchstaben x ausweichen.

=== Kartesisches Produkt ===
In der [[Mengenlehre]] wird das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] zweier [[Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>A</math> und <math>B</math> durch

: <math>A \times B</math>

notiert. Es handelt sich dabei um die Menge aller [[Geordnetes Paar|geordneten Paare]], bei denen die erste Komponente ein Element aus <math>A</math> und die zweite Komponente ein Element aus <math>B</math> ist. Darauf aufbauend wird das Malkreuz auch für das [[Direktes Produkt|direkte Produkt]] von [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] oder anderen algebraischen Strukturen verwendet. Typografisch gilt für das kartesische Produkt das gleiche wie für das Kreuzprodukt.

=== Abmessungen ===

Bei der Angabe von [[Abmessungen]] wie zum Beispiel Breite × Länge wird ebenfalls das Malkreuz verwendet. Beispielhafte Verwendungen sind:

* eine Fläche von 3 m × 5 m<ref>Duden online: [https://www.duden.de/rechtschreibung/mal mal], Bibliographisches Institut GmbH, 2013</ref><ref>DIN 1338 (2011-03): ''Formelschreibweise und Formelsatz'': ''„Das liegende Kreuz wird für Zahlenangaben für Flächenformate und für räumliche Abmessungen benutzt. Dabei steht hinter jedem Zahlenwert das Einheitenzeichen.“''.</ref> (mathematisch, physikalisch korrekte Angabe)
* das Grundstück ist 30 × 40 m groß,<ref>Friedrich Forssman, Ralf de Jong: ''Detailtypographie.'' 2. Auflage Mainz 2004, ISBN 3-87439-642-8, S. 191.</ref> das Gebäude darauf (LBH) 10 × 8 × 4 m (Alltagssprache, sprachlich verkürzt)

Die Angabe von Abmessungen stellt keine Multiplikation der jeweiligen [[Länge (Physik)|Längen]] dar. Die Maßeinheit kann dabei, wie im zweiten Beispiel, auch nur einmal angegeben werden. Malzeichen werden mitunter auch in der Formatierungsangabe verwendet: B×H×T = Breite × Höhe × (horizontale) Tiefe – bei wandmontierbaren Möbeln.

== Typografie ==
=== Formelsatz ===
Alle Malzeichen sind mittig gesetzt und auf die Größe und Position der [[Ziffer]]n in einer [[Schriftart]] sowie der anderer [[Rechenzeichen]] abgestimmt. Eine Ersetzung der Malzeichen durch andere, ähnliche Zeichen (etwa ein kleiner Buchstabe [[x]] oder das einfache [[Sternchen (Schriftzeichen)|Sternchen]] *), die sich anders als die [[Typografie|typografisch]] korrekten Zeichen auf den meisten Computertastaturen finden lassen, führt zu einem typografisch weniger anspruchsvollen Schriftbild, zumal das Sternchen in vielen Schriftarten hochgestellt ist, weil es oft als [[Fußnote]]nzeichen benutzt wird.

=== DIN 5008 ===
Die [[DIN 5008]] beschreibt [[Textverarbeitung]] im Büro- und Verwaltungsbereich.

Die aktuelle Fassung sieht als Multiplikationszeichen den Halbhochpunkt <code>·</code>, das Malkreuz <code>×</code>, und den Kleinbuchstaben <code>x</code> vor, unter der Voraussetzung, dass lediglich Zahlen (und Einheiten) in der betroffenen Rechnung verwendet werden. Wenn die Rechnung sowohl Zahlen als auch Variablen beinhaltet, darf ausschließlich der Halbhochpunkt <code>·</code> verwendet werden. In mathematischen Texten ist dieser stets zu bevorzugen. Explizit für Multiplikationen verboten wird das Sternchen <code>*</code>.<ref name=":0">DIN 5008:2020-03, ''Schreib- und Gestaltungsregeln für die Text- und Informationsverarbeitung''</ref>

Für das Malkreuz ist alternativ der Kleinbuchstabe <code>x</code> vorgesehen.<ref name=":0" /> Das hat den Hintergrund, dass Massenware wie [[Lieferschein]]e und Rechnungen mit geringstmöglichem Zeit- und Kostenaufwand zu erstellen ist und hierfür der einfache Tastendruck auf die Taste {{Taste|x}} genügen soll. Wenn im Einzelfall ein Schriftstück aber besonders ansprechend gestaltet werden soll und zusätzlicher Aufwand gewünscht wird, steht die Norm dem nicht entgegen.

Nebenbei sind alle Rechenzeichen hier grundsätzlich in Leerzeichen einzuschließen, es sei denn, + oder − treten als [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] einer Zahl auf.<ref name=":0" />

In der vorherigen Fassung aus dem Jahr 2011 war als Malpunkt der „mittig oder auf der Grundlinie“ gesetzte Punkt vorgesehen, also auch der „normale“ Satzende-Punkt <code>.</code>.<ref name="DIN50082011">''Schreib. und Gestaltungsregeln für die Textverarbeitung. Sonderdruck von DIN 5008:2011'', 5. Auflage, Beuth Verlag Berlin 2011, ISBN 978-3-410-21367-3, S. 14.</ref>

=== DIN 55301 ===
Die [[DIN 55301]] beschreibt die Gestaltung statistischer Tabellen.

Hier wird das Zeichen ✕ für „Tabellenfach gesperrt, weil Aussage nicht sinnvoll“ verwendet, als wertersetzendes Zeichen (im Gegensatz zu wertergänzenden Zeichen, auch [[Qualitätsanzeiger]]n).<ref>[http://rainer-seitel.onlinehome.de/unicode-de.html Unicode® 8.0 Zeichen und Symbole auf Deutsch]</ref> Häufig wird stattdessen inkorrekterweise auch in Tabellen der [[Amtliche Statistik#Deutschland|amtlichen Statistik]] der Buchstabe [[x]] (Minuskel) verwendet.<ref>''Richtlinien zur Gestaltung statistischer Tabellen für die Verbundprogrammierung''. Arbeitskreis Veröffentlichungen der Statistischen Landesämter, Wiesbaden 1997, S. 36.</ref>

== Darstellung in Computersystemen ==
=== Kodierung ===
Der [[Zeichenkodierung]]sstandard [[Unicode]] enthält mehrere Malzeichen und ähnliche Zeichen. Sie liegen auf folgenden Positionen:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Kodierung in Unicode, [[Hypertext Markup Language|HTML]] und [[LaTeX]]<ref>[http://www.w3.org/Math/characters/unicode.xml unicode.xml] – Tabelle des [[World Wide Web Consortium|W3C]], die die Umsetzung von Unicode unter anderem in LaTeX angibt</ref>
|-
!rowspan="2"| Zeichen
!colspan="2"| Unicode
!rowspan="2"| Name
!colspan="3"| HTML
!rowspan="2"| LaTeX
|-
! Position
! Bezeichnung
! hexadezimal
! dezimal
! benannt
|-
| ·
| U+00B7
|style="text-align:left"| MIDDLE DOT
|style="text-align:left"| [[Mittelpunkt (Schriftzeichen)|Mittelpunkt]]
| &#x00B7;
| &#183;
| &middot;
| \cdot
|-
| ×
| U+00D7
|style="text-align:left"| MULTIPLICATION SIGN
|style="text-align:left"| Malkreuz
| &#x00D7;
| &#215;
| &times;
| \times
|-
| ✕
| U+2715
|style="text-align:left"| MULTIPLICATION X
|style="text-align:left"| [[Kreuzchen]] (Schmuck)
| &#x2715;
| &#10005;
| –
| –
|-
| ✖
| U+2716
|style="text-align:left"| HEAVY MULTIPLICATION X
|style="text-align:left"| Fettes Kreuzchen ([[Schmuckzeichen]])
| &#x2716;
| &#10006;
| –
| –
|-
| ⋅
| U+22C5
|style="text-align:left"| DOT OPERATOR
|style="text-align:left"| Malpunkt, Punktoperator
| &#x22C5;
| &#8901;
| &sdot;
| \cdot
|-
| ∙
| U+2219
|style="text-align:left"| BULLET OPERATOR
|style="text-align:left"| Fettere Variante des Malpunktes für das [[Skalarprodukt]]
| &#x2219;
| &#8729;
|
| \bullet
|-
| ∗
| U+2217
|style="text-align:left"| ASTERISK OPERATOR
|style="text-align:left"| [[Hodge-Stern-Operator]]
| &#x2217;
| &#8727;
| &lowast;
| \ast
|-
| ⁢
| U+2062
|style="text-align:left"| INVISIBLE TIMES
|style="text-align:left"| Unsichtbares Multiplikationszeichen
| &#x2062;
| &#8290;
| &InvisibleTimes;
| automatisch
|}

Bei den U+2715/2716 ist aber zu bedenken, dass sie dem Abschnitt [[Unicode-Block Dingbats|Dingbats]] entstammen und nur dekorative Versionen des normalen Kreuzchens U+00D7 sind; sie haben keine mathematische Sonderbedeutung und sind nicht im normalen Text einzusetzen.

Das „Unsichtbare Multiplikationszeichen“ ist dafür vorgesehen, bei der Codierung im wissenschaftlichen Formelsatz die einzelnen Faktoren zunächst semantisch zu trennen. Für die Darstellung kann dann etwa ein schmales Leerzeichen in gewünschter Breite benutzt werden (siehe oben).

Im [[American Standard Code for Information Interchange|ASCII]]-[[Zeichensatz]] aus dem Jahr 1963 ist keines der Zeichen enthalten, weshalb viele ältere Computersysteme sie nicht darstellen konnten. Die ASCII-Erweiterungen [[ISO 6937]] von 1983 und [[ISO 8859-1]] (Latin 1) von 1986 enthalten bereits das Malkreuz.

=== Tastatur ===
Auf Tastaturen mit der [[Tastaturbelegung|Belegung]] [[T2 (Tastaturbelegung)|T2]] gemäß der neu gefassten deutschen Norm [[DIN 2137]]:2012-06 wird eingegeben:
* Das Malkreuz × mit der Tastenkombination {{Taste|[[Alt Gr]]}}+{{Taste|<big>^</big>}} ([[Zirkumflex|Caret]]-Taste links oben).
* Der [[Mittelpunkt (Schriftzeichen)|Mittelpunkt]] · als Ersatzzeichen für den auf der Belegung nicht vorhandenen Malpunkt mit der Tastenfolge {{Taste|[[Gruppenumschaltung]] ⇨}} gefolgt von {{Taste|.}} (Punkt).

Darüber hinaus enthalten übliche Computer[[tastatur]]en keines der oben aufgeführten, syntaktisch und [[Typografie|typografisch]] korrekten Malzeichen. Stattdessen produzieren sowohl die Sternchentaste im Hauptblock der Tastatur als auch die Malzeichentaste im [[Ziffernblock]]<ref>Dass auf den entsprechenden Tasten des Ziffernblocks Mal- und Durchzeichen aufgedruckt sind, ist eher eine Ausnahme in Deutschland, die auch nur ein Teil der Tastaturhersteller so umsetzt; bei Tastaturen anderer Länder sind dort durchgängig das Sternchen und der Schrägstrich aufgedruckt.</ref> das einfache [[Sternchen (Schriftzeichen)|Sternchen]] (*; Unicode U+002A), welches meist zu einem unbefriedigenden Schriftbild führt. Von fast allen Computerprogrammen mit Rechenfunktionen und auch in fast allen [[Programmiersprache]]n wird das Sternchen allerdings als [[Rechenzeichen]] für die Multiplikation anerkannt, die korrekten Malzeichen dagegen oft nicht.

Auf [[Linux]]-Rechnern mit deutscher [[Tastaturbelegung]] kann der Mittelpunkt · (U+00B7) mit der Tastenkombination {{Taste|Alt Gr}} + {{Taste|,}} erzeugt werden, durch gleichzeitiges Drücken der {{Taste|⇧ [[Umschalttaste]]}} erreicht man das Malzeichen × (U+00D7). Bei Verwendung der Schweizer Tastaturbelegung (deutsche und französische Sprachvariante) befindet sich der Mittelpunkt auf der dritten Belegung ({{Taste|Alt Gr}}) der Taste {{Taste|.}} und das Malzeichen auf der vierten Belegung ({{Taste|Alt Gr}} + {{Taste|⇧ Umschalttaste}}) der Taste {{Taste|,}}.

Unter Windows lassen sich die Zeichen mit Hilfe der [[Zeichentabelle]] oder den Tastenkombinationen {{Taste|Alt}} + {{Taste|0183}} für den Mittelpunkt sowie {{Taste|Alt}} + {{Taste|0215}} für das Malkreuz einfügen.

Auf [[Apple Macintosh|Apple-Macintosh]]-Rechnern können die Zeichen in der Zeichenpalette mit Hilfe der entsprechenden Bezeichnung, beispielsweise ''MULTIPLICATION SIGN'', gefunden werden.<ref>{{Webarchiv |url=http://www.typografie.info/typowiki/index.php?title=Mac_Zeichenpalette |text=Mac Zeichenpalette |wayback=20071025090903}}</ref>

Mit dem [[Neo (Tastaturbelegung)|Neo-Tastaturlayout]] kann der Malpunkt · mittels {{Taste|Mod3}} + {{Taste|× (Ziffernblock)}} eingegeben werden. Das Malkreuz × liegt auf {{Taste|Mod4}} + {{Taste|× (Ziffernblock)}}.

=== Ähnliche und verwandte Zeichen ===
Wegen des Fehlens der Malzeichen auf der [[Tastatur]] werden die Zeichen häufig durch den Buchstaben x (groß- oder kleingeschrieben) oder das einfache Sternchen (*) ersetzt. Bei Verwendung einer [[Grotesk (Schrift)|Grotesk]]-Schriftart (wie etwa Arial) kommt die Gestalt des kleinen x dem Malzeichen schon recht nahe, es steht aber natürlich noch auf der [[Liniensystem (Typografie)|Grundlinie]] und nicht mittig.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Zeichen, bei denen Verwechslungsgefahr besteht
|-
!rowspan="2"| Zeichen
!colspan="2"| Unicode
!rowspan="2"| Name
|-
! Position
! Bezeichnung
|-
| X
| U+0058
|style="text-align:left"| Latin capital letter X
|style="text-align:left"| Lateinischer Großbuchstabe X
|-
| x
| U+0078
|style="text-align:left"| Latin small letter x
|style="text-align:left"| Lateinischer Kleinbuchstabe x
|-
| *
| U+002A
|style="text-align:left"| Asterisk
|style="text-align:left"| Sternchen
|-
| •
| U+2022
|style="text-align:left"| Bullet
|style="text-align:left"| Fetter Punkt ([[Aufzählungszeichen]])
|-
| ․
| U+2024
|style="text-align:left"| One dot leader
|style="text-align:left"| [[Leitpunkt]]
|-
| ‧
| U+2027
|style="text-align:left"| Hyphenation point
|style="text-align:left"| [[Silbentrennungspunkt]]
|-
| ·
| U+0387
|style="text-align:left"| Greek ano teleia
|style="text-align:left"| [[Hochpunkt (Interpunktion)|Hochpunkt]]
|}

== Literatur ==
* [[Florian Cajori]]: ''A History of Mathematical Notations.'' Dover Publications, New York NY 1993, ISBN 0-486-67766-4 (Nachdruck des zweibändigen Originalwerkes von Open Court Publishing Co. 1928/1929).

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Mathematisches Zeichen]]
[[Kategorie:Multiplikation]]

Malzeichen - Versionsgeschichte

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