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2024-06-14T07:38:20Z

Anwendungen: für alpha beliebig handelt es sich um die allgemeine harmonische Reihe

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Das '''Majorantenkriterium''' ist ein [[Mathematik|mathematisches]] [[Konvergenzkriterium]] für [[unendliche Reihe]]n. Die Grundidee ist, eine Reihe durch eine größere, so genannte ''Majorante'', abzuschätzen, deren [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] bekannt ist. Umgekehrt kann mit einer ''Minorante'' die Divergenz nachgewiesen werden.

== Formulierung des Kriteriums ==

Sei eine unendliche Reihe
:<math>S = \sum_{n=0}^\infty a_n</math>
mit reellen oder komplexen Summanden <math>a_n</math> gegeben. Gibt es nun eine ''konvergente'' unendliche Reihe
:<math>T = \sum_{n=0}^\infty b_n</math>
mit nichtnegativen reellen Summanden <math>b_n</math> und gilt für [[fast alle]] <math>n</math>:
:<math>|a_n| \le b_n,</math>
dann ist die Reihe <math>S</math> [[Absolute Konvergenz |absolut konvergent]]. Man sagt, die Reihe <math>S</math> wird von <math>T</math> majorisiert oder <math>T</math> ist die Majorante von <math>S</math>.

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das '''Minorantenkriterium''': Sind <math>S</math> und <math>T</math> Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden <math>a_n</math> bzw. <math>b_n</math>, und gilt
:<math>a_n \ge b_n</math>
für fast alle <math>n</math>, dann folgt: Ist <math>T</math> divergent, dann ist auch <math>S</math> divergent.

== Beweis ==

Konvergiert die Reihe <math>T = \sum_{\nu=0}^\infty b_\nu</math>, dann gibt es zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> ein <math> N \in \mathbb{N}</math>, so dass <math>\sum _{\nu=n}^m b_\nu < \varepsilon</math> für alle <math> m \ge n > N</math> gilt ([[Cauchykriterium]]).

Aus der [[Dreiecksungleichung#Für Summen und Integrale|Dreiecksungleichung]] und <math>|a_\nu| \le b_\nu</math> folgt <math>\Big|\sum_{\nu=n}^m a_\nu\Big| \le \sum_{\nu=n}^m |a_\nu| \le \sum_{\nu=n}^m b_\nu < \varepsilon</math>. Daraus folgt die (absolute!) Konvergenz von <math>S = \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu</math> nach dem Cauchykriterium.

== Beispiel ==

Die [[geometrische Reihe]]
:<math>T=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dotsb</math>
ist konvergent. Wegen <math>\frac{1}{2^n+1}\le\frac{1}{2^n}</math> konvergiert somit auch die Reihe
:<math>S=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{17}+\dotsb</math>.

== Anwendungen ==

Das Majorantenkriterium wird auch als allgemeinste Form eines Vergleichskriteriums 1. Art bezeichnet, alle weiteren ergeben sich durch das Einsetzen konkreter Reihen für <math>T=\sum_{n=0}^\infty b_n</math>. Am prominentesten sind dabei das [[Wurzelkriterium]] und das [[Quotientenkriterium]], in welchen die [[geometrische Reihe]] als Vergleichsreihe gewählt wird.

Ebenfalls lässt sich aus dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium das [[Cauchysches Verdichtungskriterium|Cauchysche Verdichtungskriterium]] herleiten, mit dem sich beispielsweise zeigen lässt, dass die [[harmonische Reihe#Allgemeine_harmonische_Reihe|allgemeine harmonische Reihe]]
:<math>S_n = \sum_{k=1}^n \frac1{k^\alpha}</math>
konvergent für <math>\alpha>1</math> und divergent für <math>0<\alpha\leq 1</math> ist.

Das Majorantenkriterium kann auf den Fall [[normierter Raum|normierter Vektorräume]] ausgedehnt werden, es besagt dann, dass falls <math>\|a_n\|\le b_n</math> für fast alle <math>n</math> gilt, die Partialsummenfolge von <math>S = \sum_{n=0}^\infty a_n</math> eine [[Cauchy-Folge]] ist. Ist der Raum [[vollständiger Raum|vollständig]], d. h. ein [[Banachraum]], so konvergiert <math>S</math>, falls <math>T</math> konvergiert. Insbesondere folgt daraus der [[Fixpunktsatz von Banach]], der in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt wird.

== Siehe auch ==
* [[Weierstraßsches Majorantenkriterium]]

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium}}

== Literatur ==
* [[Otto Forster]]: ''Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' 8. Aufl. Vieweg-Verlag, 2006. ISBN 3-8348-0088-0

[[Kategorie:Konvergenzkriterium]]

Majorantenkriterium - Versionsgeschichte

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