imported>Stefriegel: /* Einzelnachweise */ Link aktualisiert

2025-02-08T11:56:56Z

Einzelnachweise: Link aktualisiert

Neue Seite

Der '''Mahalanobis-Abstand,''' auch '''Mahalanobis-Distanz''' oder '''verallgemeinerter Abstand'''<ref name=":0">{{Internetquelle |url=https://isi-web.org/glossary/1409 |titel=Mahalanobis' generalized distance |titelerg=Glossary of statistical terms |werk=[[International Statistical Institute]] |datum=2011-06-01 |sprache=en |abruf=2025-02-08}}</ref> (nach [[Prasanta Chandra Mahalanobis|Mahalanobis]]) genannt, ist ein [[Distanzmaß]] zwischen Punkten in einem [[Dimension (Mathematik)|mehrdimensionalen]] [[Vektorraum]]. Intuitiv gibt der Mahalanobis-Abstand zweier Punkte ihren Abstand in Standardabweichungen an. Der Mahalanobis-Abstand wird speziell in der [[Statistik]] verwendet, zum Beispiel im Zusammenhang mit [[Multivariate Verfahren|multivariaten Verfahren]].

== Definition ==
Bei [[Multivariate Verteilung|multivariaten Verteilungen]] werden die <math>m</math> Koordinaten eines Punktes als <math>m</math>-dimensionaler Spalten[[vektor]] dargestellt. Man fasst ihn als [[Realisierung (Stochastik)|Realisierung]] eines [[Zufallsvektor]]s <math>\mathbf X</math> mit der [[Kovarianzmatrix]] <math>\mathbf \Sigma</math> auf. Der Abstand zweier so verteilter Punkte <math>\mathbf x</math> und <math>\mathbf y</math> wird dann durch den Mahalanobis-Abstand in der [[Grundgesamtheit]]

: <math>\Delta(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{(\mathbf x - \mathbf y)^{\top} \mathbf \Sigma^{-1} (\mathbf x - \mathbf y)}</math>

bestimmt. Der Mahalanobis-Abstand ist [[Skaleninvarianz|skalen-]] und [[translationsinvariant]].

Analog gilt für den Mahalanobis-Abstand in der Stichprobe:

: <math>D(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{(\mathbf x - \mathbf y)^{\top} \mathbf \mathbf{S}^{-1} (\mathbf x - \mathbf y)}</math>,

wobei <math>\mathbf{S}^{-1}</math> die Inverse der [[Stichproben-Kovarianzmatrix]] <math>\mathbf{S}</math> darstellt.

Im Zweidimensionalen bilden die Punkte mit gleichem Mahalanobis-Abstand von einem Zentrum graphisch eine [[Ellipse]] (deren Achsen nicht notwendigerweise in Richtung der Koordinatenachsen zeigen), während es beim [[Euklidischer Abstand|euklidischen Abstand]] ein Kreis ist. Ist die Kovarianzmatrix die [[Einheitsmatrix]] (dies ist genau dann der Fall, wenn die einzelnen Komponenten des Zufallsvektors <math>\mathbf X</math> paarweise [[Korrelation|unkorreliert]] sind und jeweils Varianz 1 besitzen), so entspricht der Mahalanobis-Abstand dem euklidischen Abstand. Die [[Niveaumenge|Flächen konstanten Abstandes]] von einem Punkt können beim Mahalanobis-Abstand beliebige [[Kegelschnitt]]e sein.

Mathematisch ergibt sich der Mahalanobis-Abstand aus der [[Mehrdimensionale Normalverteilung|<math>m</math>-dimensionalen Normalverteilung]] mit [[Erwartungswertvektor]] <math>\boldsymbol \mu</math> und [[Kovarianzmatrix]] <math>\mathbf \Sigma</math>, wobei <math>\det(\mathbf \Sigma) \neq 0</math> gilt. Diese Verteilung besitzt nämlich die Dichte

:<math>f_X(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^\frac{m}{2} \sqrt{|\det(\mathbf \Sigma)|}} \cdot \exp\left(-\frac{1}{2} (\mathbf x - \boldsymbol \mu)^{\top} \mathbf \Sigma^{-1} (\mathbf x - \boldsymbol \mu)\right)</math>.

Durch Logarithmieren dieses Ausdrucks erhält man die logarithmische Dichte

:<math>\log f_X(\mathbf{x})=-\frac{1}{2} (\mathbf x - \boldsymbol \mu)^{\top} \mathbf \Sigma^{-1} (\mathbf x - \boldsymbol \mu) - c</math>

mit einer Konstanten <math>c</math>, was bis auf die fehlende Wurzel, den Vorfaktor und den Summanden <math>c</math> dem Mahalanobis-Abstand entspricht.

== Anwendungen ==
In der [[Diskriminanzanalyse]] wird die Zuordnung eines Punktes zu einer bestimmten gegebenen Population unter anderem mit dem Mahalanobis-Abstand bestimmt. Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Erkennung von [[Ausreißer]]n mit Hilfe des Mahalanobis-Abstands, wobei der Punkt <math>\mathbf y</math> durch einen (robusten) Lageparameter ersetzt wird. Kritisch ist dabei anzumerken, dass sowohl die Kovarianzmatrix als auch die Lageparameter durch Ausreißer verzerrt sein können. Sie werden in den meisten Fällen durch robuste Verfahren geschätzt, z. B. mit Hilfe der MCD-Schätzer (''MCD'' {{enS}} für ''Minimum Covariance Determinant,'' {{deS}} etwa ''Schätzer mit kleinstmöglicher [[Determinante]] der [[Kovarianzmatrix]]''). Weiterhin können bei der Verwendung des Mahalanobis-Abstandes als [[Abstandsklassifikator]] zwei Fälle unterschieden werden:
# Die Kovarianzmatrix ist für alle Klassen gleich oder gemittelt.
# Es werden unterschiedliche Kovarianzmatrizen für die einzelnen Klassen verwendet.
Die Entscheidung für eine Alternative ist durch empirische Analysen zu begründen.

== Siehe auch ==
* [[Normalverteilung]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=P. C. Mahalanobis |Titel=On the generalised distance in statistics |Sammelwerk=Proceedings of the National Institute of Science of India |Band=2 |Nummer=1 |Datum=1936 |Seiten=49–55 |JSTOR=48723335}}
* {{Literatur |Autor=R. De Maesschalck, D. Jouan-Rimbaud & D. L. Massart |Titel=The Mahalanobis distance |Sammelwerk=Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems |Band=50 |Nummer=1 |Datum=2000 |Seiten=1–18 |DOI=10.1016/S0169-7439(99)00047-7}}
* {{Literatur |Autor=G. J. McLachlan |Titel=Mahalanobis distance |Sammelwerk=Resonance |Band=4 |Datum=1999 |Seiten=20–26 |DOI=10.1007/BF02834632}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Multivariate Statistik]]
[[Kategorie:Regressionsanalyse]]
[[Kategorie:Statistischer Abstand]]

Mahalanobis-Abstand - Versionsgeschichte

imported>Stefriegel: /* Einzelnachweise */ Link aktualisiert