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Änderungen von ~2025-29100-71 (Diskussion) auf die letzte Version von Marvin Behrmann zurückgesetzt

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{{Infobox Physikalische Größe
|Name= Magnetische Flussdichte
|Größenart=
|Formelzeichen= <math>\vec{B}</math>
|Dim=
|AbgeleitetVon=
|SI= [[Tesla (Einheit)|T]]
|SI-Dimension= [[Masse (Physik)|M]]·[[Stromstärke|I]]−1·[[Zeit|T]]−2
|Gauß= [[Gauß (Einheit)|Gs]] = 105·[[Gamma (Einheit)|γ]]
|Gauß-Dimension= [[Masse (Physik)|M]]½·[[Länge (Physik)|L]]-½·[[Zeit|T]]−1
|esE= [[Stattesla|statT]]
|esE-Dimension= [[Masse (Physik)|M]]½·[[Länge (Physik)|L]]−3/2
|emE= [[Gauß (Einheit)|Gs]] = 105·[[Gamma (Einheit)|γ]]
|emE-Dimension= [[Masse (Physik)|M]]½·[[Länge (Physik)|L]]-½·[[Zeit|T]]−1
|Planck=
|Planck-Dimension=
|Astro=
|Astro-Dimension=
}}
Die '''magnetische Flussdichte''', auch '''magnetische Induktion''' (nicht empfohlen)<ref name="IEC_121-11-19" />, bisweilen in der fachlichen Umgangssprache nur „Flussdichte“, „Magnetfeld“ oder „''B''-Feld“ genannt, ist eine [[physikalische Größe]] der [[Elektrodynamik]]. Sie ist die [[Spezifische Größe|Flächendichte]] des [[Magnetischer Fluss|magnetischen Flusses]], der senkrecht durch ein bestimmtes Flächenelement hindurchtritt.


Die magnetische Flussdichte <math>\vec{B}</math> an einem Ort <math>\vec{r}</math> ist eine gerichtete Größe, also ein [[Vektor]], und wird aus dem [[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]] <math>\vec{A}</math> hergeleitet.

== Definition und Berechnung ==
[[Datei:Lorentzkraft v2.svg|mini|hochkant=1.8|Lorentzkraft auf ein ''positiv'' geladenes Teilchen der Geschwindigkeit v (links) bzw. das vom Strom I durchflossene Leiterstück der Länge s (rechts) im dazu senkrecht verlaufenden Magnetfeld der Flussdichte B.]]

Wie die [[elektrische Feldstärke]] <math>\vec E</math> ist auch die magnetische Flussdichte <math>\vec B</math> historisch zunächst einmal indirekt, d. h. über ihre experimentell messbare Kraftwirkung <math>\vec F</math> auf ''bewegte'' elektrische Ladungen, definiert worden, die nach älterer Namenskonvention als [[Lorentzkraft]], nach neuerer Konvention als magnetische Komponente der Lorentzkraft bezeichnet wird und in vektorieller Schreibweise wie folgt notiert wird:

: <math>{\vec F_B} = q \cdot {\vec v}\times {\vec B} \quad \text{bzw.} \quad {\vec F_B} = I \cdot {\vec s}\times {\vec B}</math>
mit:
* <math>{\vec F_B}</math> – bewegungsbedingte Kraftwirkung auf die Ladung <math>q</math> im Magnetfeld
* <math>q\,</math> – [[elektrische Ladung]], oder <math>I\,</math> – [[Stromstärke]]
* <math>{\vec v}</math> – [[Geschwindigkeit]] der Ladungsbewegung, oder <math>{\vec s}</math> – Länge des Wegs des elektrischen Stroms <math>I</math> durch den untersuchten Leiter (Die Orientierung von <math>\vec s</math> richtet sich nach der [[Technische Stromrichtung|technischen Stromrichtung]])
* <math>{\vec B}</math> – magnetische Flussdichte

Die erste der beiden oben aufgeführten Gleichungen wird vorwiegend für frei im Raum bewegliche Ladungen, z. B. Elektronen innerhalb einer [[Braunsche Röhre|Braunschen Röhre]], benutzt, die zweite dagegen für Ladungen, die sich innerhalb von elektrischen Leitern, z. B. Drähten oder Kabeln, bewegen. Beide Gleichungen sind gleichwertig.

In den genannten Formeln ist <math>\vec B</math> ein Vektor, der in Richtung der Feldlinien des erzeugenden Magnetfelds zeigt.

Verzichtet man auf die vektorielle Schreibweise und damit die Möglichkeit, die Richtung der Kraftwirkung <math>F_B</math> aus dem [[Kreuzprodukt|Vektorprodukt]] der beiden Vektoren <math>\vec v</math> und <math>\vec B</math> bzw. <math>\vec s</math> und <math>\vec B</math> zu bestimmen, kann <math>F_B</math> gemäß folgender Formel auch als [[Skalar (Mathematik)|skalare]] Größe berechnet werden:

: <math>F_B=|q\cdot v| \cdot B\sin \alpha \, \Leftrightarrow F_B=|I\cdot s| \cdot B\sin \alpha \,</math>

mit:
* <math>q\,</math> – elektrische Ladung, oder <math>I\,</math> – Stromstärke
* <math>v\,</math> – Geschwindigkeit der Ladungsbewegung, oder <math>s\,</math> – Länge des Wegs des Stroms im Leiter
* <math>B\,</math> – Betrag der magnetischen Flussdichte
* <math>\alpha\,</math> – Winkel zwischen der Richtung der Ladungsbewegung und der Richtung des magnetischen Flusses, oder zwischen der Richtung des Stromflusses <math>I</math> und der Richtung des magnetischen Flusses.

Bewegt sich die elektrische Ladung <math>q</math> mit der Geschwindigkeit <math>v</math> senkrecht zur Richtung des magnetischen Flusses und/oder verläuft der untersuchte elektrische Leiter senkrecht zur magnetischen Flussrichtung, kann, da <math>\textstyle \sin \alpha</math> in diesem Fall den Wert 1 annimmt, der Zahlenwert von <math>\textstyle B</math> gemäß folgender Gleichung auch direkt aus der Kraftwirkung <math>\textstyle F_B</math> auf die Ladung bzw. den Leiter als Ganzes berechnet werden:

:<math>
{B=\frac{F_B}{|q\cdot v|}} \Leftrightarrow {B=\frac{F_B}{|I\cdot s|}}
</math>

Der Zusammenhang mit der [[Magnetische Feldstärke|magnetischen Feldstärke]] <math>\vec{H}</math> ist:
:<math>\vec{B} = \mu \cdot \vec{H}</math>.

Dabei ist <math>\mu</math> die [[Permeabilität (Magnetismus)|magnetische Permeabilität]].

== Messung ==
Die magnetische Flussdichte kann mit [[Magnetometer]]n, [[Hallsensor]]en oder Messspulen gemessen werden.

== Maßeinheit ==
Die [[Internationales Einheitensystem|SI-Einheit]] der magnetischen Flussdichte ist das [[Tesla (Einheit)|Tesla]] mit dem [[Einheitenzeichen]] T:
:<math>\left[ B \right] = 1\,\mathrm{T} = 1\,{\mathrm{V\,s} \over \mathrm{m^2}} = 1\,{\mathrm{N} \over \mathrm{A\,m}} </math>

Eine veraltete Einheit für die magnetische Flussdichte ist außerdem das [[Gauß (Einheit)|Gauß]] mit dem Einheitenzeichen G oder Gs, das in der Astronomie und der Technik noch verwendet wird. Es gilt 1 T = 10 000 G.

== Spezialfälle ==
Im Folgenden werden der Einfachheit halber nur die ''Beträge'' der Flussdichten angegeben.
* magnetische Flussdichte im Abstand <math>r</math> von einem geraden stromdurchflossenen Leiter:
::<math>B = \mu \frac {I} {2\pi r}</math>
: (Die Richtung der Flussdichte ergibt sich aus der [[Korkenzieherregel]].)
* im Inneren einer langen Spule:
::<math> B = \mu \frac {N\,I}{l}</math>
: (Hierbei sind <math>N</math> die Windungszahl und <math>l</math> die Länge der Spule. Streng genommen ist dies nur eine Näherungsformel, die nur unter folgenden Voraussetzungen gilt: Die Länge der Spule ist groß verglichen mit dem Radius der Spule, die Windungen sind sehr dicht und gleichmäßig und der betrachtete Ort befindet sich im Inneren der Spule und nicht in der Nähe der Spulenenden. Die Richtung der Flussdichte verläuft parallel zur Spulenachse. Für die Orientierung siehe [[Spule (Elektrotechnik)#Magnetfeld und Stromfluss|dort]]. Außerhalb der Spule ist die Flussdichte nahezu Null.)
* in der Mitte einer [[Helmholtz-Spule]] mit Radius <math>R</math>:

::<math>B = \mu \frac {8\,N\,I}{\sqrt{125}R}</math>
* in einiger Entfernung <math>\vec r</math> von einem [[Magnetischer Dipol|magnetischen Dipol]] mit dem Dipolmoment <math>\vec m</math>:
::<math>\vec{B}(\vec{r})\,=\,\frac{\mu}{4 \pi r^2}\,\frac{3\vec{r}(\vec{m}\cdot\vec{r}) - \vec{m}r^2}{r^3}\ .</math>
: (Das Dipolmoment einer kreisförmigen [[Leiterschleife]] mit der orientierten Querschnittsfläche <math>\vec A</math> ist <math>\vec m = I\vec A</math>.)

== Magnetische Fluss''dichte'' und magnetischer Fluss ==
Die magnetische Fluss''dichte'' <math>\vec B</math> ist als Flächendichte über folgende Beziehung mit dem [[Magnetischer Fluss|magnetischen Fluss]] <math>\Phi\,</math> verknüpft:
:<math>\Phi=\int{\vec B} \cdot \mathrm{d}\vec A </math>.

Dass die Flusslinien des magnetischen Flusses in sich geschlossen sind, lässt sich mathematisch dadurch zum Ausdruck bringen, dass jedes [[Flächenintegral]] von <math>\vec B</math> über eine beliebige ''geschlossene'' Oberfläche <math>O</math> den Wert <math>0</math> annimmt:
:<math>\oint_\mathrm O{\vec B} \cdot \mathrm{d}\vec A = 0</math>.

Diese Gleichung ist mathematisch gesehen eine direkte Konsequenz der homogenen [[Maxwellsche Gleichungen|Maxwellschen Gleichung]]
:<math>{\mathrm{div}{\,\vec B} = 0}</math>
sowie des [[Gaußscher Integralsatz|Gaußschen Satzes]]
:<math>\oint_\mathrm O{\vec\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec A = \int_\mathrm V {\mathrm{div} \,}{\vec\jmath}\cdot \mathrm{d}^3 r</math>
für ein beliebiges Vektorfeld <math>\vec\jmath</math> und das von <math>O</math> eingeschlossene Volumen <math>V</math>.

Anschaulich gesprochen: Wenn man sich ein durch eine beliebig geformte geschlossene Fläche <math>O</math> eingeschlossenes Volumen <math>V</math> in einem magnetischen Feld vorstellt, fließt stets genauso viel „[[Magnetismus]]“ aus <math>V</math> durch die Oberfläche <math>O</math> nach außen wie von außen hinein. Dies bezeichnet man als „[[Quellfrei|Quellenfreiheit]] des magnetischen Feldes“.

== Größenbeispiele ==
Für Beispiele für verschiedene magnetische Flussdichten in der Natur und in der Technik → siehe [[Liste von Größenordnungen der magnetischen Flussdichte]]

== Literatur ==
{{Wikibooks|Der elektrische Strom – Eigenschaften und Wirkungen: Teil II}}
* K. Küpfmüller, G. Kohn: ''Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Eine Einführung.'' 16., vollst. neu bearb. u. aktualisierte Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-20792-9.

== Weblinks ==
* [https://www.ibsmagnet.de/knowledge/flussdichte_berechnung.php Online-Flussdichte-Berechnung von der Firma IBS Magnet] sowie weitere Formeln und Downloads von Magnet-Berechnungstabellen.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="IEC_121-11-19">
{{Internetquelle |url=https://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=121-11-19 |titel=IEC 60050 - International Electrotechnical Vocabulary - Details for IEV number 121-11-19: "magnetic flux density" |abruf=2023-10-24 |kommentar=In der deutschen Version wird der Begriff „magnetische Induktion“ ausdrücklich „abgelehnt“}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Magnetismus]]
[[Kategorie:Physikalische Größenart]]

Magnetische Flussdichte - Versionsgeschichte

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