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2026-03-28T17:45:56Z

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In der [[Mathematik]] ist ein '''Magma''' (''neutrum'', Mehrzahl ''Magmen'' oder ''Magmata'') eine [[algebraische Struktur]], bestehend aus einer [[Mengenlehre|Menge]] von Elementen zusammen mit einer [[Zweistellige Verknüpfung|Verknüpfung]] zweier beliebiger Elemente dieser Menge, die wiederum ein Element aus dieser Menge ergibt. Es wird auch '''Gruppoid''',<ref>Die Bezeichnung Gruppoid wird auch für eine mathematische Struktur in der [[Kategorientheorie]] verwendet, siehe ''[[Gruppoid (Kategorientheorie)]]''.</ref> manchmal '''Binar''' oder '''Operativ''' genannt. Weitere Anforderungen an die Struktur eines Magmas werden nicht gestellt. Der Begriff wurde [[1926]] von dem deutschen Mathematiker [[Heinrich Brandt (Mathematiker)|Heinrich Brandt]] als ''Gruppoid'' entwickelt. Das Wort ''Magma'' hierfür wurde dann 1964 vom französischen Mathematiker [[Jean-Pierre Serre]] in seinen Vorlesungen an der [[Harvard University]] verwendet.<ref>{{Literatur|Titel=Lie Algebras and Lie Groups|TitelErg=1964 Lectures given at Harvard University|Datum=1965|Autor=Jean-Pierre Serre|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|ISBN=3-540-55008-9|Auflage=2|Kapitel=Chapter IV. Free Lie Algebras|Seiten=18}}</ref> Im Französischen bedeutet ''Magma'' – zwar veraltet, aber gebräuchlich – sinngemäß „wirres, unauflösbares Gemisch“, „Gemenge abstrakter Dinge“<ref>{{Internetquelle|url=https://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/magma/48543|titel=Définitions : magma - Dictionnaire de français Larousse|werk=larousse.fr|abruf=2022-07-30}}</ref> und soll somit sinnbildlich für diese algebraische Struktur stehen. Dieser von Jean-Pierre Serre gewählte Begriff wurde in die 1974 erschienene Auflage des Standardwerks ''Algebra I'' vom französischen Autorenkollektiv [[Nicolas Bourbaki]] übernommen und hat sich dadurch in Fachkreisen etabliert.<ref name="Bourbaki 1">{{Literatur|Titel=Algebra I|Sammelwerk=Elements of Mathematics|Autor=Nicolas Bourbaki|Verlag=Hermann|Ort=Paris|Datum=1974|Kapitel=Chap. 1, §7|Seiten=81 pp|ISBN=2-7056-5675-8}}</ref>

Eine Verallgemeinerung des Magmas ist das [[Pseudo-Magma]], in dem die Verknüpfung nicht mehr auf der ganzen zugrundeliegenden Menge erklärt sein muss, also [[Partielle Funktion|partiell]] sein kann.

== Definitionen ==
=== Magma ===
Ein ''Magma'' ist ein Paar <math>(M,*),</math> bestehend aus einer Menge <math>M</math> (der [[Trägermenge]]) und einer zweistelligen inneren Verknüpfung
: <math>*\,\colon\, M\times M\rightarrow M.</math>

Für <math>a*b</math>, die Verknüpfung zweier Elemente <math>a, b \in M</math>, schreibt man auch kurz <math>ab</math>. Ist die Verknüpfung aus dem Kontext klar, bezeichnet man auch die Menge <math>M</math> als Magma.

Die [[leere Menge]] <math>\emptyset</math> kann auch als Trägermenge <math>M</math> zugelassen werden; das Paar <math>(\emptyset,\emptyset)</math> ist auf triviale Weise ein Magma.

Ist die Verknüpfung [[Kommutativität|kommutativ]], so heißt das Magma ''kommutativ'' oder ''[[Abelsche Gruppe|abelsch]]''; ist sie [[Assoziativität|assoziativ]], so heißt das Magma ''assoziativ'' oder ''[[Halbgruppe]].''

=== Untermagma ===
Sei <math>(M,*)</math> ein Magma. Eine Teilmenge <math>U \subseteq M</math> heißt '''Untermagma''' von <math>M</math>, wenn <math>U</math> [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossen]] ist bezüglich <math>*</math>, d. h., es gilt

:<math>a*b \in U</math> für alle <math>a,b \in U</math>.

Wie der Name suggeriert, wird <math>U</math> selbst zum Magma durch die [[Einschränkung (Mathematik)|Einschränkung]] der vererbten Verknüpfung, d. h.
: <math>*|_{U\times U}\colon U\times U\rightarrow U</math>.
<math>M</math> nennt man dann auch '''Obermagma''' von <math>U</math>.

Ein beliebiger Durchschnitt von Untermagmen ist ein Untermagma. Damit bilden Untermagmen ein [[Hüllensystem]]:

Jede Teilmenge <math>U \subset M</math> eines Magmas ist enthalten in einem kleinsten Untermagma, das <math>U</math> enthält. Dieses Untermagma <math>\langle U\rangle</math> heißt von <math>U</math> erzeugt und ist gegeben durch
: <math>\langle U\rangle=\bigcap_{A\leq M,\,U\subseteq A}A</math>,
wobei <math>A\leq M</math> die Kurzschreibweise für „<math>A</math> ist Untermagma von <math>M</math>“ ist.

== Beispiele ==
=== Magmen, die keine Halbgruppen sind ===
Die folgenden Beispiele sind Magmen, die keine Halbgruppen sind:

* <math>(\Z, -)</math>: die [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] mit der [[Subtraktion]]
* <math>(\R \setminus \{0\}, /)</math>: die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] ungleich <math>0</math> mit der [[Division (Mathematik)|Division]]
* Die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] mit der [[Potenz (Mathematik)|Exponentiation]], also mit der Verknüpfung <math>a*b = a^b</math>
* Die reellen Zahlen mit der Bildung des [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittels]] als Verknüpfung
* Alle Gleitkommadarstellungen ([[Gleitkommazahl]]) zu beliebigen Basen, Exponenten- und Mantissenlängen mit der [[Multiplikation]] (×) sind echte, unitäre, kommutative Magmen wenn man (der Abgeschlossenheit wegen) die ±∞, ±∞ × 0 und 0 × ±∞ ([[NaN]]s) hinzunimmt. So ist die Gleitkommamultiplikation weder assoziativ noch besitzt sie im Allgemeinen ein eindeutiges Inverses, auch wenn beides für einige Fälle tatsächlich gilt.
* Endliche Magmen werden oft mit [[Verknüpfungstafel]]n dargestellt, z. B. für das Magma <math>A= (\{a,b,c,d\},*)</math>:

{|border="2" cellpadding="5" align="center" style="text-align:center;"
|-
!style="background:#efefef;"|<math>*</math>
!style="background:#efefef;"|a
!style="background:#efefef;"|b
!style="background:#efefef;"|c
!style="background:#efefef;"|d
|-
!style="background:#efefef;"|a
| a || b || c || a
|-
!style="background:#efefef;"|b
| c || d || b || c
|-
!style="background:#efefef;"|c
| c || a || a || c
|-
!style="background:#efefef;"|d
| a || d || d || b
|}
Die Verknüpfung <math>*</math> in diesem Beispiel ist nicht assoziativ, wie das folgende Beispiel zeigt: <math>(b * c) * a \neq b * (c * a)</math>.

=== Beispiele für Pseudo-Magmen ===
Die folgenden Beispiele sind keine Magmen, da die angegebene Verknüpfung nicht für alle möglichen Werte definiert ist (sie sind also Pseudo-Magmen):
* Die natürlichen Zahlen mit der Subtraktion.
* Die reellen Zahlen mit der Division.
* Alle Gleitkommamultiplikationen ohne NaNs oder ±∞.

=== Beispiele für Untermagmen ===
Beispiele für Untermagmen sind
* Für jedes Magma sind das leere und das ganze Magma stets Untermagmen von sich selbst.
* <math>(\Q \setminus \{0\}, /)</math> (die [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] ungleich <math>0</math> mit der [[Division (Mathematik)|Division]]) ist ein Untermagma von <math>(\R \setminus \{0\}, /)</math> (siehe oben).
* Das Magma <math>B=(\{a,c\},\circ)</math> mit folgender Verknüpfungstafel ist Untermagma des oben genannten Magmas <math>A=(\{a,b,c,d\},*)</math>:

{|border="2" cellpadding="5" align="center" style="text-align:center;"
|-
!style="background:#efefef;"|<math>\circ</math>
!style="background:#efefef;"|a
!style="background:#efefef;"|c
|-
!style="background:#efefef;"|a
| a || c
|-
!style="background:#efefef;"|c
| c || a
|}

== Spezielle Magmen ==
Die [[Grundmenge]] ist unter einer inneren Verknüpfung per Definition [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossen]]. Ansonsten muss ein Magma keinerlei weitere Eigenschaften haben. Durch Hinzunahme zusätzlicher Bedingungen werden speziellere Strukturen definiert, die alle wiederum Magmen sind.
* ''Mediales'' Magma: ein Magma, in dem für alle Elemente die Gleichung <math>(a*b)*(c*d) = (a*c)*(b*d)</math> gilt. Nach dem Eckman-Hilton-Argument ist ein mediales Magma mit [[neutrales Element|neutralem Element]] bereits ein abelscher Monoid
* [[Ruth Moufang|''Moufang'']]-Magma: Ein Magma, in dem die [[Moufang-Identitäten|Moufang-Identität]] <math>(a*(b*c))*a=(a*b)*(c*a)</math> gilt.
Darüber hinaus gibt es besondere Magmen, die ihrerseits mit weiteren Eigenschaften bis hinauf zur [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] spezialisiert werden können. Dafür gibt es zwei „Pfade“:
* Ein [[Assoziativgesetz|assoziatives]] Magma, in dem also <math>a*(b*c)=(a*b)*c</math> gilt, ist eine [[Halbgruppe]]. Eine Halbgruppe mit einem neutralen Element ist ein [[Monoid]]. Ein Monoid, in dem jedes Element ein [[inverses Element]] besitzt, ist eine Gruppe.
* Ein Magma, in dem alle Gleichungen der Form <math>ax = b</math> oder <math>xa = b</math> immer und eindeutig nach <math>x</math> auflösbar sind, heißt [[Quasigruppe]]. Eine Quasigruppe <math>Q</math> hat die ''Inverseneigenschaft'', wenn es zu <math>a,b\in Q</math> genau ein <math>a^{-1}\in Q</math> mit <math>a^{-1}(ab)=b=(ba)a^{-1}</math> gibt. Eine Quasigruppe mit neutralem Element ist ein [[Quasigruppe#Loop|Loop]]. Ein assoziativer Loop (es reicht auch, eine Quasigruppe zu sein) mit Inverseneigenschaft ist eine Gruppe.
Als davon ausgehende Spezialisierung ist eine [[abelsche Gruppe]] eine Gruppe, deren Verknüpfung kommutativ ist.

== Homomorphismen {{Anker|Morphismen}} ==
Sind <math>(A,\star),(B,\circ)</math> zwei Magmen, so heißt eine Abbildung <math>f \colon A \rightarrow B</math> ein ''(Magmen-)[[Homomorphismus]]'', wenn für alle <math>a,a' \in A</math> gilt:
: <math>f(a\star a')=f(a) \circ f(a')</math>.<ref>Nicolas Bourbaki: in „Elements of Mathematics Algebra I“ im Chapter I „Algebraic Structures“</ref>
=== Eigenschaften ===
* Ist <math>A=B</math>, so heißt <math>f\colon A \rightarrow A</math> ''[[Endomorphismus]]''.
* Ist ein Homomorphismus <math>f\colon A \rightarrow B</math> als Abbildung [[Bijektive Funktion|bijektiv]], so ist die Umkehrabbildung automatisch ebenfalls ein Homomorphismus. In diesem Fall heißt <math>f</math> ein ''[[Isomorphismus]]''.
* Ein Isomorphismus <math>f\colon A\rightarrow A</math> eines Magma auf sich selbst, also einen Iso- und Endomorphismus, nennt man kurz ''[[Automorphismus]].''
Für alle Magmen gilt:
* Die Identität <math>id_{\rm A}</math> auf einem Magma <math>(A,\star)</math> ist stets ein Endomorphismus <math>f\colon A \rightarrow A</math>, denn <math>f(a\star a)=a\star a=f(a)\star f(a)</math>.
* Die Verkettung von Homomorphismen ist wieder ein Homomorphismus, denn <math>f\circ g(a\star b)=f(g(a\star b))=f(g(a)\circ g(b))=f(g(a))\diamond f(g(b))</math> bei geeigneten Quell- und Zielmagmen.
Also bilden Magmen als Objekte mit den Homomorphismen zwischen ihnen als [[Morphismus|Morphismen]] eine [[Kategorie (Mathematik)|Kategorie]].

==== Beispiele ====
Für bestimme Fälle von Quelle oder Ziel kann man einige oder alle Homomorphismen zudem angeben:
* Hat ein Magma <math>E =(\{e_0\},\circ)</math> nur ein Element, so gibt es von jedem Magma <math>(A,\star)</math> offenbar genau einen Homomorphismus <math>f\colon A \rightarrow E</math> definiert durch <math>a\mapsto e_0</math> für alle <math>a\in A</math>.
:Das Magma <math>E</math> ist mit <math>e_0\circ e_0=e_0</math> außerdem kommutativ und sogar eine abelsche Gruppe.
* Andersherum gibt es einen Homomorphismus <math>g\colon E\rightarrow A</math> nur und genau dann, wenn <math>g(e_0)\in A</math> idempotent ist, d. h. <math>g(e_0)\star g(e_0)=g(e_0)</math>. Ist <math>A</math> ein Loop, muss also <math>g(e_0)</math> schon das neutrale Element in <math>A</math> sein.
* Die [[Inklusionsabbildung|Inklusion]] eines Magmas in ein Obermagma ist immer ein Homomorphismus.

== Freies Magma ==
{{Siehe auch|Freie Gruppe}}
Analog zu anderen algebraischen Strukturen und ihren freien Formen ist auch hier die Idee, auf Basis einer gegebenen Menge an „Basiselementen“ ein Magma zu konstruieren, das möglichst ''natürlich'' ist, und zwar so, dass keinerlei Restriktionen an dieses Magma gestellt werden (daher der Name frei).

Etwas konkreter nehmen wir an, wir haben eine Menge <math>X</math>, die wir „zum Magma machen“ wollen. Wir nennen dieses Magma <math>(F_X,*)</math> und nehmen an, dass – auf eine Weise – <math>X\subseteq F_X</math>. Wir definieren die Verknüpfung <math>*</math> so, dass für <math>x,y\in F_X</math> das Element <math>x*y</math> etwas „Neues“ ist bzw. „noch keinen Namen hat“; sprich, es heißt einfach: <math>x*y</math>. Das deckt sich mit der Intuition der freien Gruppe: Jedes Element des freien Magmas soll auf genau eine Weise mit den Elementen von <math>X</math> darstellbar sein.

Auf diese Weise erhalten wir immer neue, unendlich viele Elemente, sodass freie Magmen die „größten“ Magmen sind, nämlich so, dass jedes Magma sich als Quotient eines freien Magmas schreiben lässt.

Genauso, wie die freie Gruppe auf einem Element also bereits <math>\langle a\rangle\cong\Z</math> isomorph zu den [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] ist, ist auch das freie Magma auf allein einem Element schon [[Unendliche Menge|unendlich]].

=== Formale Definition ===
Möglichst elegant ist eine rigorose Definition des freien Magmas wohl über [[formale Sprache]]n möglich. Freie Magmen sind aber nur bis auf [[Isomorphie]] eindeutig.

Sei <math>X</math> wie gehabt eine beliebige [[Menge]]. Betrachte das Alphabet <math>\Sigma=X\cup\{\ )\,,\,(\ \}</math> und darüber die Menge aller (endlichen) Wörter <math>\Sigma^*</math>, d. h. zum Beispiel <math>((xxx))</math> oder auch <math>((((xx((((</math>, jeweils für ein <math>x\in X</math>.

Die Sprache (also die [[Teilmenge]] aller Wörter) <math>F_X</math> sei durch folgenden [[Ableitung (Logik)|Kalkül]] definiert:
* <math>\frac{}{x}</math> für alle <math>x\in X</math>, d. h. alle Wörter, die nur aus einem Element der Basismenge bestehen sind ableitbar

* <math>\frac{v\quad w}{(vw)}</math>, also ist für <math>v,w</math> ableitbare Wörter auch das Wort <math>(vw)</math> ableitbar
Die Menge <math>F_X</math> besteht also aus allen Zeichenfolgen (Wörtern), die durch endliche Anwendung dieser beiden Regeln (Ableitung) erzeugt werden können.

Für die Verknüpfung definieren wir
: <math>v*w:=(vw)\in F_X</math> für <math>v,w\in F_X</math>.
<math>F_X</math> ist gerade so definiert, dass es unter dieser Verknüpfung abgeschlossen ist, <math>*</math> also wohldefiniert ist.

Da in einem Magma keine weiteren Anforderungen an die Verknüpfung gestellt werden, ist <math>(F_X,*)</math> damit ein Magma. Über die natürliche Inklusion <math>X\ni x\mapsto x\in F_X</math>, indem also das Element der Menge auf das einelementige Wort abgebildet wird, ist <math>X\subseteq F_X</math>.

Da der oben beschriebene Kalkül eindeutig ist, kann man Elementen des freien Magmas auch einen ''Grad'' zuordnen:
* <math>x,y,z,\ldots\in X</math> haben Grad 1
* <math>(xx),(xy),(yy),\ldots</math> haben Grad 2
* <math>(x(xx)),((xx),(xx)),((xy)z),\ldots</math> haben Grad 3
* usw.

Jedes Magma, das zu dem hier konstruierten isomorph ist, heißt '''freies Magma''' über (oder ''auf'') <math>X</math>. Man schreibt <math>F_X</math> oder <math>\langle X\rangle</math>, bei endlicher Basis <math>X=\{\,x_1,\ldots,x_n\}</math> auch <math>\langle x_1,\ldots,x_n\rangle</math>.

=== Darstellung durch freie Magmen ===
Analog zu [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] ist auch jedes Magma isomorph zu einem Quotienten eines freien Magmas (''Darstellung'' oder ''Repräsentierung''), aber genauso wenig eindeutig.

Sei <math>(M,\cdot)</math> ein Magma. Ein Weg, dieses Magma darzustellen, ist, indem man auf <math>F_M</math> (dem freien Magma über <math>M</math>) eine [[Äquivalenzrelation]] erzeugt durch
: <math>(xy)\sim x\cdot y</math>.
Auf diese Weise ist die kanonische Inklusion ein Magmaisomorphismus <math>M\cong F_M/\sim</math>.

In den allermeisten Fällen ist diese Darstellung jedoch völlig übertrieben insofern, dass man das freie Magma von einer viel kleineren Menge erzeugen kann. Ist <math>M</math> zum Beispiel selbst ein freies Magma, kann man auch <math>M\cong M/\sim_0</math> wählen, wobei <math>\sim_0</math> die von der [[Leere Menge|leeren Menge]] erzeugte Äquivalenzrelation ist.

Dabei ist zu beachten, dass im Gegensatz zu Gruppen die Relation, durch die das freie Magma geteilt wird, eventuell deutlich sperriger aufgeschrieben werden muss. Während zum Beispiel die abelsche freie Gruppe auf zwei Elementen sowohl
: <math>\langle a,b\mid ab=ba\rangle</math> als auch z. B. <math>\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}=e\rangle</math>
heißen kann, ist die zweite Form bei Magmen mangels Inversen und neutralem Element nicht möglich, und es müssten Klammern gesetzt werden, um die Reihenfolge der Operationen zu beschreiben. Es kann also dennoch ratsam sein, ein Magma über eine Verknüpfungstafel o. Ä. anzugeben.

== Anmerkungen ==
<references />

== Literatur ==
* Nicolas Bourbaki: ''Elements of Mathematics: Algebra I.'' Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 978-3-540-64243-5.
* Nicolas Bourbaki: ''Elements of Mathematics: Algebra I.'' Hermann, Paris / Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1974.
* [[Lothar Gerritzen]]: ''Grundbegriffe der Algebra.'' Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden 1994, ISBN 3-528-06519-2.
* [[Thomas Ihringer]]: ''Allgemeine Algebra''. Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9.
* [[Georges Papy]]: ''Einfache Verknüpfungsgebilde: Gruppoide.'' Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1969.

[[Kategorie:Algebraische Struktur]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Magma (Mathematik) - Versionsgeschichte

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