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2021-11-15T20:42:37Z

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Eine '''magere Menge''', auch '''Menge (von) erster (Baire-)Kategorie''' genannt, ist in der [[Mengentheoretische Topologie|mengentheoretischen Topologie]] eine Menge, die aus topologischer Sicht eine geringe Ausdehnung hat. Eine Menge, die nicht mager ist, wird auch eine '''fette Menge''' oder eine '''Menge (von) zweiter (Baire-)Kategorie''' genannt. Im Gegensatz dazu heißt das [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] einer mageren Menge eine '''komagere Menge''' oder eine '''residuelle Menge'''.

Anwendung finden diese Begriffe beispielsweise bei der Formulierung des [[Kategoriensatz von Baire|Kategoriesatzes von Baire]], der besagt, dass vollständige [[Metrischer Raum|metrische Räume]] „topologisch groß“ sind, sowie bei der Abstraktion dieser Eigenschaft mittels [[Baire-Raum (allgemein)|Baire-Räumen]].

Zu beachten ist, dass entgegen der Benennung als Menge erster/zweiter Kategorie kein direkter Bezug zur [[Kategorientheorie]] besteht.

== Definition ==
Gegeben sei ein [[topologischer Raum]] <math> (X, \tau) </math>. Eine Menge <math>A \subseteq X</math> heißt mager oder von erster (Baire-)Kategorie, wenn sie die abzählbare Vereinigung [[Nirgends dichte Menge|nirgends dichter Mengen]] ist.
Dabei heißt eine Menge ''nirgends dicht'', wenn das [[Innerer Punkt|Innere]] ihres [[Abgeschlossene Hülle|Abschlusses]] leer ist.

== Aufbauende Begriffe ==
Eine Menge heißt eine komagere oder residuelle Menge, wenn sie das [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] einer mageren Menge ist.

Eine Menge, die nicht mager ist, heißt fett oder von zweiter (Baire-)Kategorie.

== Beispiele ==
* Jede abzählbare Menge ist mager, falls einelementige Mengen nirgends dicht sind.
* Insbesondere ist in jedem [[T1-Raum|T<sub>1</sub>-Raum]] (jede einelementige Menge ist abgeschlossen) ohne [[Isolierter Punkt|isolierte Punkte]] (keine einelementige Menge ist offen) jede abzählbare Menge mager.
* Eine magere Menge enthält keine isolierten Punkte des umgebenden Raums, denn solche würden zum Inneren der Menge beisteuern.
* Jede [[Dichte Teilmenge|dichte]] offene Menge und jeder abzählbare Schnitt von dichten offenen Mengen sind residuell. Denn das Komplement einer dichten offenen Menge ist nirgends dicht: Sonst hätte es als abgeschlossene Menge nichtleeres Inneres, das außerhalb der gegebenen offenen Menge läge, welche somit nicht dicht sein könnte.
* So ist etwa die Menge der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] mager in der Menge der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]].
* Entsprechend ist die Menge der irrationalen Zahlen residuell.
* Die Menge aller positiven reellen Zahlen ist nicht mager, aber auch nicht residuell, da das Komplement ebenfalls nicht mager ist.
* Jede nirgends dichte Menge ist mager, etwa die [[Cantor-Menge]].
* Magere Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung.

== Siehe auch ==
* Der [[Satz von Baire]] besagt, dass in jedem [[Vollständiger Raum|vollständig]] [[Metrisierbarer Raum|metrisierbaren Raum]] und in jedem [[lokalkompakt]]en [[Hausdorff-Raum]] jede residuelle Menge dicht ist.
* [[Eigenschaft von Baire]]
* [[Nullmenge]], ''vernachlässigbare'' Mengen im Sinne der [[Maßtheorie]].

== Weblinks ==
*{{EoM| Autor =| Titel = Category of a set| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Category_of_a_set| id = }}

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=[[Boto von Querenburg]]|Titel=Mengentheoretische Topologie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Datum=2001|ISBN=9783540677901|DOI=10.1007/978-3-642-56860-2}}

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Deskriptive Mengenlehre]]

Magere Menge - Versionsgeschichte

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