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2022-05-17T15:04:43Z

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'''MPEC'''s (Mathematical Programs with Equilibrium Constraints), zu deutsch etwa 'Mathematische Optimierungsprobleme mit Gleichgewichtsnebenbedingungen', stellen eine spezielle Problemklasse der [[Optimierung (Mathematik)|mathematischen Optimierung]] dar. MPECs sind eng verwandt mit [[Optimale Steuerung|Optimalsteuerungsproblemen]] und zeichnen sich dadurch aus, dass die essentiellen Nebenbedingungen in Form einer Variationsungleichung oder eines äquivalenten Komplementaritätssystems formuliert sind. Zahlreiche Anwendungen finden sich in der Ingenieurswelt oder in der Wirtschaft, wie etwa in der [[Robotik]], in der [[Spieltheorie]] oder in der Berechnung von [[Option (Wirtschaft)|Optionen]].

== Problemformulierung ==

In der Problemklasse der MPECs hängt die zu minimierende Zielfunktion <math>f</math> von zwei Variablen <math>x\in\mathbb{R}^n</math> und <math>y\in\mathbb{R}^m</math> ab. Weiter sei <math>F:\mathbb{R}^{n+m}\rightarrow \mathbb{R}^m,\; Z\subset\mathbb{R}^{n+m}</math> nicht leer und abgeschlossen und <math>C:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathcal{P} \left( \mathbb{R}^m \right)</math> eine mengenwertige Funktion mit konvexen Funktionswerten. Das MPEC in seiner allgemeinsten Form ist definiert durch:

Minimiere <math>f(x,y)</math>, unter der Nebenbedingung
:<math>(x,y)\in Z,\,y\in S(x).</math>
Dabei ist <math>S(x)</math> die Lösungsmenge der Variationsungleichung:
:<math> y\in C(x),\,(v-y)^T F(x,y)\geq 0\;\forall\,v\in C(x).</math>

== Besonderheiten ==

Einige Besonderheiten der Problemklasse der MPECs sind:
* Die Menge der zulässigen Punkte ist nicht notwendigerweise [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]], [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]] oder [[Konvexe Menge|konvex]]. Resultate und Methoden der [[Konvexe Optimierung|konvexen Optimierung]] können daher nicht angewendet werden.
* Das reduzierte Problem ist i. Allg. nicht [[Fréchet-Ableitung|Fréchet-differenzierbar]].
* Klassische [[Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen#Regularitätsvoraussetzungen|constraint Qualifications]] sind nicht erfüllt.
* Es gibt keinen eindeutigen Stationaritätsbegriff (siehe [[Konvexe Optimierung#Notwendige Kriterien|notwendige Optimalitätsbedingungen]]), sondern eine ganze Hierarchie an Konzepten.

== Literatur ==

* Z.-Q. Luo, J.-S. Pang und D. Ralph: ''Mathematical Programs with Equilibrium Constraints''. Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-57290-8.

[[Kategorie:Optimierung]]
[[Kategorie:Abkürzung]]

MPEC - Versionsgeschichte

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