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2025-06-13T13:43:52Z

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Die '''Möbiusfunktion''' (auch '''Möbiussche μ-Funktion''' genannt) ist eine wichtige [[multiplikative Funktion]] in der [[Zahlentheorie]] und der [[Kombinatorik]]. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker [[August Ferdinand Möbius]] benannt, der sie erstmals im Jahr 1831 eingeführt hat. Diese Funktion ist ein Spezialfall der [[Inzidenzalgebra|allgemeiner definierten Möbiusfunktion]] einer [[Halbordnung]], wobei sich die hier zugrunde liegende Halbordnung durch Teilbarkeitsrelationen ergibt.

[[Leonhard Euler]] betrachtete schon im 18. Jahrhundert Reihen mit der Möbiusfunktion in den Koeffizienten, ohne diese explizit zu definieren.<ref>[[William Dunham]]: ''The Early (and Peculiar) History of the Möbius Function.'' In: ''Mathematics Magazine,'' Band 91 (2018), Nr. 2, S. 83–91.</ref>

== Definition ==
Der Wert <math>\mu(n)</math> ist für alle [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>n</math> definiert und nimmt nur Werte aus der Menge <math>\{-1, 0, 1\}</math> an. Die Funktionswerte hängen von der [[Primfaktorzerlegung]] von <math>n</math> ab:
:<math>n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k} \mbox{ mit } k \ge 0,</math>
wobei <math>p_1 \ldots p_k</math> voneinander verschiedene Primzahlen bezeichnen soll. <math>k=0</math> ist als [[leeres Produkt]] und Zerlegung von <math>n=1</math> zu verstehen.

Die Möbiusfunktion wird nun wie folgt definiert:
* <math>\mu(n)=+1</math>, falls n [[quadratfrei]] ist und falls n ein Produkt einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist
* <math>\mu(n)=-1</math>, falls n quadratfrei ist und falls n ein Produkt einer ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist
* <math>\mu(n)=0</math>, falls n nicht quadratfrei ist
Der Funktionswert <math>\mu(0)</math> bleibt undefiniert oder wird auf <math>0</math> gesetzt.

=== Anmerkungen ===
* Eine natürliche Zahl wird als quadratfrei bezeichnet, wenn sie keinen Teiler hat, der das Quadrat einer natürlichen Zahl größer als 1 ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass jede Primzahl in der Primfaktorzerlegung höchstens einmal vorkommt, d. h. <math>e_1=\cdots=e_k=1</math>.
* Die Länge der Primzahlzerlegung bestimmt das Vorzeichen. Bei einer geraden Anzahl von Primfaktoren ist das Vorzeichen positiv.

== Eigenschaften ==
* Die Möbiusfunktion ist das zur [[Konstante Funktion#Eigenschaften, bekannte Funktionen|Eins-Funktion]] [[Inverses Element|inverse Element]] bezüglich der [[Zahlentheoretische Funktion#Faltung|dirichletschen Faltung]].
* Für alle [[Primzahl]]en <math>p</math> gilt <math>\mu(p) = -1</math>.
* <math>\mu</math> ist [[Zahlentheoretische Funktion#Multiplikative Funktionen|multiplikativ]], d. h., <math>\mu(a \cdot b) = \mu(a) \cdot \mu(b)</math> für <math>a</math> und <math>b</math> [[Teilerfremdheit|teilerfremd]].
* Für die [[summatorische Funktion]] der Möbiusfunktion gilt für <math>n \geq 1</math>:
::<math>\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=\begin{cases} 1 & \text{wenn }n=1\\
0 & \text{sonst,}\end{cases}</math>
:wobei die Summe über alle Teiler von <math>n</math> läuft. Hieraus folgt auch die [[Möbiussche Umkehrformel]].
* Aus der Eigenschaft, dass <math>d\mid n</math> und <math>d\mid s</math> [[Logische Äquivalenz|genau dann, wenn]] der [[Größter gemeinsamer Teiler|größte gemeinsamer Teiler]] von <math>n,s</math> geteilt wird, geschrieben <math>d\mid (n,s)</math>, folgt
::<math>\sum\limits_{d\mid n, d\mid s}\mu(d)=\begin{cases} 1 & \text{wenn }(n,s)=1\\
0 & \text{wenn } (n,s)>1.\end{cases}</math>
* Geometrisch gesehen ist <math>\mu(n)</math> die Summe aller primitiven <math>n</math>-ten [[Einheitswurzel]]n.<ref>{{Literatur |Titel=An Introduction to the Theory of Numbers |Autor=[[G. H. Hardy]], [[E. M. Wright]] |Verlag=Oxford University Press |Ort=Oxford |Auflage=5. |Datum=1980 |Seiten=239 |Fundstelle=Gl. 16.6.4 |ISBN=978-0-19-853171-5 |Online=https://archive.org/details/introductiontoth00hard}} [https://blngcc.files.wordpress.com/2008/11/hardy-wright-theory_of_numbers.pdf PDF.]</ref>

== Beispiele und Werte ==
* <math>\mu(7) = -1</math>, da <math>7</math> eine Primzahl ist.
* <math>\mu(66) = (-1)^3 = -1</math>, da <math>66 = 2 \cdot 3 \cdot 11</math>.
* <math>\mu(18) = 0</math>, da <math>18 = 2 \cdot 3^2</math> nicht quadratfrei ist.

Die ersten 20 Werte der Möbiusfunktion lauten ({{OEIS|A008683}}):
{| class="wikitable"
! n
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
| 14
| 15
| 16
| 17
| 18
| 19
| 20
|-
! μ(n)
| 1
| −1
| −1
| 0
| −1
| 1
| −1
| 0
| 0
| 1
| −1
| 0
| −1
| 1
| 1
| 0
| −1
| 0
| −1
| 0
|}

{| class="wikitable"
|<math>\mu(n) = -1</math> || 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, … || ({{OEIS|A030059}})
|-
|<math>\mu(n) = 0</math> || 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, … || ({{OEIS|A013929}})
|-
|<math>\mu(n) = 1</math> || 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, … || ({{OEIS|A030229}})
|}

Abbildung der ersten 50 Werte der Möbiusfunktion:
[[Datei:Moebius mu.svg|Die ersten 50 Werte der Möbiusfunktion]]

== Mertens-Funktion ==

Die nach [[Franz Mertens (Mathematiker)|Franz Mertens]] benannte Mertens-Funktion <math>M</math> stellt eine Summation über die Möbiusfunktion dar:
:<math>M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k)</math>
Dies entspricht der Differenz der Anzahl an quadratfreien Zahlen mit einer geradzahligen Anzahl von Primfaktoren zur Anzahl solcher mit einer ungeradzahligen Anzahl von Primfaktoren bis zur Zahl <math>n</math>. Die Mertens-Funktion oszilliert anscheinend chaotisch.

Nulldurchgänge der Mertens-Funktion finden sich bei:
:2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, … ({{OEIS|A028442 }}).

Vermutungen über das asymptotische Verhalten von Möbius- und Mertensfunktion stehen im Zusammenhang mit der [[Riemannsche Vermutung|Riemannschen Vermutung]], die äquivalent zu folgender Aussage ist: Für alle <math>\varepsilon > 0</math> gilt

:<math>| M(x) | = \left| \sum_{n \leq x} \mu (n) \right| = O\left(x^{\frac {1}{2} + \varepsilon}\right)</math>

unter Verwendung der [[Landau-Symbole]]. Die Aussage

:<math>| M(x) | = \left| \sum_{n \leq x} \mu (n) \right| = o(x)</math>

ist nach [[Edmund Landau]] äquivalent zum [[Primzahlsatz]].<ref>Terence Tao: ''[https://terrytao.wordpress.com/2012/10/14/the-chowla-conjecture-and-the-sarnak-conjecture/ The Chowla conjecture and the Sarnak conjecture.]'' 2012 (Blog von Tao).</ref>

== Chowla- und Sarnak-Vermutung ==
Die [[Chowla-Vermutung]] lässt sich sowohl für die [[Liouville-Funktion]] als auch für die Möbiusfunktion formulieren:

:<math>\sum_{1 \leq n \leq x} \mu (n + h_1)^{a_1} \, \dotsb \, \mu (n + h_k)^{a_k} = o(x)</math>

für beliebige natürliche Zahlen <math>h_i</math> und <math>a_i \geq 0</math>, bei denen nicht alle <math>a_i</math> gerade sind (wobei man sich wegen <math>{\mu (n)}^{a+2} = \mu (n)^a</math> auf <math>a_i = 0, \,1, \,2</math> beschränken kann). <math>o(x)</math> bedeutet asymptotisch verschwindend mit <math>x \to \infty</math> (siehe [[Landau-Symbole]]). Falls nur eine der Zahlen <math>a_i</math> ungerade ist, ist dies äquivalent zum Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen. Ansonsten ist die Vermutung offen.

Eine weitere Vermutung, die das zufällige Verhalten der Vorzeichen der Möbiusfunktion beschreibt, ist die Vermutung von [[Peter Sarnak]]. Sei <math>f(n) \in \mathbb C</math> eine komplexwertige, beschränkte arithmetische Funktion, die deterministisch sei (die topologische Entropie der Folge verschwindet).<ref>Zur Definition siehe den zitierten Blog von Tao. Ist <math>f(n) = f(T^n(x))</math> mit <math>x \in X</math> für einen kompakten metrischen Raum <math>X</math> und einen [[Homöomorphismus]] <math>T</math> von <math>X</math>, die zusammen ein dynamisches System definieren, so entspricht das der üblichen topologischen Entropie des dynamischen Systems.</ref> Dann gilt nach der Sarnak-Vermutung:

:<math>\sum_{n \leq x} f(n) \, \mu (n) = o(x)</math>

Sie ist im Allgemeinen offen, allerdings sind Spezialfälle bekannt. Für eine konstante Folge ist das im Wesentlichen der [[Primzahlsatz]], für periodische Folgen der Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen, für quasiperiodische Folgen folgt das aus einem Satz von [[Harold Davenport]] und für [[Horozyklischer Fluss|Horozyklen-Flüsse]] aus einem Satz von Sarnak, [[Tamar Ziegler]] und [[Jean Bourgain]]. Die Sarnak-Vermutung folgt nach Sarnak aus der Chowla-Vermutung.

== Weitere Anwendungen ==
Die Umformulierung des [[Sieb des Eratosthenes|Siebes des Eratosthenes]] durch [[Adrien-Marie Legendre]] mit Hilfe der Möbiusfunktion und einer zugehörigen, nach Legendre benannten Identität, steht am Anfang der modernen [[Siebtheorie]].

Sie spielt eine Rolle in der Fermionen-Version des [[Toy-Modell]]s zur Interpretation der [[Riemannsche Zetafunktion|Riemannschen Zetafunktion]] beim [[Primonengas]].

== Weblinks ==
* {{MathWorld|MoebiusFunction|Möbius Function}}
* {{MathWorld|MertensFunction|Mertens Function}}

== Literatur ==
* [[Peter Bundschuh]]: ''Einführung in die Zahlentheorie.'' 6. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Mobiusfunktion}}

[[Kategorie:Zahlentheoretische Funktion]]
[[Kategorie:August Ferdinand Möbius]]

Möbiusfunktion - Versionsgeschichte

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