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2023-12-10T20:49:58Z

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{{Begriffsklärungshinweis|Zur Luftlinie beim Entwurf von Leiterplatten siehe [[Leiterplattenentflechtung]].}}

[[Datei:Schutterwald TK.jpg|mini|Die Kirchtürme sind etwa 17,5 km Luftlinie voneinander entfernt und durch eine Staatsgrenze getrennt:<br />vorne rechts die katholische Kirche [[St. Jakobus (Schutterwald)|St. Jakobus]] in [[Schutterwald]] (Deutschland), hinten links das [[Straßburger Münster|Münster]] in [[Straßburg]] (Frankreich)]]
[[Datei:Orthodrome globe.svg|mini|Der kürzeste Weg auf der Erdoberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.]]
[[Datei:2020-10-28 Hoher Schneeberg, Blick von Dresden, Luftlinie ca. 53km.jpg|mini|Früh morgens bei klarer Sicht aufgenommen, der Hohe Schneeberg in der Böhmischen Schweiz. Vom Kamerastandort aus in Dresden sind es Luftlinie ca. 53 km. Gut erkennbar auch der 33 m hohe Schneebergturm. Im Vordergrund sieht man den Schuttberg Leuben (links) und die Antenne auf dem Cottaer Spitzberg (rechts).]]
[[Datei:Erdkrümmung erklärt.webm|mini|Video: Die [[Erdkrümmung]] veranschaulicht am Beispiel der Luftlinie zwischen Konstanz und Bregenz über den Bodensee hinweg]]

Als '''Luftlinie''' bezeichnet man die kürzeste [[Abstand|Entfernung]] zweier [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] in der [[Landschaft]] über den direkten Luftweg, wenn die beiden Punkte in Sichtverbindung liegen. In diesem Fall handelt es sich bei der Luftlinie also um eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] (die gegebenenfalls auch größere Höhenunterschiede im Gelände überwindet, beispielsweise in den Bergen).
Ist die Sichtverbindung durch ein Hindernis, z. B. ein Gebäude oder einen Berg, unterbrochen, so entspricht die Luftlinie der Entfernung zwischen den beiden Punkten, wenn das Hindernis nicht vorhanden wäre.

Bei größeren Entfernungen lässt die Luftlinie die Geländekontur – also Erhebungen, Täler und Höhenunterschiede – unberücksichtigt, bezieht jedoch die [[Kugel]]gestalt der Erde mit ein. In diesem Fall verläuft die Luftlinie „horizontal“ und folgt der Erdkrümmung; mathematisch betrachtet entspricht die Luftlinie hier also einem [[Kreisbogen]], der auf einem [[Großkreis]] um den [[Erdmittelpunkt]] liegt (vergleiche [[sphärische Trigonometrie]]). Bei der [[Zentralprojektion|Projektion]] solcher Strecken auf ebene [[Karte (Kartographie)|Karten]] entstehen im Allgemeinen keine [[Gerade (Geometrie)|Geraden]] mehr, sondern [[Kurve (Mathematik)|Kurven]], die aber immer noch den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten repräsentieren. So verläuft die Luftlinie zwischen New York und Berlin beispielsweise durch Schottland.<ref>[https://www.luftlinie.org/New-York/Berlin Entfernung New-York → Berlin] (luftlinie.org)</ref> In der [[Geometrie]] und der [[Navigation]] spricht man daher präziser von der [[Orthodrome]] statt von einer Luftlinie.<ref>[https://www.duden.de/rechtschreibung/Luftlinie Definition beim Duden]</ref><ref name="Kompf">[https://www.kompf.de/gps/distcalc.html Entfernungsberechnung] bei Kompf.de</ref>

Beim Segeln wird gern der [[Loxodrome]] statt der Orthodrome der Vorzug gegeben: die Loxodrome zeichnet sich dadurch aus, dass sich der Peilwinkel zum Ziel nicht ändert.

Eine [[Kartenprojektion]], bei der Großkreise (und damit die Luftlinien zwischen zwei Punkten) stets als Geraden abgebildet werden, ist die [[gnomonische Projektion]].

== Berechnung für die Erdkugel ==

Die [[Erde]] kann in guter Näherung als eine Kugel betrachtet werden. Zur Vereinfachung kann der Radius der Kugel als Eins angenommen werden. Aus der [[Geographische Breite|geografischen Breite]] <math>\varphi</math> und der [[Geographische Länge|geografischen Länge]] <math>\lambda</math> eines Punktes <math>P</math> errechnen sich die [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] <math>(x,y,z)</math> – mit der <math>z</math>-Achse in Richtung der [[Erdachse]] – mit Hilfe der [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] [[Sinus]] und [[Kosinus]]:

:<math>(x,y,z) = (\cos(\varphi) \cdot \sin(\lambda), \cos(\varphi) \cdot \cos(\lambda), \sin(\varphi))</math>

Ein weiterer Punkt <math>P'</math> auf der Erdkugel hat analog die Koordinaten
:<math>(x',y',z') = (\cos(\varphi') \cdot \sin(\lambda'), \cos(\varphi') \cdot \cos(\lambda'), \sin(\varphi'))</math>

Zunächst kann mit dem [[Satz des Pythagoras]] der [[Euklidischer Abstand|euklidische Abstand]] der beiden Punkte im dreidimensionalen Raum berechnet werden (dies ist ''nicht'' die Luftlinie, sondern die Länge der Strecke, die ''durch'' die Erdkugel führt):

:<math>d(P,P') = \sqrt{ (x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2 }</math>

Zu jedem Punkt dieser Strecke existiert ein [[Lot (Mathematik)|Lot]], das senkrecht auf der Erdoberfläche steht (dort ist ein Punkt der Orthodrome) und folglich durch den Erdmittelpunkt geht. Alle Punkte eines solchen Lotes haben dieselben [[Geographische Koordinaten|geografischen Koordinaten]], aber einen unterschiedlichen Radius (Abstand vom Erdmittelpunkt). Wenn man als Radius jeweils den [[Erdradius]] <math>R</math> verwendet, lassen sich die geografischen Koordinaten zu jedem Punkt der Orthodrome berechnen.

Aus dem Abstand <math>d</math> und dem Erdradius lässt sich nun der Öffnungswinkel <math>\omega</math> berechnen:

:<math>\sin (\omega/2) = \frac{d/2}{R} \qquad \Rightarrow \omega = 2 \cdot \arcsin \left( \frac{d/2}{R} \right)</math>

Alternativ kann der Öffnungswinkel mit dem Skalarprodukt berechnet werden:

:<math>\cos(\omega)=\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| |\vec b|} = \frac{x * x'+ y * y' + z * z'}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}</math>, da <math>|\vec a|= |\vec b|=1</math> vereinfacht sich die Gleichung.

:<math>\Rightarrow \omega=\arccos \left(x * x'+ y * y' + z * z'\right)</math>

Alternativ kann der Öffnungswinkel auch direkt aus den geographischen Koordinaten berechnet werden:

:<math>\cos(\omega) = \cos(\varphi) \cdot \cos(\varphi') \cdot \cos(\lambda - \lambda') + \sin(\varphi) \cdot \sin(\varphi') \qquad \Rightarrow \omega = \arccos \, (\dots)</math>

Die gesuchte Luftlinie <math>L</math> ist als Länge des Bogens nun der Öffnungswinkel im [[Bogenmaß]] multipliziert mit dem Erdradius:

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">L = \omega \cdot R</math>

In gleicher Weise kann auch der scheinbare Abstand im Bogenmaß zweier [[Stern]]e mit gegebener [[Deklination (Astronomie)|Deklination]] und [[Rektaszension]] berechnet werden.<ref name="Kompf" />

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4775126-5}}

[[Kategorie:Topografie]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Luftlinie - Versionsgeschichte

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