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2025-07-27T21:51:44Z

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[[Datei:Lucas number spiral.svg|thumb]]
Unter der '''Lucas-Folge''' versteht man zwei unterschiedliche Dinge:
* Einerseits die Folge der '''Lucas-Zahlen'''
:: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, … ({{OEIS|A000032}})
: bei der jedes Folgenglied (ab dem dritten) die Summe der beiden vorhergehenden ist.
* Andererseits die beiden allgemeinen Lucas-Folgen <math>U_n(P,Q)</math> und <math>V_n(P,Q)</math>, die abhängig von den [[Parameter (Mathematik)|Parametern]] <math>P</math> und <math>Q</math> als diejenigen Folgen definiert sind, die
:: <math>U_0=0,\quad U_1=1</math> bzw. <math>V_0=2,\quad V_1=P</math>
: erfüllen und den [[Rekursion]]sformeln
:: <math>U_n=PU_{n-1}-QU_{n-2}\,</math> bzw. <math>V_n=PV_{n-1}-QV_{n-2}\,</math>
: für <math>n > 1</math> genügen.

Die Lucas-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker [[Édouard Lucas]] benannt, der sich als erster mit ihnen beschäftigt hat.

== Beispiele ==
* Sei <math>P=1</math> und <math>Q=-1</math>. Dann ist <math>U_n(P,Q)=U_n(1,-1)</math> die folgende Folge:
:: <math>U_0=0, U_1=1,</math>
:: <math>U_2=PU_1-QU_0=1 \cdot 1-(-1) \cdot 0=1,</math>
:: <math>U_3=PU_2-QU_1=1 \cdot 1-(-1) \cdot 1=2,</math>
:: <math>U_4=PU_3-QU_2=1 \cdot 2-(-1) \cdot 1=3,</math>
:: <math>U_5=PU_4-QU_3=1 \cdot 3-(-1) \cdot 2=5, \ldots</math>
: Kurz geschrieben erhält man die [[Fibonacci-Folge]]:
:: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, … ({{OEIS| A000045}})
* Sei <math>P=1</math> und <math>Q=-1</math>. Dann ist <math>V_n(P,Q)=V_n(1,-1)</math> die folgende Folge:
:: <math>V_0=2, V_1=P=1,</math>
:: <math>V_2=PV_1-QV_0=1 \cdot 1-(-1) \cdot 2=3,</math>
:: <math>V_3=PV_2-QV_1=1 \cdot 3-(-1) \cdot 1=4,</math>
:: <math>V_4=PV_3-QV_2=1 \cdot 4-(-1) \cdot 3=7,</math>
:: <math>V_5=PV_4-QV_3=1 \cdot 7-(-1) \cdot 4=11, \ldots</math>
: Kurz geschrieben erhält man eine Folge, die man ebenfalls kurz '''spezielle Lucas-Folge''' (oder noch einfacher nur '''Lucas-Folge''') nennt, nämlich:
:: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, … ({{OEIS|A000032}})
: Die einzelnen Zahlen dieser Folge nennt man '''Lucas-Zahlen''', auf die [[#Die spezielle Lucas-Folge|weiter unten]] näher eingegangen wird.
* In einer Tabelle zusammengefasst erhält man für gewisse Startwerte für <math>P</math> und <math>Q</math> die Tabelle im Abschnitt [[#Spezialfälle|Spezialfälle]].

== Explizite Formeln ==
=== Vorbereitung ===
Zur Bestimmung der Folgenglieder der allgemeinen Lucas-Folge muss vorbereitend die zugeordnete ''quadratische Gleichung'' gelöst werden.

Für die expliziten Formeln werden die beiden Lösungen <math>a</math> und <math>b</math> der ''quadratischen Gleichung'' <math>x^2-Px+Q=0\ </math> benötigt. Es sind dies

: <math>a = \frac{P}{2} + \sqrt{ \frac{P^2}{4} - Q} = \frac{P + \sqrt{P^2 - 4Q}}{2}</math>
und
: <math>b = \frac{P}{2} - \sqrt{ \frac{P^2}{4} - Q} = \frac{P - \sqrt{P^2 - 4Q}}{2}</math>

Ist <math>P^2-4Q<0</math>, so ist eine der beiden [[Komplexe Zahl|komplexen]] Wurzeln zu wählen. Welche der beiden Zahlen <math>a</math> und welche <math>b</math> genannt wird, ist hierbei nicht von Belang.

Die Parameter <math>P</math> und <math>Q</math> und die Werte <math>a</math> und <math>b</math> sind voneinander abhängig, es gilt umgekehrt
: <math>P=a+b,\quad Q=a\cdot b.</math> ([[Satz von Vieta]])

Die Formeln für <math>a</math> und <math>b</math> lassen sich in Bezug auf die Potenzen verallgemeinern. Und zwar gilt:

: <math>a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{P^2-4Q}}{2}\,</math>

: <math>b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{P^2-4Q}}{2}\,</math>


=== Die allgemeinen Lucas-Folgen ===

Falls <math>P^2-4Q\ne0</math> gilt, oder äquivalent dazu: falls die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> verschieden sind, so berechnet sich das Glied der allgemeinen Lucas-Folge <math>U_n(P,Q)\ </math> nach folgender Formel:
: <math>U_n(P,Q)=\frac{a^n-b^n}{a-b}</math>
für alle <math>n \ge 0</math>. Im Spezialfall <math>P^2-4Q=0</math> gilt stattdessen
: <math>U_n(P,Q)=na^{n-1}=n\left(\frac P2\right)^{n-1}.</math>

Das Glied der allgemeinen Lucas-Folge <math>V_n(P,Q)\ </math> berechnet sich nach folgender Formel:
: <math>V_n(P,Q)=a^n+b^n\ </math>
für alle <math>n \ge 0</math>

== Beziehungen zwischen den Folgegliedern ==
Eine Auswahl der Beziehungen zwischen den Folgengliedern ist:<ref>Siehe Ribenboim: ''Die Welt der Primzahlen'', S. 44–70.</ref>
* <math>U_{2n} = U_n\cdot V_n\ </math>
* <math>V_n = U_{n+1} - QU_{n-1}\ </math>
* <math>V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n\ </math>
* <math>\operatorname{ggT}(U_m,U_n)=U_{\operatorname{ggT}(m,n)}</math>, falls <math>\operatorname{ggT}(P,Q)=1</math>
* <math>m\mid n\implies U_m\mid U_n</math>; für alle <math>U_m\ne 1</math>

== Spezialfälle ==
Es folgen ein paar Spezialfälle, die zu Folgen führen, die in der Mathematik eine wichtige Rolle spielen und deswegen sogar eigene Namen haben:
{| class="wikitable"
|-
! <math>P</math> || <math>Q</math> || <math>a</math> || <math>b</math> ||<math> U(P,Q) </math> ||<math> V(P,Q) </math>
|-
| <math>1</math> || <math>-1</math> || <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> || <math>\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math> || <math>0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots</math> ({{OEIS|A000045}}) ([[Fibonacci-Folge]]) || <math>2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, \ldots</math> ({{OEIS|A000032}}) ((spezielle) Lucas-Folge)
|-
| <math>1</math> || <math>-2</math> || <math>2</math> || <math>-1</math> || <math> 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, \ldots</math> ({{OEIS|A001045}}) ([[Ernst Jacobsthal|Jacobsthal]]-Folge) || <math> 2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, \ldots</math> ({{OEIS|A014551}}) (Jacobsthal-Lucas-Folge)
|-
| <math>2</math> || <math>-1</math> ||<math>1+\sqrt{2}</math> ||<math>1-\sqrt{2}</math> || <math> 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, \ldots</math> ({{OEIS|A000129}}) ([[Pell-Folge]]) || <math> 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, \ldots</math> ({{OEIS|A002203}}) (Companion Pell-Folge, Pell-Lucas-Folge)
|-
| <math>3</math> || <math>2</math> || <math>2</math> || <math>1</math> || <math> 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, \ldots</math> ({{OEIS|A000225}}) ([[Mersenne-Zahl]]-Folge) || <math> 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, \ldots</math> ({{OEIS|A000051}}) (Zahlen der Form <math>2^n+1</math> (enthalten die [[Fermat-Zahl]]en))
|-
| <math>A</math> || <math>-1</math> ||| <math>\frac{A+\sqrt{A^2+4}}{2}</math> || <math>\frac{A-\sqrt{A^2+4}}{2}</math> || [[Fibonacci-Polynom]]e || [[Lucas-Polynom]]e
|-
| <math>2A</math> || <math>1</math> ||| <math>A+\sqrt{A^2-1}</math> || <math>A-\sqrt{A^2-1}</math> || [[Tschebyschow-Polynom]]e zweiter Art || [[Tschebyschow-Polynom]]e erster Art, mit <math>2</math> multipliziert
|-
| <math>A+1</math> || <math>A</math> ||| <math>A</math> || <math>1</math> || <math>a_i=1+a_{i-1} \cdot A</math> mit <math>a_0=0</math> [[Repunit]]s zur Basis A ||<math>(A^n+1)</math> -Folge
|}
Es gibt aber auch viele weitere Spezialfälle, die zu Folgen führen, die einen [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]-Eintrag haben und somit in der Mathematik ebenfalls eine gewisse Rolle spielen. Es folgen ein paar Beispiele:
{| class="wikitable"
|-
! <math>P</math> || <math>Q</math> || <math>a</math> || <math>b</math> ||<math> U(P,Q) </math> ||<math> V(P,Q) </math>
|-
| <math>1</math> || <math>1</math> ||| || || <math> 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, \ldots</math> ({{OEIS|A128834}}) || <math> 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 1, -1, -2, \ldots</math> ({{OEIS|A087204}})
|-
| <math>1</math> || <math>2</math> ||| || || <math> 0, 1, 1, -1, -3, -1, 5, 7, -3, -17, \ldots</math> ({{OEIS|A107920}}) || <math> 2, 1, -3, -5, 1, 11, 9, -13, -31, -5, \ldots</math> ({{OEIS|A002249}})
|-
| <math>2</math> || <math>1</math> ||| <math>1</math> || <math>1</math> || <math> 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \ldots</math> ({{OEIS|A001477}}) || <math> 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, \ldots</math> ({{OEIS|A007395}})
|-
| <math>2</math> || <math>2</math> ||| || || <math> 0, 1, 2, 2, 0, -4, -8, -8, 0, 16, \ldots</math> ({{OEIS|A009545}}) || <math> 2, 2, 0, -4, -8, -8, 0, 16, 32, 32, \ldots</math> ({{OEIS|A009545}})
|-
| <math>2</math> || <math>3</math> ||| || || <math> 0, 1, 2, 1, -4, -11, -10, 13, 56, 73, \ldots</math> ({{OEIS|A088137}}) || <math> 2, 2, -2, -10, -14, 2, 46, 86, 34, -190, \ldots</math>
|-
| <math>2</math> || <math>4</math> ||| || || <math> 0, 1, 2, 0, -8, -16, 0, 64, 128, 0, \ldots</math> ({{OEIS|A088138}}) || <math> 2, 2, -4, -16, -16, 32, 128, 128, -256, -1024, \ldots</math>
|-
| <math>2</math> || <math>5</math> ||| || || <math> 0, 1, 2, -1, -12, -19, 22, 139, 168, -359, \ldots</math> ({{OEIS|A045873}}) || <math> 2, 2, -6, -22, -14, 82, 234, 58, -1054, -2398, \ldots</math>
|-
| <math>3</math> || <math>-10</math> ||| <math>5</math> || <math>-2</math> || <math> 0, 1, 3, 19, 87, 451, 2223, 11179, 55767, 279091, \ldots</math> ({{OEIS|A015528}}) || <math> 2, 3, 29, 117, 641, 3093, 15689, 77997, 390881, 1952613, \ldots</math>
|-
| <math>3</math> || <math>-5</math> ||| || || <math> 0, 1, 3, 14, 57, 241, 1008, 4229, 17727, 74326, \ldots</math> ({{OEIS|A015523}}) || <math> 2, 3, 19, 72, 311, 1293, 5434, 22767, 95471, 400248, \ldots</math> ({{OEIS|A072263}})
|-
| <math>3</math> || <math>-4</math> ||| <math>4</math> || <math>-1</math> || <math> 0, 1, 3, 13, 51, 205, 819, 3277, 13107, 52429, \ldots</math> ({{OEIS|A015521}}) || <math> 2, 3, 17, 63, 257, 1023, 4097, 16383, 65537, 262143, \ldots</math> ({{OEIS|A201455}})
|-
| <math>3</math> || <math>-3</math> ||| || || <math> 0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, \ldots</math> ({{OEIS|A030195}}) || <math> 2, 3, 15, 54, 207, 783, 2970, 11259, 42687, 161838, \ldots</math> ({{OEIS|A172012}})
|-
| <math>3</math> || <math>-2</math> ||| || || <math> 0, 1, 3, 11, 39, 139, 495, 1763, 6279, 22363, \ldots</math> ({{OEIS|A007482}}) || <math> 2, 3, 13, 45, 161, 573, 2041, 7269, 25889, 92205, \ldots</math> ({{OEIS|A206776}})
|-
| <math>3</math> || <math>-1</math> ||| || || <math> 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, \ldots</math> ({{OEIS|A006190}}) || <math> 2, 3, 11, 36, 119, 393, 1298, 4287, 14159, 46764, \ldots</math> ({{OEIS|A006497}})
|-
| <math>3</math> || <math>1</math> ||| || || <math> 0, 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, 2584, \ldots</math> ({{OEIS|A001906}}) || <math> 2, 3, 7, 18, 47, 123, 322, 843, 2207, 5778, \ldots</math> ({{OEIS|A005248}})
|-
| <math>3</math> || <math>5</math> ||| || || <math> 0, 1, 3, 4, -3, -29, -72, -71, 147, 796, \ldots</math> ({{OEIS|A0190959}}) || <math> 2, 3, -1, -18, -49, -57, 74, 507, 1151, 918, \ldots</math>
|-
| <math>4</math> || <math>-5</math> ||| <math>5</math> || <math>-1</math> || <math> 0, 1, 4, 21, 104, 521, 2604, 13021, 65104, 325521, \ldots</math> ({{OEIS|A015531}}) || <math> 2, 4, 26, 124, 626, 3124, 15626, 78124, 390626, 1953124, \ldots</math> ({{OEIS|A087404}})
|-
| <math>4</math> || <math>-3</math> ||| || || <math> 0, 1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008, 190513, \ldots</math> ({{OEIS|A015530}}) || <math> 2, 4, 22, 100, 466, 2164, 10054, 46708, 216994, 1008100, \ldots</math> ({{OEIS|A080042}})
|-
| <math>4</math> || <math>-2</math> ||| || || <math> 0, 1, 4, 18, 80, 356, 1584, 7048, 31360, 139536, \ldots</math> ({{OEIS|A090017}}) || <math> 2, 4, 20, 88, 392, 1744, 7760, 34528, 153632, 683584, \ldots</math>
|-
| <math>4</math> || <math>-1</math> ||| || || <math> 0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, \ldots</math> ({{OEIS|A001076}}) || <math> 2, 4, 18, 76, 322, 1364, 5778, 24476, 103682, 439204, \ldots</math> ({{OEIS|A014448}})
|-
| <math>4</math> || <math>1</math> ||| || || <math> 0, 1, 4, 15, 56, 209, 780, 2911, 10864, 40545, \ldots</math> ({{OEIS|A001353}}) || <math> 2, 4, 14, 52, 194, 724, 2702, 10084, 37634, 140452, \ldots</math> ({{OEIS|A003500}})
|-
| <math>4</math> || <math>2</math> ||| || || <math> 0, 1, 4, 14, 48, 164, 560, 1912, 6528, 22288, \ldots</math> ({{OEIS|A007070}}) || <math> 2, 4, 12, 40, 136, 464, 1584, 5408, 18464, 63040, \ldots</math> ({{OEIS|A056236}})
|-
| <math>4</math> || <math>3</math> ||| <math>3</math> || <math>1</math> || <math> 0, 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, \ldots</math> ({{OEIS|A003462}}) || <math> 2, 4, 10, 28, 82, 244, 730, 2188, 6562, 19684, \ldots</math> ({{OEIS|A034472}})
|-
| <math>4</math> || <math>4</math> ||| <math>2</math> || <math>2</math> || <math> 0, 1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, \ldots</math> ({{OEIS|A001787}}) || <math> 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, \ldots</math> ({{OEIS|A000079}})
|-
| <math>5</math> || <math>-6</math> ||| <math>6</math> || <math>-1</math> || <math> 0, 1, 5, 31, 185, 1111, 6665, 39991, 239945, 1439671, \ldots</math> ({{OEIS|A015540}}) || <math> 2, 5, 37, 215, 1297, 7775, 46657, 279935, 1679617, 10077695, \ldots</math> ({{OEIS|A0274074}})
|-
| <math>5</math> || <math>-3</math> ||| || || <math> 0, 1, 5, 28, 155, 859, 4760, 26377, 146165, 809956, \ldots</math> ({{OEIS|A015536}}) || <math> 2, 5, 31, 170, 943, 5225, 28954, 160445, 889087, 4926770, \ldots</math>
|-
| <math>5</math> || <math>-2</math> ||| || || <math> 0, 1, 5, 27, 145, 779, 4185, 22483, 120785, 648891, \ldots</math> ({{OEIS|A015535}}) || <math> 2, 5, 29, 155, 833, 4475, 24041, 129155, 693857, 3727595, \ldots</math>
|-
| <math>5</math> || <math>-1</math> ||| || || <math> 0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, \ldots</math> ({{OEIS|A052918}}) || <math> 2, 5, 27, 140, 727, 3775, 19602, 101785, 528527, 2744420, \ldots</math> ({{OEIS|A087130}})
|-
| <math>5</math> || <math>1</math> ||| || || <math> 0, 1, 5, 24, 115, 551, 2640, 12649, 60605, 290376, \ldots</math> ({{OEIS|A004254}}) || <math> 2, 5, 23, 110, 527, 2525, 12098, 57965, 277727, 1330670, \ldots</math> ({{OEIS|A003501}})
|-
| <math>5</math> || <math>4</math> ||| <math>4</math> || <math>1</math> || <math> 0, 1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, \ldots</math> ({{OEIS|A002450}}) || <math> 2, 5, 17, 65, 257, 1025, 4097, 16385, 65537, 262145, \ldots</math> ({{OEIS|A052539}})
|-
| <math>8</math> || <math>-9</math> ||| <math>9</math> || <math>-1</math> || <math> 0, 1, 8, 73, 656, 5905, 53144, 478297, 4304672, 38742049, \ldots</math> ({{OEIS|A015577}}) || <math> 2, 8, 82, 728, 6562, 59048, 531442, 4782968, 43046722, 387420488, \ldots</math>
|}

== Die allgemeinen Lucas-Folgen ''U(P,Q)'', ''V(P,Q)'' und die Primzahlen ==

Die allgemeinen Lucas-Folgen <math>U(P,Q)\,</math> und <math>V(P,Q)\,</math> haben für ganzzahlige Parameter <math>P</math> und <math>Q</math> eine spezielle Eigenschaft hinsichtlich der Teilbarkeit durch Primzahlen. Diese Eigenschaft wurde für Verfahren zur Bestimmung der Primalität einer Zahl angewandt (siehe auch [[Lucas-Lehmer-Test]]).<ref>Siehe das schon angegebene Kapitel im Buch von Ribenboim.</ref>

=== Die Folgen U(P,Q) ===
Für alle Lucas-Folgen <math>U_n(P,Q) = \frac{a^n - b^n}{a-b}</math> gilt:
: Ist ''p'' eine Primzahl, so ist <math>U_p(P,Q)-\left(\frac Dp\right)</math> durch ''p'' teilbar.
Dabei ist <math>\left(\frac Dp\right)</math> das [[Legendre-Symbol]].

Es existieren auch zusammengesetzte Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. Diese Zahlen nennt man '''Lucas-Pseudoprimzahlen'''.

=== Die Folgen V(P,Q) ===
Für alle Lucas-Folgen <math>V_n(P,Q) = a^n + b^n\ </math> gilt:
: Ist ''p'' eine Primzahl, so ist <math>V_p(P,Q) - P\ </math> durch <math>p</math> teilbar.
Eine [[zusammengesetzte Zahl]], die diese Bedingung (im Fall von <math>P > 0</math> und <math>Q = \pm 1</math>) erfüllt, heißt '''Fibonacci-Pseudoprimzahl'''.

Besonders interessant ist die Teilbarkeitsbedingung für die Folge <math>V_n(3,2) = a^n + b^n = 2^n+1\ </math>. Für diese Folge gilt nämlich:
: Wenn <math>n</math> eine Primzahl ist, dann gilt: <math>n</math> teilt <math>2^n+1-3 = 2^n-2\ </math>.
Dies ist eine spezielle Form des [[Kleiner Fermatscher Satz|kleinen Fermatschen Satz]].

Analog zu <math>a^p \equiv a \mod p</math> gilt hier <math>V_p(a+1,a) \equiv V_1(a+1,a) \mod p</math>.

== Die spezielle Lucas-Folge ==

Die allgemein als Lucas-Folge bekannte Folge <math>L_n</math> der Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … lässt sich außer durch die Rekursion <math>L_n = L_{n-1} + L_{n-2}</math> mit den Anfangswerten <math>L_0 = 2</math> und <math>L_1 = 1</math> auch wie folgt erzeugen:

# Wie im allgemeinen Fall für die Folgen <math>V_n</math> erwähnt, über die Formel von Binet (nach [[Jacques Philippe Marie Binet]]):
#: <math>L_n = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n</math>, da <math>a= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> und <math>b= \frac{1 - \sqrt{5}}{2}</math> gilt. ''a'' ist übrigens die [[Goldener Schnitt|goldene Zahl]] <math>\Phi</math>.
# Eine andere rekursive Formel (mit [[Gaußklammer]]):
#: <math>L_{n+1} = \left\lfloor\frac{L_n(1+\sqrt{5})+1}{2}\right\rfloor</math>
# Als Summe zweier Glieder der [[Fibonacci-Folge]]:
#: <math>L_n = f_{n-1} + f_{n+1}\ </math> .

Nach 1) lässt sich alternativ auch <math>L_n = \Phi^n + (1 - \Phi)^n</math> schreiben. Da für <math>n > 1</math> der Betrag von <math>(1 - \Phi)^n</math> stets kleiner 0,5 ist, ergibt sich die Eigenschaft, dass die <math>n</math>-te (<math>n > 1</math>) Lucaszahl dem gerundeten Wert der Golden Zahl zur Potenz <math>n</math> entspricht: <math>L_n = \left\lfloor{\Phi^n + \frac12}\right\rfloor</math>.

=== Reziproke Reihe ===

Der Grenzwert der absolut konvergierenden reziproken Reihe spezieller Lucas-Zahlen
* <math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac {1}{L_{2^n}} </math>
ist [[irrational]].<ref>Paulo Ribenboim: ''Meine Zahlen, meine Freunde: Glanzlichter der Zahlentheorie.'' Springer-Lehrbuch, 2009, ISBN 978-3-540-87955-8, S. 323.</ref>

=== {{anker|Lucas-Primzahlen}} Lucas-Primzahlen ===
Eine '''Lucas-Primzahl''' ist eine Lucas-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Lucas-Primzahlen lauten:
: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371, 5600748293801, 688846502588399, 32361122672259149, 412670427844921037470771, … ({{OEIS|A005479}})
Für diese Lucas-Primzahlen ist der Index <math>n</math> von <math>L_n</math> der folgende:
: 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, 10691, 12251, 13963, 14449, 19469, 35449, 36779, 44507, 51169, 56003, 81671, 89849, 94823, 140057, 148091, 159521, 183089, 193201, 202667, 344293, 387433, 443609, 532277, 574219, 616787, 631181, 637751, 651821, 692147, 901657, 1051849, … ({{OEIS|A001606}})
:: '''Beispiel:'''
::: Es ist <math>L_6=18</math> und <math>L_5=11</math>. Somit ist <math>L_7=L_6+L_5=18+11=29 \in \mathbb P</math> eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index <math>n=7</math> in obiger Liste an der 5. Stelle auf, weil er zur fünftkleinsten Lucas-Primzahl <math>L_7=29</math> führt.
Es gelten folgende zwei Eigenschaften für Lucas-Primzahlen:
* Wenn <math>L_n</math> eine Primzahl ist, dann ist der Index <math>n</math> entweder gleich <math>0</math> oder eine selbst Primzahl oder eine [[Zweierpotenz]].<ref name="PrimePages">
{{Internetquelle
| url = https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=LucasPrime
| titel = Lucas prime
| hrsg = Prime Pages
| sprache = englisch
| autor = Chris K. Caldwell
| zugriff = 2020-03-01
}}
</ref>
* <math>L_{2^m}</math> ist eine Primzahl für <math>m \in \{ 1,2,3,4 \}</math>. Für keine anderen ''bekannten'' Werte von <math>m</math> erhält man weitere Primzahlen.
Es wird [[Vermutung (Mathematik)|vermutet]], dass es unendlich viele Lucas-Primzahlen gibt.<ref name="PrimePages" />

== Zusammenhang zur Artinschen Konstante ==

Die Artinsche Konstante, benannt nach Emil Artin, ist definiert durch
:<math> C_{\mathrm{Artin}} = \prod_{p \ \text{Primzahl}} \left( 1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) = \left( 1 - \frac{1}{2 \cdot 1}\right)\left( 1 - \frac{1}{3 \cdot 2}\right)\left( 1 - \frac{1}{5 \cdot 4}\right) \cdots = 0{,}3739558136\ldots .</math>
Dabei bezeichnet <math>\textstyle \prod</math> das [[Produktsymbol]], wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt. Die Konstante <math>C_{\mathrm{Artin}}</math> taucht in einer tiefen Vermutung von Artin über die asymptotische [[Dichte (Mathematik)|Dichte]] von [[Primzahl]]en, die [[Primitivwurzel]]n zu einer gegebenen Zahl sind, auf.<ref>S. R. Finch: ''Mathematical Constants'', Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, 2003, S. 104.</ref> Eine Primitivwurzel zu einer Primzahl <math>p</math> ist eine ganze Zahl, deren Potenzen, bis auf Vielfache von <math>p</math>, alle Zahlen zwischen <math>1 \leq n \leq p-1</math> erzeugen können. Zum Beispiel ist <math>3</math> eine Primitivwurzel bezüglich <math>p = 5</math>, denn die ersten echten Potenzen der <math>3</math> sind <math>3, 9, 27, 81</math> und bis auf Vielfache von <math>5</math> entspricht dies den Zahlen <math>3, 4, 2, 1</math>. Die Artinsche Vermutung besagt, grob gesprochen, dass zu festem <math>a</math> die Menge der Primzahlen, so dass <math>a</math> eine Primitivwurzel zu <math>p</math> ist, die asymptotische Dichte <math>C_{\mathrm{Artin}}</math> innerhalb aller Primzahlen hat. Also haben ca. 37 % der Primzahlen diese Eigenschaft, unabhängig von <math>a</math>. Jedoch muss <math>a</math> dafür bestimmte Voraussetzungen erfüllen.

Bezeichnet <math>L_n</math> die <math>n</math>-te [[Lucas-Zahl]], so gilt die Formel
:<math> C_{\mathrm{Artin}} = \prod_{n=2}^\infty \zeta(n)^{-\frac1n \sum_{k|n} L_k \mu\left( \frac{n}{k}\right)} = \frac{1}{\zeta(2)\zeta(3)\zeta(4)\zeta(5)^2 \zeta(6)^2 \zeta(7)^4 \zeta(8)^5 \zeta(9)^8 \cdots}.</math>
Dabei bedeutet <math>k|n</math> in der Summe, dass <math>k>0</math> die Zahl <math>n</math> [[Teilbarkeit|teilt]], und es ist <math>\mu</math> die [[Möbiusfunktion]] sowie <math>\zeta</math> die [[Riemannsche Zeta-Funktion]].<ref>S. R. Finch: ''Mathematical Constants'', Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, 2003, S. 105.</ref>

== Siehe auch ==
* [[lineare Differenzengleichung]]

== Literatur ==
* [[Paulo Ribenboim]]: ''Die Welt der Primzahlen''. Springer Verlag, 1996

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=LucasNumber |title=Lucas Number}}
* {{MathWorld |id=LucasSequence |title=Lucas Sequence}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Folge ganzer Zahlen]]
[[Kategorie:Ganzzahlmenge]]
[[Kategorie:Primzahl]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Lucas-Folge - Versionsgeschichte

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