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{{DISPLAYTITLE:''L''''p''-Raum}}
Die '''<math>L^p</math>-Räume''', auch '''Lebesgue-Räume''', sind in der [[Mathematik]] spezielle [[Vektorraum|Räume]], die aus allen '''Funktionen''' bestehen, deren <math>p</math>-te Potenz '''Lebesgue-integrierbar''' ist. Das <math>L</math> in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker [[Henri Léon Lebesgue]] zurück, da diese Räume über das [[Lebesgue-Integral]] definiert werden. Im Fall [[Banachraum]]-wertiger Funktionen (wie im Folgenden allgemein für Vektorräume <math>E</math> dargestellt) bezeichnet man sie auch als '''Bochner-Lebesgue-Räume'''.<ref>''Bochner-Integral.'' In: Guido Walz (Red.): ''Lexikon der Mathematik.'' Band 3: ''Inp bis Mon.'' Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim u. a. 2001, ISBN 3-8274-0435-5.</ref> Das <math>p</math> in der Bezeichnung ist ein reeller Parameter: Für jede Zahl <math>0 ist ein <math>L^p</math>-Raum definiert. In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] wird Konvergenz in zu einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] definierten <math>L^p</math>-Räumen als [[Konvergenz im p-ten Mittel|Konvergenz im ''p''-ten Mittel]] bezeichnet.

== Definition ==
{{Anker|Halbnorm}}
=== ''Lp'' mit Halbnorm ===
Sei <math>(\Omega, \mathcal A, \mu)</math> ein [[Maßraum]], <math>\mathbb{K} \in \{\, \R, \Complex \,\}</math> und <math>0 . Dann ist die folgende Menge ein [[Vektorraum]]:
:<math>
\mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal{A}, \mu)
:= \left\{
f\colon \Omega \to \mathbb{K}
\;\Bigg|\; f \mathrm{\ ist\ messbar},\, \int_\Omega |f(x)|^p \,\mathrm{d}\mu(x) < \infty
\right\} \mathrm{.}
</math>
Die durch
:<math>\begin{align}
\|\cdot\|_{\mathcal{L}^p}\colon \mathcal{L}^p
&\longrightarrow \R \\
f
&\longmapsto \left( \int_\Omega |f(x)|^p \,\mathrm{d}\mu(x) \right)^\frac{1}{p}
\end{align}</math>
gegebene Abbildung ist für alle <math>p \geq 1</math> eine [[Halbnorm]] auf <math>\mathcal{L}^p</math>. Die [[Dreiecksungleichung]] für diese Halbnorm wird [[Minkowski-Ungleichung]] genannt und kann mit Hilfe der [[Hölder-Ungleichung]] bewiesen werden.

Genau dann ist <math>\|\cdot\|_{\mathcal{L}^p}</math> eine Norm auf <math>\mathcal{L}^p</math>, wenn die leere Menge die einzige [[Nullmenge]] in <math>\mathcal{A}</math> ist. Gibt es nämlich eine Nullmenge <math>N\neq\emptyset</math>, so ist die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] <math>1_N</math> ungleich der [[Nullfunktion]], aber es gilt <math>\left\| 1_N \right\|_{\mathcal{L}^p} = 0</math>.

=== ''Lp'' mit Norm ===
Um auch im Fall einer Halbnorm <math>\|\cdot\|_{{\mathcal L}^p}</math> zu einem [[Normierter Raum|normierten Raum]] zu kommen, identifiziert man Funktionen miteinander, wenn sie [[fast überall]] gleich sind. Formal bedeutet das: Man betrachtet den (von <math>p \geq 1</math> unabhängigen) [[Untervektorraum]]
:<math>\mathcal{N}
:= \{\,
f \in \mathcal{L}^p
\mid \|f\|_{\mathcal{L}^p} = 0
\,\}
= \{\,
f \in \mathcal{L}^p
\mid f = 0 ~ \mu\text{-fast }\mathrm{\ddot{u}berall}
\,\}</math>
und definiert den Raum <math>L^p</math> als den [[Faktorraum]] <math>\mathcal{L}^p/\mathcal{N}</math>. Zwei Elemente von <math>[f], [g]\in L^p</math> sind also genau dann gleich, wenn <math>f - g \in \mathcal{N}</math> gilt, also wenn <math>f</math> und <math>g</math> fast überall gleich sind.

Der Vektorraum <math>L^p</math> ist durch <math>\|[f]\|_{L^p} := \|f\|_{\mathcal{L}^p}</math> normiert. Die Normdefinition hängt nicht von dem Repräsentanten aus <math>[f]</math> ab, das heißt, für Funktionen <math>f_1,f_2\in[f]</math> in der gleichen Äquivalenzklasse gilt <math>\|f_1\|_{\mathcal{L}^p}=\|f_2\|_{\mathcal{L}^p}</math>. Das begründet sich damit, dass das Lebesgue-Integral invariant gegenüber Änderungen des Integranden auf Nullmengen ist.

Der normierte Vektorraum <math>L^p</math> ist [[vollständiger Raum|vollständig]] und damit ein [[Banachraum]], die Norm <math>\| \cdot \|_{L^p}</math> wird [[Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''Lp''-Norm]] genannt.

Auch wenn man von sogenannten <math>L^p</math>-Funktionen spricht, handelt es sich dabei um die gesamte Äquivalenzklasse einer klassischen Funktion. Allerdings liegen im Falle des Lebesgue-Maßes auf dem <math>\mathbb{R}^n</math> zwei verschiedene stetige Funktionen nie in der gleichen [[Äquivalenzklasse]], so dass der <math>L^p</math>-Begriff eine natürliche Erweiterung des Begriffs stetiger Funktionen darstellt.

{{Anker|Sonderfallp∞}}

=== {{Anker|Sonderfall}} Sonderfall ''p'' = <math>\infty</math> ===
Auch für <math>p=\infty</math> kann man mithilfe des [[Wesentliches Supremum|wesentlichen Supremums]] (in Zeichen: <math>\operatorname{ess~sup}</math>) einen <math>L^p</math>-Raum definieren, den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die aber für [[Maß (Mathematik)|σ-endliche]] [[Maßraum|Maßräume]] alle zusammenfallen. Am verbreitetsten ist:
:<math>\mathcal{L}^\infty (\Omega, \mathcal{A}, \mu)
:= \left\{\,
f \colon \Omega \to \mathbb{K}
\mid f \mathrm{\ ist\,messbar},\, \|f\|_{\mathcal{L}^\infty} < \infty
\,\right\} \mathrm{;}</math>
dabei ist
:<math> \|f\|_{\mathcal{L}^\infty}
:= \operatorname{ess~sup}_{x \in \Omega} |f(x)|
= \inf_{N \in \mathcal{A} \atop \mu(N) = 0} \sup_{x \in \Omega \setminus N} |f(x)| \mathrm{.}</math>
Betrachtet man analog zu oben <math>L^\infty := \mathcal{L}^\infty / \mathcal{N}</math>, erhält man wieder einen Banachraum.

== Beispiele ==
=== Lebesgue-Räume bezüglich des Lebesgue-Maßes ===
Ein sehr wichtiges Beispiel von <math>L^p</math>-Räumen ist durch einen Maßraum <math>\Omega\subset\R^n</math> gegeben, <math>\mathcal{A}</math> ist dann die [[borelsche σ-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\Omega)</math>, und <math>\mu</math> das [[Lebesgue-Maß]] <math>\lambda</math>. In diesem Zusammenhang wird die kürzere Notation <math>L^p(\Omega):=L^p(\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\lambda)</math> benutzt.

=== Der Folgenraum ℓ''p'' ===
{{Hauptartikel|Folgenraum}}

Betrachtet man den [[Maßraum]] <math>(\N, \mathcal A, \mu)</math>, wobei hier also <math>\Omega</math> als die Menge <math>\N</math> der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]], <math>\mathcal A = \mathcal{P}(\N)</math> deren [[Potenzmenge]] und <math>\mu</math> als das [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]] gewählt wurde, dann besteht der Raum <math>L^p(\N, \mathcal A, \mu)</math> aus allen [[Folge (Mathematik)|Folgen]] <math>\left(x_n\right)_{n \in \N} \in \mathbb{K}^\N</math> mit
:<math>\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p < \infty</math>
für <math>0 < p<\infty</math> bzw.
:<math>\sup_{n\in\N}|x_n| < \infty</math>
für <math>p=\infty</math>.

Dieser Raum wird mit <math>\ell^p</math> bezeichnet. Die Grenzfälle <math>\ell^1</math> und <math>\ell^\infty</math> sind der Raum der absolut summierbaren Zahlenfolgen und der Raum der beschränkten Zahlenfolgen. Für alle <math>1\leq p\leq q\leq\infty</math> gilt <math>\ell^p\subseteq\ell^q</math>.

=== Allgemeiner ℓ''p''-Raum ===
Völlig analog kann man zu einer beliebigen Indexmenge <math>I</math> den Maßraum mit dem Zählmaß betrachten. In diesem Fall nennt man den <math>L^p</math>-Raum <math>\ell^p(I)</math>, es gilt
:<math>\ell^p (I)
= \left\{\,
\left(x_i\right)_{i \in I} \in \mathbb{K}^I
\;\Bigg|\; \sum_{i \in I} |x_i|^p < \infty
\,\right\}</math>,
wobei die Konvergenz der Summe implizieren möge, dass nur abzählbar viele Summanden ungleich null sind (''siehe auch [[unbedingte Konvergenz]]'').
Ist die Menge <math>I</math> abzählbar unendlich, so ist ein solcher Raum isomorph zum oben definierten Folgenraum <math>\ell^p</math>. Im Falle einer überabzählbaren Indexmenge kann man den Raum <math>\ell^p(I)</math> als [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen]] [[Filtrierter Kolimes|direkten Limes]] von <math>\ell^p</math>-Folgenräumen auffassen.<ref>Rafael Dahmen, Gábor Lukács: ''Long colimits of topological groups I: Continuous maps and homeomorphisms.'' in: ''Topology and its Applications'' Nr. 270, 2020. Example 2.14 </ref>

=== Sobolev-Räume quadratintegrierbarer Funktionen ===
Wählt man <math>\Omega = \R^n</math>, <math>\mathcal{A} = \mathcal{B}\left(\R^n\right)</math> als die [[borelsche σ-Algebra]] und <math>\mu = \left(1 + \left\|\xi\right\|^2\right)^{\frac{s}{2}} \lambda</math>, wobei <math>s\in\R</math> und <math>\lambda</math> das <math>n</math>-dimensionale [[Borel-Lebesgue-Maß]] ist, dann erhält man den Maßraum <math>\left(\R^n,\mathcal{B}\left(\R^n\right),\left(1 + \left\|\xi\right\|^2\right)^{\frac{s}{2}} \lambda\right)</math>. Der Lebesgue-Raum <math>L^2\left(\R^n,\mathcal{B}\left(\R^n\right),\left(1 + \left\|\xi\right\|^2\right)^{\frac{s}{2}} \lambda\right)</math> der bezüglich dieses Maßes quadratintegrierbaren Funktionen ist ein echter Unterraum des Raums <math>\mathcal{S}'</math> der [[Temperierte Distribution|temperierten Distributionen]]. Er wird unter der [[Fourier-Transformation]] <math>\mathcal{F}</math> bijektiv auf den Raum [[Sobolev-Raum#Sobolev-Raum reellwertiger Ordnung|<math>H^s\left(\R^n\right)</math> der quadratintegrierbaren Sobolev-Funktionen]] zur Differentiationsordnung <math>s</math>, ebenfalls ein echter Unterraum von <math>\mathcal{S}'</math>, abgebildet. Dabei überführt die Fourier-Transformation die entsprechenden Normen ineinander:
:<math>\left\|\mathcal{F}\left(f\right)\right\|_{H^s\left(\R^n\right)} = \left\|f\right\|_{L^2\left(\R^n,\mathcal{B}\left(\R^n\right),\left(1 + \left\|\xi\right\|^2\right)^{\frac{s}{2}} \lambda\right)}</math>
Für <math>s \ge 0</math> sind obige Räume dichte Teilräume von <math>L^2\left(\R^n,\mathcal{B}\left(\R^n\right),\lambda\right)</math>, sodass man in diesem Fall auch die Fourier-Transformation auf <math>L^2\left(\R^n,\mathcal{B}\left(\R^n\right),\lambda\right)</math> statt auf <math>\mathcal{S}'</math> betrachten kann.

== Wichtige Eigenschaften ==
=== Vollständigkeit ===
Nach dem [[Satz von Fischer-Riesz]] sind die <math>L^p</math>-Räume vollständig für alle <math>1\le p \le \infty</math>, also [[Banachraum|Banachräume]].

=== Einbettungen ===
Ist <math>\mu</math> ein endliches Maß, gilt also <math>\mu(\Omega)<\infty</math>, so gilt <math>L^q\subseteq L^p\;</math> für <math>1\leq p \leq q</math> (folgt aus der [[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel#Ungleichung der verallgemeinerten Mittel|Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte]])

Für allgemeine Maße gilt für <math>1<p\leq q\leq r\leq\infty</math> stets <math>\mathcal{L}^q\supseteq\mathcal{L}^p\cap\mathcal{L}^r</math>. Dies wird auch als ''konvexe'' oder ''Hölder-Interpolation'' bezeichnet.

=== Dichtheit und Separabilität ===
Sei <math>\left(\Omega, \mathcal{A}\right)</math> ein [[Separable σ-Algebra|separabler Messraum]], <math>\mu</math> ein Maß auf <math>\left(\Omega, \mathcal{A}\right)</math> und <math>1 \le p < \infty </math>, dann ist <math>L^p\left(\Omega, \mathcal{A}, \mu\right)</math> [[Separabler Raum|separabel]].<ref>[[Haïm Brezis]]: ''Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.'' Springer New York, New York NY 2010, ISBN 978-0-387-70913-0, Theorem 4.13.</ref> Der Raum <math>L^\infty\left(\Omega\right)</math> ist hingegen im Allgemeinen nicht separabel.

Sei <math>\Omega \subset \R^n</math> [[Offene Menge|offen]]. Für <math> 1 \leq p < \infty</math> liegt der [[Testfunktionenraum]] <math>C_c^\infty(\Omega)</math> [[Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>L^p(\Omega)</math>.<ref>[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Lemma V.1.10.</ref>

=== Kompaktheit ===
Der [[Satz von Kolmogorow-Riesz]] beschreibt [[präkompakt]]e bzw. [[Kompakter Raum|kompakte Mengen]] in Lp-Räumen.

=== Dualräume und Reflexivität ===
{{Hauptartikel|Dualität von Lp-Räumen}}
Für <math>1 sind die [[Dualraum|Dualräume]] der <math>L^p</math>-Räume wieder Lebesgue-Räume. Konkret gilt
:<math>L^p(\Omega,\mathcal A,\mu)' \cong L^q(\Omega, \mathcal A, \mu),</math>

worin <math>q</math> durch <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} =1 </math> definiert ist, außerdem ist der kanonische, [[Isometrie|isometrische]] [[Isomorphismus]]
:<math>L^q(\Omega, \mathcal A, \mu)\to L^p(\Omega,\mathcal A, \mu)'</math>

gegeben durch
:<math>f \mapsto \left(
g \mapsto \int_\Omega g(\omega)f(\omega) \,\mathrm{d}\mu(\omega)
\right) \mathrm{.}</math>

Daraus folgt, dass für <math>1 die <math>L^p</math>-Räume [[Reflexiver Raum|reflexiv]] sind.

Für <math>p=1</math> ist <math>L^1(\Omega, \mathcal A, \mu)'</math> zu <math>L^\infty(\Omega, \mathcal A, \mu)</math> isomorph (der Isomorphismus analog zu oben), falls <math>(\Omega, \mathcal A, \mu)</math> [[σ-Endlichkeit|σ-endlich]] oder allgemeiner [[Lokalisierbarer Maßraum|lokalisierbar]] ist. Ist <math>(\Omega, \mathcal A, \mu)</math> nicht <math>\sigma</math>-endlich, so lässt sich <math>L^1(\Omega, \mathcal A, \mu)'</math> (wieder unter demselben Isomorphismus) als der Banachraum der [[Lokale Messbarkeit|lokal messbaren]] lokal im Wesentlichen beschränkten Funktionen darstellen.

Die Räume <math>L^1</math> und <math>L^\infty</math> sind nicht reflexiv.

== Der Hilbertraum ''L''2 ==
=== Definition ===

Der Raum <math>L^2</math> hat eine besondere Rolle unter den <math>L^p</math>-Räumen. Dieser ist nämlich selbst-dual und lässt sich als einziger mit einem [[Skalarprodukt]] versehen und wird somit zu einem [[Hilbertraum]]. Sei dazu wie oben <math>(\Omega, \mathcal A, \mu)</math> ein Maßraum, <math>(H, \langle\cdot,\cdot\rangle_H)</math> ein Hilbertraum (häufig <math>\mathbb C</math> mit dem Skalarprodukt <math>\langle w,z\rangle = \overline wz</math>) und
:<math>f\, ,g\in L^2(\Omega, \mathcal{A}, \mu;H)</math>.

Dann definiert
:<math>\langle f, g \rangle_{L^2 (\Omega, \mathcal{A}, \mu; H)}
:= \int_\Omega {\langle f(x), g(x) \rangle}_H \,\mathrm{d}\mu(x)</math>
ein Skalarprodukt auf <math>L^2</math>. Die von diesem Skalarprodukt [[Skalarproduktnorm|induzierte Norm]] ist die oben definierte <math>L^p</math>-Norm mit <math>p = 2</math>

:<math> \|f\|_{L^2 (\Omega, \mathcal{A}, \mu; H)}
= \sqrt{\int_\Omega \|f(x)\|_H^2 \,\mathrm{d}\mu(x)}
= \sqrt{\int_\Omega {\langle f(x), f(x) \rangle}_H \,\mathrm{d}\mu(x)}
\mathrm{.}</math>
Da diese Funktionen der Norm nach zum Quadrat integrierbar sind, werden die <math>L^2</math>-Funktionen auch ''quadratintegrierbare'' bzw. ''quadratisch integrierbare Funktionen'' genannt. Handelt es sich hierbei speziell um die [[Folgenraum|Elemente des Folgenraums]] <math>\ell^2</math>, so spricht man in der Regel von den ''quadratisch summierbaren [[Folge (Mathematik)|Folgen]]''. Dieser Hilbertraum spielt eine besondere Rolle in der [[Quantenmechanik]].

=== Beispiel ===
Die Funktion <math>f \colon [1,+\infty] \to \R</math>, welche durch <math>\textstyle x \mapsto \frac{1}{x}</math> definiert ist, ist eine <math>L^2</math>-Funktion mit <math>L^2</math>-Norm:
:<math>
\left( \int_1^\infty \left| \frac{1}{x} \right|^2 \,\mathrm{d} x \right)^\frac{1}{2}
= \left( \int_1^\infty x^{-2} \,\mathrm{d} x \right)^\frac{1}{2}
= \left( \lim_{b\to\infty} \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_1^b \right)^\frac{1}{2}
= \left( \lim_{b\to\infty} -\frac{1}{b} + 1 \right)^\frac{1}{2}
= 1
< \infty
</math>
Die Funktion ist aber keine <math>L^1</math>-Funktion, weil
:<math>
\int_1^\infty \left| \frac{1}{x} \right|^1 \,\mathrm{d} x
= \int_1^\infty \frac{1}{x} \,\mathrm{d} x
= \lim_{b\to\infty} \left[ \ln(x) \right]_1^b
= \lim_{b\to\infty} \ln(b)
= \infty \mathrm{.}
</math>
Andere Beispiele für <math>L^2</math>-Funktionen sind die [[Schwartz-Raum|Schwartz-Funktionen]].

=== Erweiterter Hilbertraum ===
Wie weiter oben schon erwähnt, sind die <math>L^p</math>-Räume vollständig. Also ist der Raum <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt wirklich ein Hilbertraum. Der [[Schwartz-Raum|Raum der Schwartz-Funktionen]] <math>\mathcal{S}(\R^n)</math> und der [[Testfunktion|Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger]] (ein Teilraum des Schwartz-Raums) <math>\mathcal{D}(\R^n)</math> liegen [[Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>L^2(\R^n).</math> Daher erhält man die Inklusionen
:<math>\mathcal{S}(\R^n) \subset L^2(\R^n) \hookrightarrow \mathcal{S}'(\R^n)</math>
und
:<math>\mathcal{D}(\R^n) \subset L^2(\R^n) \hookrightarrow \mathcal{D}'(\R^n).</math>
Dabei wird mit <math>'</math> der entsprechende [[Dualraum|topologische Dualraum]] bezeichnet, insbesondere heißt <math>\mathcal{D}'(\R^n)</math> Raum der [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] und <math>\mathcal{S}'(\R^n)</math> Raum der [[Temperierte Distribution|temperierten Distributionen]]. Die Paare
:<math>(\mathcal{S}(\R^n), L^2(\R^n))</math> und <math>(\mathcal{D}(\R^n), L^2(\R^n))</math>

sind Beispiele für [[Erweiterter Hilbertraum|erweiterte Hilberträume]].

== Bochner-Lebesgue-Räume ==
Die Bochner-Lebesgue-Räume sind eine Verallgemeinerung der bisher betrachteten Lebesgue-Räume. Sie umfassen im Gegensatz zu den Lebesgue-Räumen banachraumwertige Funktionen.

=== Definition ===
Sei <math>(E,\|{\cdot}\|)</math> ein [[Banachraum]] und <math>(\Omega, \mathcal A, \mu)</math> ein [[Maßraum]]. Für <math>0 definiert man
:<math>\mathcal{L}^p (\Omega, \mathcal{A}, \mu; E, \|\cdot\|)
:= \left\{\,
f \colon \Omega \to E
\;\Bigg|\; f \mathrm{\ ist\ messbar},\, \int_\Omega \|f(x)\|^p \,\mathrm{d}\mu(x) < \infty
\,\right\}</math>,
wobei sich „messbar“ auf die [[borelsche σ-Algebra#Die borelsche σ-Algebra auf einem metrischen Raum|borelsche σ-Algebra]] der [[Normtopologie]] von <math>E</math> bezieht. Das Integral wird auch [[Bochner-Integral]] genannt. Die Abbildung
:<math> \|f\|_{\mathcal{L}^p}
:= \left( \int_\Omega \|f(x)\|^p \,\mathrm{d}\mu(x) \right)^\frac{1}{p}</math>
ist ebenfalls eine [[Halbnorm]] auf <math>\mathcal{L}^p</math>, wenn <math>1\le p</math> gilt. Die Bochner-Lebesgue-Räume <math>L^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E, \|\cdot\|) </math> sind nun genauso wie die Lebesgue-Räume als Faktorraum definiert.

=== Eigenschaften ===
Für die Bochner-Lebesgue-Räume gelten ebenfalls die Aussagen, die unter [[#Wichtige Eigenschaften|Eigenschaften]] aufgeführt sind. Nur bei den Dualräumen gibt es einen Unterschied. Für alle <math>1 gilt nämlich
:<math>L^p(\Omega,\mathcal A,\mu; E)' \cong L^q(\Omega, \mathcal A, \mu; E'),</math>
wobei <math>q</math> durch <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} =1 </math> definiert ist und <math>E'</math> den Dualraum von <math>E</math> bezeichnet. Entsprechend sind Bochner-Lebesgue-Räume nur dann reflexiv, wenn der Banachraum <math>E</math> reflexiv ist.<ref>Joseph Diestel, John J. Uhl: ''Vector measures'' (= ''Mathematical Surveys and Monographs.'' Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Seiten 98, 82.</ref> Ebenso sind die Bochner-Lebesgue-Räume nur separabel, wenn der Zielraum <math>E</math> separabel ist.

=== Beispiel: Zufallsvariable ===
In der [[Stochastik]] betrachtet man <math>L^p</math>-Räume, die mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> ausgestattet sind. Unter einer [[Zufallsvariable]] versteht man dann eine messbare Funktion <math>X\colon\Omega\rightarrow K</math>. Weiter ist der [[Erwartungswert]] für [[Quasiintegrierbare Zufallsvariable|quasiintegrierbare]] <math>X</math> als
:<math>E(X) := \int_\Omega X \,\mathrm{d}P \in K</math>
definiert. Zufallsvariablen, die <math>L^1</math>-Funktionen sind, besitzen also einen endlichen Erwartungswert. Des Weiteren sind Zufallsvariablen genau dann in <math>L^2</math>, wenn man ihnen eine [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] zuweisen kann. Da das für praktische Anwendungen häufig gefordert ist, sind <math>L^p</math>-Räume gerade in der Stochastik wichtig.

== Den Lebesgue-Räumen verwandte Räume ==
Oftmals betrachtet man auch <math>L^p</math>-Funktionen für <math>p < 1.</math> Außerdem werden in der Funktionalanalysis die Sobolev-Räume und die Hardy-Räume untersucht, welche man als Spezialfälle der <math>L^p</math>-Räume verstehen kann und in der [[Differentialgeometrie]] gibt es auf Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung der <math>L^p</math>-Räume.

=== ''Lp'' für ''p'' < 1 ===
[[Datei:Astroid.svg|miniatur|Ein Kreis bzgl. [[p-Norm#Fall p < 1|(2/3)-Quasinorm]] in zwei Dimensionen, d. h. in <math>L^{\frac{2}{3}}\left(\left\{0,1\right\},\mathcal{P}\left(\left\{0,1\right\}\right),\mu\right)</math>, mit <math>\mu</math> Zählmaß, ist eine [[Astroide]]. Die Kreisscheibe ist nicht [[konvexe Menge|konvex]].]]

Es gibt auch die Verallgemeinerung der <math>L^p</math>-Räume <math>L^p\left(X,\mathcal{A},\mu\right)</math> bzw. <math>L^p\left(X,\mathcal{A},\mu;E\right)</math> für <math>0 . Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert. Immerhin sind diese Räume [[Vollständiger Raum|vollständige]] [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]]<ref name="Elstrodt">{{Literatur | Autor=[[Jürgen Elstrodt]] | Titel=Maß- und Integrationstheorie | Verlag=Springer Verlag | Ort=Berlin, Heidelberg | Auflage=6. | Jahr=2009 | ISBN=978-3-540-89727-9 | Kapitel=Kapitel 6 | Seiten=223–225, 229–234, 263, 268}}</ref><ref>{{Literatur | Autor=Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]] | Titel=Analysis. ''Band 3'' | Verlag=Birkhäuser Verlag | Auflage = 2. | Ort=Basel u. a. | Jahr=2008 | ISBN=978-3-7643-8883-6 | Kapitel=Kapitel X: Integrationstheorie, Aufgabe 13 | Seiten=131}}</ref> mit der [[Quasinorm]]
:<math>\begin{align}
N_p\colon L^p \left(X, \mathcal{A}, \mu \right) &\longrightarrow \R \\
f &\longmapsto \left( \int_X \| f \|^p \,\mathrm{d}\mu \right)^\frac{1}{p}
\end{align}
</math>
bzw. der [[Pseudonorm]] oder [[Fréchet-Metrik]]
:<math>\begin{align}
\varrho_p\colon L^p \left( X, \mathcal{A}, \mu \right) &\longrightarrow \R \\
f &\longmapsto (N_p (f))^p = \int_X \| f \|^p \,\mathrm{d}\mu
\end{align}
</math>
oder der [[Translationsinvarianz|translationsinvarianten]] [[Metrischer Raum|Metrik]]
:<math>\begin{align}
d_p\colon L^p \left( X, \mathcal{A}, \mu \right) \times L^p \left( X, \mathcal{A}, \mu \right)
&\longrightarrow \R \\
(f, g)
&\longmapsto \varrho_p (f - g) = \int_X \| f - g \|^p \,\mathrm{d}\mu \mathrm{.}
\end{align}</math>
Für die Quasinorm wird die [[Dreiecksungleichung]] abgeschwächt, die [[positive Homogenität]] bleibt erhalten:
:<math>
N_p (f + g) \leq 2^{\frac{1}{p} - 1} \cdot (N_p (f) + N_p (g)),
\quad N_p (\lambda f)
= |\lambda| N_p (f) \mathrm{.}
</math>
Für die Fréchet-Metrik wird hingegen die positive Homogenität abgeschwächt, die Dreiecksungleichung bleibt erhalten:
:<math>
\begin{align}
\varrho_p (f + g) &\leq \varrho_p (f) + \varrho_p (g), \\
\varrho_p (\lambda f) &= |\lambda|^p \cdot \varrho_p (f) \stackrel{|\lambda| \leq 1}{\leq} |\lambda| \varrho_p (f), \\
\varrho_p (-f) &= \varrho_p (f) \mathrm{.}
\end{align}

</math>

Diese Räume sind im Allgemeinen nicht [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvex]], der [[Satz von Hahn-Banach]] also im Allgemeinen nicht anwendbar, sodass es möglicherweise „sehr wenige“ lineare stetige Funktionale gibt. Insbesondere ist nicht gesichert, dass die [[schwache Topologie]] auf <math>L^p\left(X,\mathcal{A},\mu\right)</math> Punkte [[Trennungseigenschaft|trennen]] kann. Ein derartiges Beispiel liefert <math>L^p([\, 0, 1 \,])</math> mit <math>(L^p ([\, 0, 1 \,]))' = \{\, 0 \,\}</math><ref name="Elstrodt" /><ref>{{Literatur | Autor=[[Walter Rudin]] | Titel=Functional Analysis | Verlag=McGraw-Hill | Auflage = 2. | Ort=New York | Jahr=1991 | ISBN=0-07-054236-8 | Seiten=36–37}}</ref><ref>{{Literatur | Autor=[[Hans Wilhelm Alt]] | Titel=Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung | Verlag=Springer-Verlag | Auflage = 6. | Ort=Berlin, Heidelberg | Jahr=2012 | ISBN=978-3-642-22260-3 | Kapitel=Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11 | Seiten=140}}</ref>.

{{Siehe auch|Dualität von Lp-Räumen#Der Fall 0 < p < 1|titel1=Abschnitt „Der Fall 0 < p < 1“ in Dualität von Lp-Räumen}}

=== Raum der lokal integrierbaren Funktionen ===
{{Hauptartikel|Lokal integrierbare Funktion}}

Eine lokal integrierbare Funktion ist eine messbare Funktion, die nicht notwendigerweise auf ihrem kompletten Definitionsbereich integrierbar sein muss, jedoch muss sie für jedes [[Kompakter_Raum|Kompaktum]], das im Definitionsbereich enthalten ist, integrierbar sein. Sei also <math>\Omega \subset \R^n</math> offen. Dann heißt eine Funktion <math>f</math> lokal integrierbar, falls für jedes Kompaktum <math>K \subset \Omega</math> das [[Lebesgue-Integral]]

:<math>p_K (f) := \int_K |f(x)| \,\mathrm{d} x < \infty</math>

endlich ist. Die Menge dieser Funktionen wird mit <math>\mathcal{L}^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)</math> bezeichnet. Analog zu den <math>\mathcal{L}^p</math>-Räumen bildet man auch hier Äquivalenzklassen von Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, und erhält dann den Raum <math>L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)</math> als Faktorraum. Mit der Familie aller Halbnormen <math>p_K</math> (für kompakte Mengen <math>K \subset \Omega</math>) wird dieser zu einem [[Hausdorff-Raum|hausdorffschen]], [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen]] und [[Vollständiger Raum#Uniforme Räume|vollständigen]] [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]]; durch Auswahl abzählbar vieler Kompakta, die <math>\Omega</math> geeignet approximieren, sogar ein [[Fréchet-Raum]]. Dieser Raum kann als Raum der [[Reguläre Distribution|regulären Distributionen]] verstanden werden und lässt sich daher stetig in den Raum der [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] einbetten. Analog zu <math>L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)</math> lassen sich auch die Räume <math>L^p_{\operatorname{loc}}(\Omega)</math> der lokal p-integrierbaren Funktionen definieren.

=== Sobolev-Räume ===
{{Hauptartikel|Sobolev-Raum}}

Neben den schon angeführten Sobolev-Räumen mit quadratintegrierbaren Funktionen, gibt es noch weitere Sobolev-Räume. Diese werden mithilfe der [[schwache Ableitung|schwachen Ableitungen]] definiert und umfassen <math>p</math>-integrierbare Funktionen. Verwendet werden diese Räume insbesondere zur Untersuchung von [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]].

=== Hardy-Räume ===
{{Hauptartikel|Hardy-Raum}}
Untersucht man statt der messbaren Funktionen nur die [[holomorphe Funktion|holomorphen]] beziehungsweise die [[harmonische Funktion|harmonischen]] Funktionen auf Integrierbarkeit, so werden die entsprechenden <math>L^p</math>-Räume Hardy-Räume genannt.

=== Lebesgue-Räume auf Mannigfaltigkeiten ===
Auf einer abstrakten differenzierbaren [[Mannigfaltigkeit]], die nicht in einen euklidischen Raum eingebettet ist, existiert zwar kein kanonisches Maß und somit kann man keine <math>L^p</math>-Funktionen definieren. Es ist aber trotzdem möglich, ein Analogon zum <math>L^p</math>-Raum zu definieren, indem man statt Funktionen auf der Mannigfaltigkeit sogenannte 1-Dichten untersucht. Weitere Informationen sind im Artikel [[Dichtebündel]] zu finden.

== Quellen ==
* Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis.'' Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Normierter Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]

Lp-Raum - Versionsgeschichte

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