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2024-12-01T09:04:18Z

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[[Datei:LoxodromeConstAngle.svg|mini|Die Loxodrome von A nach B schneidet alle Meridiane im konstanten Winkel <math>\eta</math>]]

Eine '''Loxodrome''' (von [[Griechische Sprache|griechisch]] ''loxos'' „schief“, und ''dromos'' „Lauf“) ist eine [[Weg (Mathematik)|Kurve]] auf einer [[Kugeloberfläche]] – z. B. der [[Erdoberfläche]] –, die die [[Meridian (Geographie)|Meridiane]] im [[Geographische Koordinaten|geographischen Koordinatensystem]] immer unter dem gleichen [[Winkel]] schneidet und daher auch ''Kursgleiche'', ''Winkelgleiche'' oder ''Kurve konstanten Kurses'' genannt wird.

Allgemeiner gibt es zu jedem [[Rotationskörper]] Loxodromen als Kurven konstanten Kurses. Die Loxodromen der Kugel heißen speziell ''Kugelloxodromen'', Loxodromen eines Zylinders sind ''[[Helix|Schraubenlinien]]'', die des Kegels sind ''[[konische Spirale]]n'' ''(konische Helizes)''.

Loxodromen wurden um 1550 von [[Pedro Nunes]] entdeckt, der Name stammt von [[Willebrord Snell]] (1624).

== Eigenschaften ==
Außer in Spezialfällen, Schnittwinkel 0° und 90° mit den Meridianen, sind Loxodromen nicht geschlossen. Sie winden sich spiralförmig um die Erde herum und nähern sich dabei den Polen an. Im strengen Sinn erreicht eine Loxodrome zwar nach einer endlichen Strecke nie den Pol, nähert sich ihm jedoch [[Asymptote|asymptotisch]] an, indem sie sich unendlich oft um ihn windet. In Polnähe hat eine Loxodrome also lokal die Eigenschaften einer (ebenen) [[Spirale]], in Äquatornähe dagegen Eigenschaften einer [[Helix]] (räumliche Wendel).

Beim Spezialfall eines Schnittwinkels mit einem Meridian von 0° ist die Loxodrome selbst ein Meridian und somit ein [[Großkreis]], der durch die [[Pol (Geographie)|Pole]] geht. Das ist der einzige Fall einer Loxodrome, die den Pol erreicht. Daraus ergibt sich im Umkehrschluss: Da einzig und allein die Loxodromen mit 0° den [[Nordpol]] erreichen, starten umgekehrt vom Nordpol auch nur Loxodromen mit 180°. Vom geographischen Nordpol aus kommt man also nur in Richtung 180° weg – allerdings ist die Kursangabe 180° am Nordpol nicht definiert: Man könnte sich mit diesem Kurs vom Nordpol aus auf jedem Meridian bewegen. Lediglich die Ankunft am Südpol wird damit garantiert. In der praktischen Navigation wird dieses Problem umgangen, indem in hohen Breitengraden nach der [[Gitternavigation]] (engl. ''grid navigation'') mit polarstereographischen Karten gearbeitet wird.

Beim zweiten Spezialfall – Schnittwinkel 90° – ist die Loxodrome ebenfalls geschlossen, sie bildet einen [[Breitenkreis]] (Breitenparallel), ist also im Allgemeinen kein Großkreis. Der einzige Breitenkreis, der ein Großkreis ist, ist der [[Äquator]], also diejenige Loxodrome, auf der die [[geographische Breite]] konstant 0° beträgt.

Projektionen:
* In der [[Kartografie]] werden auf Karten in der [[Mercator-Projektion]] die Loxodromen als gerade Linien abgebildet. Darauf beruht der Nutzen der Mercatorkarte für die praktische Navigation.
* In einer [[Stereografische Projektion|stereografischen Projektion]] wird die Kurve zu einer [[Logarithmische Spirale|logarithmischen Spirale]]
* In einer [[Orthografische Azimutalprojektion|orthografischen Azimutalprojektion]] (Parallelriss entlang der [[Erdachse]]) entsteht eine [[Poinsotsche Spirale]]

<gallery>
Bild:KUGSPI-9_Loxodrome.gif|Animation einer Loxodrome
Bild:Loxodrome-3.gif|Loxodrome am Pol
Bild:Loxodrome-1.gif|Loxodrome am Äquator
</gallery>

== Berechnung ==
Die Formel der Loxodrome (der [[Steigungswinkel]] in der Projektion) leitet sich aus der erwähnten Eigenschaft der Mercatorprojektion her, Loxodromen als Geraden abzubilden.

* die [[Geographische Länge|Länge]] wird mit <math>\lambda</math>
* die [[Geographische Breite|Breite]] mit <math>\phi</math> bezeichnet
In Richtung Westen ist <math>\lambda</math> negativ, Richtung Osten positiv; <math>\phi</math> ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel. Beide Winkel werden hier mathematisch im [[Bogenmaß]] verwendet, nicht in [[Grad (Winkel)|Grad]]
* der Richtungswinkel <math>\eta</math> ist eine konstante [[Peilung]] in Richtung wahrer Norden, der [[Steigungswinkel]] in der Mercatorprojektion, mit der Steigung <math>k = \cot(\eta)</math>

=== In Raumkoordinaten ===
Sei <math>\lambda</math> die Längenkoordinate eines beliebigen Punktes der Loxodrome (wobei <math>\lambda</math> nicht auf <math>\lbrack 0,\, 2 \pi \lbrack</math> beschränkt ist).

In der Mercatorprojektion ist die Kurve eine [[Gerade]]:
:<math>x=\lambda, y = k \lambda</math>
Für einen Punkt der Breite <math>\phi</math> und Länge <math>\lambda</math> gilt aufgrund der Abbildungvorschrift der Mercatorprojektion
:<math>x= \lambda, \ y=\operatorname {artanh} (\sin \phi)</math>

Für die Breite des Punkts ergibt sich also <math>\phi=\arcsin (\tanh(k \lambda))</math>
oder, als [[Gudermannfunktion]] ''gd'' ausgedrückt, <math>\phi=\operatorname{gd}(k \lambda)</math><br />
In [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]], mit <math>r</math> als [[Kugel|Radius einer Kugel]]:
:<math>\begin{align}
x &= \frac {r \cos \lambda } {\cosh(k \lambda)} &&= r \cos \lambda \cos \left( \frac {1} {\tan (k \lambda)} \right) \\
y &= \frac {r \sin \lambda } {\cosh(k \lambda)} &&= r \sin \lambda \cos \left( \frac {1} {\tan (k \lambda)} \right) \\
z &= r \tanh(k \lambda) &&= - r \sin \left( \frac {1} {\tan (k \lambda)} \right)
\end{align}</math>

Diese Kurve geht bei geographischer Länge <math>0</math> durch den Äquator, für beliebige Lagen <math>\lambda_0</math> des Äquatordurchgangs ist <math>y = k (\lambda - \lambda_0)</math>, und in den obigen Formeln ist der Ausdruck <math>( k \lambda )</math> entsprechend zu ersetzen.

=== In der Mercatorprojektion ===
[[Bild:Rhumbs and great circles on Mercator.svg|mini|Loxodrome (rot) und [[Orthodrome]] (blau) in Mercatorkarte, mit Weglängen in Kilometern.<br>
{|class="wikitable"
! Weg || Lox. || Orth. || Diff.
|-
| NY-MO || 8359 km || 7511 km || 10,1 %
|-
| NY-DA || 6207 km || 6150 km || {{0}}0,9 %
|-
| DA-MO || 6596 km || 6509 km || {{0}}1,3 %
|}]]

In der Luft- und insbesondere der Seefahrt kann es günstig sein, entlang einer Loxodrome zu reisen, da man dann immer nur einer Peilung ([[Kompass]]<nowiki/>richtung) folgen muss. Zwar ist die Strecke der Loxodrome immer länger als die der [[Orthodrome]] (nur wenn die Loxodrome auf einem Großkreis liegt, können sie gleich lang sein) – dafür muss man aber nicht ständig einen neuen [[Kurswinkel]] berechnen. Auf kürzeren Strecken ist die Navigation auf der Loxodrome nur unwesentlich länger als die Navigation auf der Orthodrome. Im Flugverkehr hingegen werden [[Lamberts winkeltreue Kegelprojektion]]en verwendet.

Die Mercatorprojektion bildet einen Punkt mit den Koordinaten <math>\, (\phi,\lambda)</math> auf die ebenen Koordinaten <math>(X,Y)</math> ab, wobei:
:<math>X = M_X(\lambda) = \lambda</math>
:<math>Y = M_Y(\phi) = \ln \tan \left(\frac {\phi} {2} + \frac {\pi} {4} \right) = \operatorname{arcgd} (\phi)</math>
: mit der inversen Gudermannfunktion.

Durch die Mercatorprojektion zweier Punkte <math>A = (\phi_A, \lambda_A)</math> und <math>B = (\phi_B, \lambda_B)</math> entsteht in der Projektionsebene ein [[rechtwinkliges Dreieck]] mit <math>\overline{(X_A,Y_A),(X_B,Y_B)}</math> als Hypotenuse und dem [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] bei <math>(X_B,Y_A)</math>. Für den Winkel <math>\, \varphi</math> bei <math>(X_A,Y_A)</math> ergibt sich:
:<math>\tan \varphi = \frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A} = \frac{M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A)}{\lambda_B-\lambda_A} . </math>

Unter Verwendung der zweistelligen Funktion <math>\, \varphi(x,y) , </math> die zu den kartesischen Koordinaten <math>\, (x,y)</math> den Winkel der [[Polarkoordinaten]]darstellung liefert und als [[arctan2]]- oder atan2-Funktion in vielen Programmiersprachen zur Verfügung steht, erhält man:
:<math>\varphi = \varphi\bigl(\lambda_B-\lambda_A , \; M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A) \bigr) = \varphi\left( \lambda_B-\lambda_A , \; \ln \frac{\tan (\frac {\phi_B} {2} + \frac {\pi} {4})}{\tan (\frac {\phi_A} {2} + \frac {\pi} {4})} \right) . </math>

Der Richtungswinkel <math> \,\eta</math> der Loxodrome, der von Nord über Ost im Uhrzeigersinn berechnet wird, ist dann:
:<math>\eta = \frac{\pi}{2} - \varphi</math>

Die Strecke, die man – innerhalb der Mercatorkarte – zwischen Punkt A und B auf der Loxodrome zurücklegt, beträgt:
:<math>l = \sqrt { (\phi_B - \phi_A)^2 + \Big(M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A)\Big)^2 \cdot (\lambda_B - \lambda_A)^2 }</math>

Zu beachten ist, dass dies nur die ''kürzeste'' Loxodrome ist, wenn <math>\lambda_B - \lambda_A < \pi</math> gilt, sie also in Westrichtung weiter voneinander entfernt sind als in Ostrichtung, im anderen Falle ist das nur der zweitbeste Weg. Außerdem lässt sich zwischen zwei beliebigen Punkten (außer den Polen) immer eine beliebige Anzahl an Loxodromen finden, die dann einmal oder mehrmals die Kugel (Erde) umrunden. Für diese Fälle ist in der anfänglichen Gleichung für <math> Y = M_Y(\phi)</math> ein anderer Nebenwert des [[Tangens]] zu wählen. In der Mercatorprojektion wandert der Graph dabei über den rechten oder linken Rand hinaus und erscheint auf der anderen Seite wieder.

== Literatur ==
* [[Manfred Leppig]]: ''Analytische Geometrie der Großkreise und Loxodromen.'' 1970.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Loxodrome}}
* [https://www.mcescher.com/gallery/recognition-success/sphere-spirals/ Escher-Bild einer Loxodrome] ([[M. C. Escher]], 1958)
* [https://terrestrialnavigation.com/RoutePlanning/Route Ausführliche Grosskreisberechnung durch Loxodromen Segmente und Routenplaner (Loxodrome) für das praktische Segeln]

[[Kategorie:Geolokation]]
[[Kategorie:Mathematische Geographie]]
[[Kategorie:Navigation]]

Loxodrome - Versionsgeschichte

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