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'''Low-Density-Parity-Check-Codes''', auch als '''LDPC''' oder '''Gallager-Codes''' bezeichnet, sind [[Linearer Code|lineare Blockcodes]] zur [[Vorwärtsfehlerkorrektur]]. Sie wurden 1962 von [[Robert Gray Gallager]] im Rahmen seiner Dissertation am [[Massachusetts Institute of Technology|MIT]] entwickelt<ref>Robert G. Gallager: {{Webarchiv|url=http://www.sps.ele.tue.nl/members/F.M.J.Willems/TEACHING_files/5p340/ldpc/itjan62.pdf |wayback=20070316184924 |text=''Low-Density Parity-Check Codes''. }} (PDF; 1,1 MB) in ''IRE Transactions on Information Theory'', Seiten 21 bis 28, 1962</ref><ref>Robert G. Gallager: [http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/gallager/papers/ldpc.ps ''Low-Density Parity-Check Codes''.] – 1963</ref>.

Low-Density-Parity-Check-Codes beschreiben mit Hilfe einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] viele zusammenhängende [[Paritätsprüfung]]en. Es wird dabei das Prinzip einer [[Prüfmatrix|Kontrollmatrix]] angewandt: <math>H\cdot b^T= 0</math>, wobei <math>H</math> die Kontrollmatrix (parity-check matrix) und <math>b</math> die Folge der empfangenen Codesymbole (repräsentiert als Zeilenvektor) darstellt. H ist nur [[Dünnbesetzte Matrix|dünn besetzt]] (daher die Bezeichnung '''low-density''').

Nachdem sie lange vergessen waren, erlebten sie eine Renaissance, als [[Rüdiger Urbanke]] und [[Thomas J. Richardson]] 2001 zeigten, dass sie nahe der [[Shannon-Hartley-Gesetz|Shannon-Grenze]] operieren konnten und als irreguläre LDPC effizient implementiert werden konnten. Zu den irregulären LDPC gehören die [[Tornado Code]]s für [[Erasure Coding]] ([[Michael Luby]], [[Michael Mitzenmacher]], [[Daniel A. Spielman]], [[Amin Shokrollahi]] 2001).

== Notation ==
<math>(n,l,R)\;\text{LDPC}</math>
* <math>n</math> = Codewortlänge
* <math>k</math> = Anzahl der Paritätsbits
* <math>l</math> = Anzahl an Informationsstellen
* <math>R</math> = [[Coderate]]

== Begriffsdefinition ==
* <math>a^*</math> oder <math>a_l</math> Quellcodewort (Infowort)
* <math>a_k</math> redundanter Teil des Kanalcodewortes
* <math>a</math> Kanalcodewort
* <math>b</math> Empfangsfolge
* <math>H</math> Kontrollmatrix

== Reguläre und nicht reguläre Codes ==
Wichtige Kennzeichen des LDPC-Codes sind die Anzahl der 1-Bits pro Zeile (<math>w_r</math>) sowie die 1-Bits pro Spalte (<math>w_c</math>) in der Kontrollmatrix <math>H</math>.
Für diese Kennzeichen gilt:

<math>w_r \ll n </math> sowie <math>w_c \ll k </math>

Ist <math>w_r</math> konstant für alle Zeilen und <math>w_c</math> konstant für alle Spalten von <math>H</math>, so wird dieser Code regulär genannt.

Für einen regulären LDPC-Code gilt <math> w_r = w_c \cdot (l+k)/k </math>.

Variiert die Anzahl der Einsen, handelt es sich um einen irregulären Code. Typischerweise sind irreguläre LDPC-Code leistungsfähiger als reguläre.

== Codierung ==
Es gilt eine zu sendende Folge <math>a</math> zu finden, die der Gleichung <math> H\cdot a^T = 0 </math> genügt.

Eine mögliche Form der Codierung funktioniert folgendermaßen: Das Kanalcodewort <math>a</math> ist zusammengesetzt aus den zu sendenden Daten <math>a_l</math> (welche bekannt sind) und dem redundanten Teil <math>a_k</math>. Da <math>a</math> oben genannte Formel erfüllen muss, muss <math>a_k</math> entsprechend berechnet werden:

* Sei <math> a=[a_k,a_l] </math> und <math>H=[H_k,H_l]</math>
* Es soll gelten: <math>[H_k,H_l]*[a_k,a_l]^T=0</math>
* Dies kann umgeformt werden: <math>[H_k][a_k] = [H_l][a_l]</math>
* Daraus ergibt sich '''<math>a_k^T=H_k^{-1}\cdot H_l\cdot a_l</math>'''

In Worten ausgedrückt muss dabei der invertierte quadratische – der erste – Teil ''Hk'' der Kontrollmatrix mit dem verbleibenden Rest ''Hl'' der Kontrollmatrix und den zu sendenden Daten ''al'' multipliziert werden.

== Decodierung ==
Hierbei gilt es ebenso, das Problem <math> H\cdot b^T = 0</math> zu lösen. Hierzu werden häufig iterative [[Graph (Graphentheorie)|Graph]]-basierte Algorithmen gewählt. Nach der Übertragung des Kanalcodewortes <math>a</math> über einen Übertragungskanal, z. B. einen [[Additives weißes gaußsches Rauschen|AWGN]]-Kanal (additives weißes [[Carl Friedrich Gauß|gaußsches]] [[Rauschen (Physik)|Rauschen]]), wird in der Regel das Wort <math>b_M</math>, bestehend aus reellen Werten, empfangen. Aus diesen wird, im Regelfall mit Hilfe eines iterativen Verfahrens, eine Näherungslösung berechnet. Durch die Gleichungsmatrix H werden N Gleichungen vorgegeben; jede dieser Gleichungen erlaubt es, unabhängige Informationen zu den enthaltenen Elementen zu berechnen. Nun werden diese Informationen in den anderen Gleichungsberechnungen wiederverwendet. Zu beachten ist dabei, dass die Informationen, die mit einer Gleichung berechnet wurden, in der nächsten Iteration vor der erneuten Berechnung entfernt werden müssen.

== Konstruktion von LDPC-Codes ==
LDPC-Codes werden durch ihre Kontrollmatrix H beschrieben. Einen LDPC-Code zu entwickeln heißt also, eine geeignete Kontrollmatrix zu finden oder zu konstruieren. Die zum Erstellen von Codewörtern benötigte Generatormatrix G kann mit Hilfe des [[Gauß-Jordan-Algorithmus|Gauß-Jordan Verfahrens]] aus H hergeleitet werden. Zur Generierung von Kontrollmatrizen eignen sich u. a. die folgenden Verfahren, welche teilweise darauf basieren, die Kontrollmatrix als [[Tanner-Graph]]<ref>Jian Sun: {{Webarchiv | url=http://www.csee.wvu.edu/wcrl/public/slideldpc.pdf | wayback=20120113064035 | text=''An Introduction to Low Density Parity Check (LDPC) Codes''}}</ref> zu versinnbildlichen und diesen unter Zuhilfenahme verschiedener Algorithmen zu bearbeiten:

* [[Progressive Edge Growth]] (PEG)<ref>Alex Balatsoukas-Stimming: {{Webarchiv|url=http://www.telecom.tuc.gr/~alex/lectures/lecture8.pdf |wayback=20121030123356 |text=''The Progressive Edge Growth Algorithm'' }} (PDF; 261 kB)</ref><ref>David MacKay: [http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/PEG_ECC.html ''C – Implementierung des PEG Algorithmus für LDPC Codes'']</ref>
* Konstruktion nach [[David J. C. MacKay]] und Radford M. Neal<ref>[http://read.pudn.com/downloads53/sourcecode/math/184643/matlab-LDPC/Low%20Density%20Parity%20Check%20Codes/Design%20and%20Implementation%20of%20Low%20Density%20Parity%20Check%20Codes.pdf ''Design and Implementation of LDPC Codes''] (PDF; 255 kB)</ref>
* Zufällige Konstruktion der Kontrollmatrix<ref name="ldpcdesign" />

Um die Anzahl der in der Matrix vorkommenden Einsen verhältnismäßig gering zu halten, können auch noch sogenannte Row Splitting und Column Splitting Algorithmen eingesetzt werden.<ref name="ldpcdesign">[https://www.ii.uib.no/~eirik/INF244/Lectures/Lecture19.pdf ''Design of LDPC Codes''] (PDF; 563 kB)</ref>

Im LDPC-Code können die Paritätsprüfungen als [[Dünnbesetzte Matrix|dünnbesetzte]] Paritätsprüfmatrix mit <math>n </math> Spalten und <math>n - k </math> Zeilen ausgedrückt werden. Das heißt, dass die Anzahl der Elemente 1 viel geringer ist als die Anzahl der Elemente 0. Es gibt drei Parameter, die die dünnbesetzte Paritätsprüfungsmatrix definieren, nämlich '''<math>n</math>''', '''<math>w_c</math>''' und '''<math>w_r</math>'''. Dort ist '''<math>n</math>''' die Länge des Codeworts, '''<math>w_c</math>''' die Anzahl der Elemente 1 in jeder Spalte und '''<math>w_r</math>''' die Anzahl der Elemente 1 in jeder Zeile. Damit die Matrix als ''dünnbesetzt'' bezeichnet wird, muss <math>w_c \ll n \cdot (n - k) </math> und <math>w_r \ll n \cdot (n - k) </math> gelten. Damit diese Bedingungen erfüllt sind, muss die Paritätsprüfmatrix sehr groß sein.

Es gibt reguläre und irreguläre Paritätsprüfungsmatrixen. Eine Paritätsprüfungsmatrix ist regelmäßig, wenn die Anzahl '''<math>w_c</math>''' der Elemente 1 in jeder Spalte und die Anzahl '''<math>w_r</math>''' der Elemente 1 in jeder Zeile gleich ist. Wenn diese Anzahlen nicht gleich sind, ist die Paritätsprüfungsmatrix irregulär. Für reguläre Matrizen ist die Dekodierung weniger komplex.

Jede Spalte der Matrix <math>H </math> repräsentiert einen ''Bitknoten'' und jede Zeile der Matrix <math>H </math> repräsentiert einen ''Kontrollknoten''. Bitknoten geben die Elemente des Codesworts an. Kontrollknoten geben die Bedingungen der Paritätsprüfung an. Jede 1 zeigt an, dass es eine Verbindung ([[Kante (Graphentheorie)|Kante]]) zwischen dem Bitknoten und dem Kontrollknoten gibt. Ein Beispiel Paritätsprüfungsmatrix mit '''<math>n = 8</math>''', '''<math>w_c = 2</math>''' und '''<math>w_r = 4</math>''' ist<ref>Saumya Borwankar, Dhruv Shah, Institute of technology, Nirma University: [https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/2009/2009.08645.pdf Low Density Parity Check Code (LDPC Codes) Overview]</ref>

<math>H =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}</math>

== Tanner-Graphen ==
LDPC-Codes können auch mit [[Bipartiter Graph|bipartiten Graphen]] dargestellt werden. Weil bei LDPC-Codes nur sehr wenige Bits beteiligt sind, ergibt sich auf diese Weise eine einfache und elegante Darstellung, die sogenannten Tanner-Graphen. Dabei werden die Elemente der zwei Mengen in unterschiedliche Klassen von [[Knoten (Graphentheorie)|Knoten]] eingeteilt, wobei Verbindungen nur Knoten aus unterschiedlichen Klassen mit [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] verbunden werden. Diese zwei Klassen von Knoten werden in einem Tanner-Graph als ''Bitknoten'' und ''Kontrollknoten'' bezeichnet. Von einem Kontrollknoten führen Kanten, entsprechend der zugehörigen Prüfgleichung, zu allen Bitknoten.

Jeder Bitknoten repräsentiert also eine Bitstelle im Codewort, während jeder Kontrollknoten für eine Paritätsgleichung steht. Die Verbindung eines [[Knoten (Graphentheorie)|Knotens]] im Tanner-Graph mit einem beliebigen anderen Knoten wird ''[[Kante (Graphentheorie)|Kante]]'' genannt. Mehrere Kanten können einen [[Pfad (Graphentheorie)|Pfad]] in einem Tanner-Graph bilden, welcher auf sich zurückführt. Solche Knoten- bzw. Kantenfolgen, die wieder zum Ausgangspunkt zurückführen, werden als [[Zyklus (Graphentheorie)|''Zyklus'']] bezeichnet. Die Länge des kürzesten Zyklus im Tanner-Graph ist die [[Taillenweite (Graphentheorie)|Taillenweite]]. Bedingt durch den Aufbau des Tanner-Graph ist die Taillenweite immer gerade und mindestens gleich 4. Generell aber gilt, dass sich kurze Zyklen negativ auf den iterativen Decodierungsprozess auswirken. Daher sollten kurze Zyklen vermieden werden.<ref>Michael Petter, Technische Universität Graz: [https://diglib.tugraz.at/download.php?id=576a73cc19b46&location=browse Untersuchung und Simulation von Low-Density Parity-Check-Codes]</ref>

== Praktischer Einsatz von LDPC-Codes ==
LDPC-Codes werden in unterschiedlichen Gebieten der Technik angewendet. In der Regel werden sie [[Kanalkodierung#Codeverkettung|verkettet]] eingesetzt. So dienen LDPC-Codes beispielsweise zur fehlerkorrigierenden Datenübertragung von digitalen Fernsehsignalen nach [[DVB-S#DVB-S2|DVB-S2]] und bei [[Digital Terrestrial Multimedia Broadcast]] (DTMB). Neben neueren WLAN-Standards wie dem [[IEEE]] [[IEEE 802.11n|802.11n]]<ref>IEEE: {{Webarchiv|url=http://standards.ieee.org/getieee802/download/802.11n-2009.pdf |wayback=20130203104520 |text=''IEEE Standard 802.11n'' }}</ref> („n-WLAN“ oder „n-Draft WLAN“) implementiert auch der WLAN-ähnliche Standard 802.16e<ref>IEEE: [http://standards.ieee.org/getieee802/download/802.16e-2005.pdf ''IEEE Standard 802.16e'']</ref> ([[Wimax]]) LDPC-Codes. Weitere Standards sind [[GEO-Mobile Radio Interface|GMR-1]], [[IEEE 802.3an]], [[IEEE 802.22]], [[China Multimedia Mobile Broadcasting|CMMB]], sowie [[WiMedia Alliance|WiMedia 1.5]].<ref>[https://www.ldpc-decoder.com/ ''Liste standardisierter LDPC-Codes mit Eigenschaften und Erklärungen'']</ref>

Im [[Amateurfunkdienst]] werden LDPC-Codes angewendet in den Übertragungsprotokollen [[FT8]] und [[FT4]] zur Fehlerkorrektur der Datenübertragung in Kombination mit einer zyklischen Redundanzprüfung (CRC) zur Fehlererkennung.

== Literatur ==
* Robert G. Gallager: ''Low-Density Parity-Check Codes''. M.I.T. Press Classic Series, Cambridge MA, 1963 (''M.I.T. Press research monographs'' 21, {{ZDB|597839-7}}), ([http://www.ldpc-codes.com/papers/Robert_Gallager_LDPC_1963.pdf andere Fassung]; PDF; 655 kB).
* [[David J. C. MacKay]]: ''Information theory, inference and learning algorithms''. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2003, ISBN 0-521-64298-1 (auch [http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/itila/book.html online verfügbar]).
* Todd K. Moon: ''Error Correction Coding. Mathematical Methods and Algorithms''. Wiley-Interscience, Hoboken NJ, 2005, ISBN 0-471-64800-0.
* [[Amin Shokrollahi]]: ''LDPC Codes: An Introduction''. In: Keqin Feng u. a. (Hrsg.): ''Coding, cryptography and combinatorics''. Birkhäuser, Basel u. a. 2004, ISBN 3-7643-2429-5, S. 85–112 (''Progress in computer science and applied logic'' 23), ([http://algo.epfl.ch/contents/output/pubs/ldpc_intro.pdf PDF]).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kodierungstheorie]]
[[Kategorie:Digitaltechnik]]

Low-Density-Parity-Check-Code - Versionsgeschichte

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