imported>Petrus3743: Formulierung mit „synonym“

2026-04-03T16:12:01Z

Formulierung mit „synonym“

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[[Datei:01-Lot fällen-1.svg|mini|Lot <math>l</math> von einem Punkt <math>P</math> auf eine Gerade <math>g</math> mit Fußpunkt <math>L</math>]]
Ein '''Lot''' ist in der [[Geometrie]] eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] oder [[Gerade]], die auf einer gegebenen Geraden oder [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] [[Orthogonalität|senkrecht]] steht. Je nachdem, ob es sich um eine Gerade oder um eine Strecke handelt, spricht man auch von '''Lotgerade''' oder '''Lotstrecke.''' Der Schnittpunkt des Lots mit der gegebenen Geraden oder Ebene wird '''Lotfußpunkt''' oder '''Fußpunkt'''<ref>Siehe hierzu [https://www.duden.de/rechtschreibung/Fuszpunkt Duden Bedeutungen (2)], in der Fachliteratur werden beide Begriffe synonym verwendet.</ref> genannt. Eine Ebene, die senkrecht zu einer Geraden steht, heißt '''Lotebene'''.

Das Lot einer Geraden durch einen gegebenen Punkt kann auf verschiedene Weisen mit [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Zirkel und Lineal geometrisch konstruiert]] werden. Je nachdem, ob der Punkt auf der Geraden liegt oder nicht, handelt es sich um das ''Errichten'' oder ''Fällen'' des Lots. Berechnet werden kann das Lot in der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] mit Hilfe der [[Vektorrechnung]] und des [[Skalarprodukt]]s.

Die Lotstrecke von einem Punkt auf eine Gerade oder Ebene ist die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen dem Punkt und der Gerade. Seine [[Länge (Mathematik)|Länge]] definiert deshalb den [[Abstand]] (Normalabstand) des Punkts von der Gerade oder Ebene.

Spezielle Lotgeraden oder Lotebenen sind die [[Mittelsenkrechte]]n zweier Punkte in der Ebene bzw. im Raum.

== Definition ==
Eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] oder [[Gerade]] <math>l</math> heißt ''Lot'' auf eine Gerade <math>g</math> oder [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] <math>E</math>, wenn

:<math>l \perp g</math>   bzw.   <math>l \perp E</math>

gilt, wenn sie also [[Orthogonalität|senkrecht]] auf der Geraden oder Ebene steht, also mit ihr einen [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] bildet. Der ''Fußpunkt'' ist dann der Schnittpunkt <math>l \cap g</math> bzw. <math>l \cap E</math> des Lots mit der Geraden oder Ebene.<ref>{{Literatur |Autor=Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp |Titel=Leitfaden Geometrie |Auflage=7. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2018 |ISBN=978-3-658-23377-8 |Seiten=104}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Harald Scheid]], Wolfgang Schwarz |Titel=Elemente der Geometrie |Auflage=4. |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2007 |ISBN=978-3-8274-1697-1 |Seiten=9}}</ref> Umgekehrt heißt die Ebene <math>E</math> ''Lotebene'' zur Geraden <math>l</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Harald Scheid, Wolfgang Schwarz |Titel=Elemente der Linearen Algebra und der Analysis |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-8274-1971-2 |Seiten=74}}</ref>

== Geometrische Konstruktionen ==
=== Errichten des Lots ===
{{Doppeltes Bild|rechts|01-Errichten eines Lots.svg|230|01-Rechter Winkel mittels Thaleskreis.svg|281|Errichten eines Lots als [[Mittelsenkrechte]] zweier Punkte|Errichten eines Lots mithilfe des [[Thaleskreis]]es, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar.|}}

Ist ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> gegeben, dann findet man die Lotgerade durch diesen Punkt wie folgt:

Man sticht den Zirkel in den Punkt <math>P</math> ein und bestimmt durch Ziehen eines [[Kreisbogen]]s mit beliebigem Radius zwei Punkte auf <math>g</math> mit gleichem Abstand zu <math>P</math>. Dann vergrößert man den Winkel des Zirkels, sticht ihn jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf <math>g</math> ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen einen Punkt (von zwei möglichen) außerhalb der Geraden <math>g</math> mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt <math>P</math> verläuft, ist dann die Lotgerade zu <math>g</math> durch <math>P</math>.

Eine Alternative, auf einer Geraden <math>g</math> durch den Punkt <math>P</math> mit eingeschränkten Platzverhältnissen ein Lot zu errichten, zeigt das rechte Bild. Man schlägt dazu um einen frei wählbaren Punkt <math>M</math> einen Kreisbogen mit dem Radius <math>\overline{MP}</math>, bis er die Gerade <math>g</math> in <math>A</math> schneidet (bspw. kann man <math>M</math> so wählen, dass eine gedachte Linie von <math>M</math> zu <math>P</math> mit der Geraden <math>g</math> einen Winkel von ca. 45° bildet). Dann zieht man die Gerade von <math>A</math> durch <math>M</math>, bis sie den Kreisbogen in <math>P'</math> schneidet. Die abschließende Gerade, die durch <math>P</math> und <math>P'</math> verläuft, ist dann die Lotgerade zu <math>g</math> durch <math>P</math>.<ref>{{Internetquelle |autor=Philipp Schrenk |url=https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf |titel=Konstruktion eines rechten Winkels 2 |werk=mathetreff-online.de |seiten=1–2 |format=PDF |abruf=2025-06-23}}</ref>

=== Fällen des Lots ===
{{Doppeltes Bild|rechts|01-Lot fällen.svg|230|01-Lot fällen-2.svg|232|Fällen des Lots|Alternative Methode zum Fällen des Lots|}}
Ist ein Punkt <math>P</math> außerhalb der Geraden <math>g</math> gegeben, dann findet man das Lot durch <math>P</math> auf <math>g</math> wie folgt: Man sticht den Zirkel in den Punkt <math>P</math> ein und bestimmt durch Ziehen eines Kreisbogens mit hinreichend großem Radius zwei Punkte auf <math>g</math> mit gleichem Abstand von <math>P</math>. Dann sticht man jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf <math>g</math> ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen (mit hinreichend großem Radius) einen weiteren Punkt mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt <math>P</math> verläuft, ist dann die Lotgerade zu <math>g</math> durch <math>P</math>, und der Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit <math>g</math> ist der Fußpunkt <math>F</math>.<ref>{{Literatur |Titel=Basiswissen Schule Mathematik: 5. bis 10. Klasse |Auflage=4. |Verlag=Duden Schulbuchverlag |Datum=2010 |ISBN=978-3-411-71504-6 |Seiten=220}}</ref>

Eine alternative Konstruktion, von einem gegebenen Punkt das Lot auf eine Gerade zu fällen, besteht darin, den Zirkel an zwei beliebigen Punkten <math>M_1</math> und <math>M_2</math> auf der Geraden einzustechen und jeweils den Kreis, der durch den gegebenen Punkt <math>P</math> verläuft, einzuzeichnen. Diese beiden Kreise schneiden sich dann in einem weiteren Punkt <math>P'</math> außerhalb der Geraden. Und die Linie, die durch <math>P</math> und <math>P'</math> verläuft, ist dann die Lotgerade durch <math>P</math>. Diese Konstruktion kann auch für [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] benutzt werden.

[[Datei:Lot-g-fp-2d.svg|mini|Lotgerade (rot) zu einer Gerade <math>g</math> und einem Punkt <math>P</math>]]
== Berechnung ==
=== In der Ebene ===
==== Lotgerade, Fußpunkt ====
Für einen Punkt <math>P</math> mit Ortsvektor <math>\vec p</math> und eine Gerade <math>g\colon \vec x = \vec a + s\vec r</math> in der Ebene hat die Lotgerade <math>h</math> durch <math>P</math> die [[Normalenform]]
:'''(LG2)''' <math>\ h\colon (\vec x - \vec p) \cdot \vec r = 0,</math>
denn der Richtungsvektor <math>\vec r</math> der Geraden <math>g</math> ist ein [[Normalenvektor]] der Lotgeraden <math>h</math>. Hierbei bezeichnet <math>\cdot</math> das [[Skalarprodukt]] zweier Vektoren. Soll der Ortsvektor <math>\vec f</math> des Fußpunkts <math>F</math> (Schnittpunkt von <math>g</math> und <math>h</math>) bestimmt werden, setzt man die Parameterdarstellung von <math>g</math> in die Gleichung der Lotgeraden ein, löst nach <math>s</math> auf und setzt das Ergebnis in die Parameterdarstellung von <math>g</math> ein. Es ergibt sich:
:'''(LF2)''' <math>\ F\colon \vec f = \vec a + \frac{(\vec p - \vec a) \cdot \vec r}{\vec r \cdot \vec r}\; \vec r</math>

'''Andere Vorgaben:'''<br />
'''a)''' Falls die Gerade <math>g</math> durch zwei Punkte <math>A</math> und <math>B</math> mit den Ortsvektoren <math>\vec a</math> bzw. <math>\vec b</math> gegeben ist, kann man <math>\vec r = \vec b - \vec a</math> setzen.<br />
'''b)''' Falls die Gerade <math>g</math> durch die Gleichung <math>y = mx + d</math> gegeben ist, hat die Lotgerade durch den Punkt <math>P = (x_0,y_0)</math> die [[Lineare Funktion#Orthogonale Geraden|Gleichung]] <math>y = -\tfrac{1}{m}(x-x_0) + y_0</math>. Alternativ kann man <math>A = (0,d)</math> und <math>\vec r = \textstyle{1 \choose m}</math> setzen und die obige Formel verwenden.<br />
'''c)''' Falls die Gerade <math>g</math> durch die Gleichung <math>ax + by = d</math> oder in Normalenform <math>\vec x \cdot \vec n = d</math> mit <math>\vec n = \textstyle{a\choose b}</math> beschrieben wird, kann man <math>\vec r = \textstyle{-b\choose a}</math> setzen und für <math>A</math> einen der Achsenschnittpunkte wählen.

[[Datei:Lot-f-e-pg-3d.svg|mini|Lotebene (rot) zu einer Geraden <math>g</math> und einem Punkt <math>P</math>]]
[[Datei:Lot-f-g-pe-3d.svg|mini|Lotgerade (rot) zu einer Ebene <math>\varepsilon</math> und einen Punkt <math>P</math>]]
=== Im Raum ===
==== Punkt und Gerade ====
Setzt man in der obigen Formel '''(LG2)''' Vektoren aus dem <math>\R^3</math> ein, so beschreibt sie diejenige Ebene durch den Punkt <math>P</math> mit Ortsvektor <math>\vec p</math>, die auf der Geraden <math>g\colon \vec x = \vec a + s\vec r</math> senkrecht steht, also die ''Lotebene:''
:'''(PGLE3)''' <math>\ \lambda\colon\ (\vec x - \vec p) \cdot \vec r = 0</math>
Der Schnittpunkt der Lotebene mit der Geraden <math>g</math> ergibt sich aus der 3-dimensionalen Form der obigen Formel '''(LF2):'''
:'''(PGLF3)''' <math>\ F\colon \vec f = \vec a + \frac{(\vec a - \vec p) \cdot \vec r}{\vec r \cdot \vec r}\; \vec r,</math>
<math>F</math> ist der ''Fußpunkt''.<br />
Die Gerade <math>\overline{PF}</math> schneidet die Gerade <math>g</math> in <math>F</math> senkrecht. Also ist
:'''(PGLG3)''' <math>\ h\colon \vec x = \vec p + t(\vec f - \vec p)</math>
die Lotgerade von <math>P</math> auf <math>g</math>.

==== Punkt und Ebene ====
Für den Punkt <math>P</math> mit Ortsvektor <math>\vec p</math> und die Ebene <math>\varepsilon\colon \vec x \cdot \vec n = d</math> ist
:'''(PELG3)''' <math>\ h\colon \vec x = \vec p + s\vec n</math>
die Lotgerade. Für den Fußpunkt setzt man die Gleichung der Lotgerade in die Ebenengleichung ein, löst nach <math>s</math> auf und setzt das Ergebnis wieder in die Lotgleichung ein:
:'''(PELF3)''' <math>\ F\colon \vec f = \vec p + \frac{d - \vec p \cdot \vec n}{\vec n \cdot \vec n} \vec n</math>
'''Alternative Vorgabe:''' Falls die Ebene in der [[Normalenform#Aus der Parameterform|Form]] <math>\vec x = \vec a + s\vec u + t\vec v </math> gegeben ist, kann man <math>\vec n = \vec u \times \vec v</math> setzen.

{{Absatz}}
== Siehe auch ==
* [[Zweitafelprojektion#Lot auf eine Ebene, Abstand Punkt-Ebene|Lot auf eine Ebene, Abstand Punkt-Ebene]] in der Darstellenden Geometrie
* [[Ophiuride#Als Fußpunktkurve einer Parabel|Ophiuride]], als Fußpunktkurve einer Parabel

== Literatur ==
* Michael Jung: ''Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie.'' Springer Spektrum, Wiesbaden 2024, ISBN 978-3-658-03261-6, S. 571–579.


== Weblinks ==
{{Commonscat|Perpendicular}}
* {{MathWorld|Perpendicular|Perpendicular}}
* {{PlanetMath|id=CompassAndStraightedgeConstructionOfPerpendicular|title=Compass and straightedge construction of perpendicular|author=Warren Buck}}

[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]

== Einzelnachweise ==
<references />

Lot (Mathematik) - Versionsgeschichte

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