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2026-01-08T04:02:38Z

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{{QS-Physik}}

{{Dieser Artikel|behandelt die Lorentzkurve in der Physik, für ihr Auftreten in der Stochastik siehe [[Cauchy-Verteilung]]. Für die Loren'''z'''kurve in der Ökonomie siehe [[Lorenz-Kurve|dort]].}}

Die '''Lorentzkurve''', nach [[Hendrik Antoon Lorentz]], oder '''Breit-Wigner-Funktion''', nach [[Gregory Breit]] und [[Eugene Wigner]], ist eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], die in der Physik bei der Beschreibung von [[Resonanz]]en auftritt.

[[Datei:Mplwp lorentzcurve1.svg|mini|Eine Lorentzkurve mit <math>\omega_0=1</math> und <math>\gamma=1/2</math>]]

== Mathematische Definition und Näherung ==
In die Breit-Wigner-Funktion gehen zwei Parameter ein. Der Parameter <math>\omega_0</math> bestimmt die Position des [[Extremwert|Maximums]], der Parameter <math>\gamma</math> wird Breite der Kurve genannt. Aus physikalischer Sicht ist eine Interpretierbarkeit der Kurve nur für <math>\omega \ge 0</math> gegeben, da mit <math>\omega</math> in der Regel eine [[Kreisfrequenz]] assoziiert ist und negative Frequenzen unphysikalisch sind. Die Funktionsvorschrift lautet:
:<math> f(\omega) = \frac{1}{(\omega^2-\omega^2_0)^2+\gamma^2\omega_0^2}</math>
Eine andere Form der Kurve erhält man durch [[Reparametrisierung]], indem man statt der Parameter <math>\omega_0</math> und <math>\gamma</math> folgenden Satz Parameter verwendet:
:<math>{\omega_0'}^2 = \omega_0^2 \sqrt{1 + \frac{\gamma^2}{\omega_0^2}}, \qquad {\gamma'}^2 = 2\omega_0^2 \left(\sqrt{1 + \frac{\gamma^2}{\omega_0^2}} - 1\right)</math>
Dann ist
:<math>f(\omega) = \frac{1}{(\omega^2-{\omega_0'}^2)^2+{\gamma'}^2\omega^2}</math>;
insbesondere gilt für <math>\gamma^2 / \omega_0^2 \ll 1</math>, dass die gestrichenen und ungestrichenen Parameter nahezu identisch werden. Die erste Form wird für gewöhnlich in der [[Teilchenphysik]] bevorzugt, die zweite Form in der [[Klassische Physik|klassischen Physik]], da sie sich in ihren jeweiligen Gebieten aus der Physik in den entsprechenden Formen ergeben. Zur Rückkonversion dienen die Beziehungen
:<math>\omega_0^2 = {\omega'_0}^2 - \frac{{\gamma'}^2}{2} \qquad \gamma^2 = \frac{{\gamma'}^2}{2} \frac{4 {\omega'_0}^2 - {\gamma'}^2}{2 {\omega'_0}^2 - {\gamma'}^2}</math>

Entgegen teilweise vertretener Auffassung ist weder <math>\gamma</math> noch <math>\gamma'</math> die [[Halbwertsbreite]] (FWHM) der Kurve. Diese ist stattdessen
:<math>\text{FWHM} = \sqrt{\omega_0^2 + \gamma \omega_0} - \sqrt{\omega_0^2 - \gamma \omega_0}</math>
und ergibt sich für <math>\gamma^2 / \omega_0^2 \ll 1</math> nur ungefähr zu <math>\gamma</math>.

Für <math>\omega \approx \omega_0</math> und <math>\gamma \ll \omega_0</math> kann die Lorentzkurve durch
:<math>f(\omega) = \frac{1}{4\omega_0^2} \frac{1}{(\omega-\omega_0)^2 + \gamma^2/4}</math>
approximiert werden, wobei <math>\gamma</math> die Halbwertsbreite ist. Sie ist dann bis auf einen Normierungsfaktor identisch mit der in der mathematischen [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] als [[Cauchy-Verteilung]] bezeichneten [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]. Wenn von der Lorentzkurve die Rede ist, ist teilweise auch die approximierte Fassung gemeint.

== Physikalische Bedeutung ==
=== Klassische Physik ===
Die Differentialgleichung für den gedämpften harmonischen Oszillator
:<math>\left(\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2} + \gamma \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} + \omega_0^2\right) x(t) = F(t)</math>
kann durch [[Fourier-Transformation]] in die [[algebraische Gleichung]]
:<math>\left(- \omega^2 + \mathrm i \gamma \omega + \omega_0^2 \right) \tilde x(\omega) = \tilde F(\omega)</math>
überführt werden. Die in diesen Gleichungen auftretende Größen sind:
* die [[Dämpfungskonstante]] <math>\gamma</math>
* die [[Resonanzfrequenz]] des ungedämpften harmonischen Oszillators <math>\omega_0</math>
* eine [[Erzwungene Schwingung|anregende Funktion]] <math>F(t)</math>
Die Gleichung kann nun elementar gelöst werden, ihre Lösung ist
:<math>\tilde x(\omega) = \frac{\tilde F(\omega)}{- \omega^2 + \mathrm i \gamma \omega + \omega_0^2}</math>
und ihr [[Betragsquadrat]]
:<math>f(\omega) = \tilde x (\omega) \tilde x^* (\omega) = \frac{\tilde F \tilde F^*}{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}</math>
die Lorentzkurve in der zweiten Parametrisierung.

=== Teilchenphysik ===
In der Teilchenphysik sind die [[Propagator]]en die Umkehrfunktionen der Bewegungsgleichungen für die Teilchen. Diese haben einen [[Polstelle|Pol]] bei der Masse <math>m</math> dieser Teilchen. Um dies zu umgehen, führt man eine sogenannte komplexe Masse ein, die die [[Zerfallsbreite]] <math>\Gamma</math> des jeweiligen Teilchens berücksichtigt. Dann ist der Propagator für einen bestimmten [[Viererimpuls]] <math>k</math> proportional zu
:<math>P(k^2) \sim \frac{1}{k^2 - m^2c^4 + \mathrm i \Gamma mc^2}</math>
und sein [[Betragsquadrat]] ist die Lorentzkurve in der ersten Parametrisierung,
:<math>P(k^2) P^*(k^2) \sim \frac{1}{(k^2 - m^2c^4)^2 + \Gamma^2 m^2c^4}</math>,
wenn man <math>k = \omega</math> und <math>m = \omega_0</math> identifiziert.

== Beispiel ==
=== Z0-Boson ===
Speziell für den Zerfall des [[Z-Boson|Z0-Bosons]] ergibt sich die Breit-Wigner-Formel zu

:<math>\sigma_{i\rightarrow f}(s) = 12\pi (\hbar c)^2\cdot \frac{\Gamma_i \cdot \Gamma_f}{(s - M_Z^2c^4)^2 + M_Z^2c^4\Gamma_{\text{tot}}^2}.</math>

Hierbei ist
* <math>\Gamma_i</math> die [[Zerfallsbreite#Partielle Zerfallsbreite|Partialbreite]] des Eingangskanals (d. h. für den Zerfall Z0 → e+ e−)
* <math>\Gamma_f</math> die Partialbreite des Ausgangskanals
* <math>\Gamma_{\text{tot}}</math> die Summe der Partialbreiten für alle möglichen Zerfälle in [[Fermion]]-[[Antiteilchen|Anti]]<nowiki/>fermion-Paare
* <math>s</math> das Quadrat der Energie im [[Schwerpunktssystem]]
* <math>\hbar</math> die [[reduzierte Planck-Konstante]].

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=G. Breit, E. Wigner
|Titel=Capture of Slow Neutrons
|Sammelwerk=Phys. Rev.
|Band=49
|Datum=1936-04-01
|Seiten=512-531
|Sprache=en
|Online=https://www.physics.smu.edu/~scalise/P4321sp16/BreitWigner.pdf
|Format=PDF
|KBytes=1100
|DOI=10.1103/physrev.49.519}}


[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]
[[Kategorie:Kernphysik]]

Lorentzkurve - Versionsgeschichte

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