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[[Datei:Cyclotron motion wider view.jpg|mini|Das [[Fadenstrahlrohr]] demonstriert die Wirkung der Lorentzkraft auf bewegte Ladungen (Elektronen).]]
[[Datei:Leiterschaukelversuch.ogv|mini|Der Leiterschaukelversuch zeigt die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter.]]

Die '''Lorentzkraft''' ist die [[Kraft]], die eine [[Ladung (Physik)|Ladung]] in einem [[Elektromagnetische Wechselwirkung|magnetischen oder elektrischen]] Feld erfährt. Während ein elektrisches Feld auf bewegte und unbewegte Ladungen gleichermaßen wirkt, übt ein Magnetfeld Kraft nur auf [[Elektrischer Strom|bewegte Ladungen]] aus. Sie ist nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker [[Hendrik Antoon Lorentz]] benannt. Oft wird nur die magnetische Komponente als Lorentzkraft bezeichnet.

Die magnetische Komponente der Kraft ist am größten, wenn die Bewegungsrichtung der Ladung senkrecht zu den magnetischen [[Feldlinie]]n verläuft, und gleich Null, wenn sich die Ladung entlang einer Feldlinie bewegt. Sie wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung und zu den Magnetfeldlinien. Ihre Wirkungsrichtung kann mit der [[Drei-Finger-Regel]] bestimmt werden. Für negative Ladungen verwendet man die linke, für positive Ladungen die rechte Hand.

Eine Erklärung der magnetischen Komponente, die letztlich auf die [[elektrostatische Anziehung]] zurückgeführt wird, liefert die [[Spezielle Relativitätstheorie#Lorentzkraft|Spezielle Relativitätstheorie]].

== Doppeldeutige Bezeichnung ==
Die Bezeichnung „Lorentzkraft“ wird nicht einheitlich verwendet. Ältere Lehrwerke<ref>{{Literatur|Autor=[[Dieter Meschede]]|Titel=[[Gerthsen Physik]]|Auflage=23.|Verlag=Springer|Ort=Berlin|Datum=2006|ISBN=978-3-540-25421-8}}</ref> unterscheiden meist zwischen der '''Lorentzkraft im engeren Sinne''' <math>\vec{F_\text{L}}</math> und der '''[[Coulombkraft]]''' <math>\vec{F_\text{C}}</math>. Erstere wird von magnetischen Feldern auf bewegte Ladungen ausgeübt, letztere von elektrischen Feldern auf bewegte oder unbewegte Ladungen.

Die neuere Literatur fasst beide Kräfte meist als magnetische Komponente <math>\vec{F_\text{B}}</math> und elektrische Komponente <math>\vec{F_\text{E}}</math> der ''Gesamt''kraft <math>\vec{F_\text{B}} + \vec{F_\text{E}}</math>, der '''Lorentzkraft im weiteren Sinne''', auf.

== Geschichte ==
Die Form des Induktionsgesetzes in ''On physical lines of force'' (1861) oder ''[[Eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes]]'' (1864) von [[James Clerk Maxwell]] enthält aus heutiger Sicht einen Anteil, der als Vorläufer der Lorentzkraft betrachtet werden kann. Die eigentliche Behandlung der auf bewegte Punktladungen in Magnetfeldern wirkenden Kräfte erfolgte erst 1881 durch [[J. J. Thomson]].<ref>Thomson: ''On the electric and magnetic effect produced by the motion of electrified bodies'', Philosophical Magazine, Band 11, 1881, S. 229–249</ref> Bei ihm tritt noch ein fehlerhafter Vorfaktor ½ auf. Die korrekte Form der Lorentzkraft leiteten [[Oliver Heaviside]] (1889)<ref>Heaviside: ''On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric'', Philosophical Magazine, 1889, S. 324</ref> und [[Hendrik Antoon Lorentz]] (1895)<ref>Lorentz: ''Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern'', 1895</ref> ab.<ref>Darrigol: ''Electrodynamics from Ampère to Einstein'', Oxford UP, 2000, S. 429ff</ref>

== Allgemeine Definition ==
[[Datei:Lorentzkraft positiv negativ de.svg|mini|'''a)''' Lorentzkraft bei Bewegung positiver bzw. negativer Ladungsträger 
'''b)''' Störung des magnetischen Feldes durch die bewegten Ladungsträger. Die Teilchen bewegen sich hier in die Zeichenebene hinein, das Feld und die Kraft liegen in der Zeichenebene.]]
Bewegt sich eine elektrische Ladung <math>q</math> mit der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> durch ein [[Elektromagnetische Wechselwirkung|elektromagnetisches]] Feld, ist die insgesamt auf die Ladung wirkende ''Lorentzkraft im weiteren Sinne:''

: <math> \vec F = \vec {F_\text{E}} + \vec {F_\text{B}} = q \vec E \ + \ q\ \!\vec v \times\! \vec B </math>

<math>\vec {F_\text{E}}</math> und <math>\vec {F_\text{B}}</math> sind dabei die elektrische und magnetische Komponente der ''Lorentzkraft im weiteren Sinne,'' <math>\vec E</math> die [[elektrische Feldstärke]], <math>\vec B</math> die [[magnetische Flussdichte]] und das Zeichen <math>\times</math> das des [[Vektorprodukt|Vektor- oder Kreuzprodukts]] der beteiligten Vektoren.

Der resultierende Vektor eines Kreuzprodukts steht stets senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren, und das [[Skalarprodukt]] [[orthogonal]]er Vektoren ist gleich 0. Daraus ergibt sich für den Fall eines nicht vorhandenen äußeren elektrischen Felds (<math>E=0</math>):

* Bei der Ablenkung eines Teilchens der Ladung <math>q</math> im räumlich und zeitlich konstanten Magnetfeld wird ''im Gegensatz zur Ablenkung im elektrischen Feld'' keinerlei Arbeit verrichtet, die kinetische Energie und damit die [[Geschwindigkeit|Bahngeschwindigkeit]] bleiben also unverändert, denn
:: <math>
\frac{\mathrm d W_\text{kin}}{\mathrm d t}
= \frac{m}{2}\,\frac{\mathrm d (\vec v^2\! )}{\mathrm d t}
= m \vec v \cdot \frac{\mathrm d \vec v}{\mathrm d t}
= \vec v \cdot \left(m \vec a\right)
= \vec v \cdot \vec F
= q \ \! \vec v \cdot \bigl (\vec v \times \vec B\bigr) = 0
</math>.

: Dies gilt auch für [[relativistisch]]e Teilchen. Tatsächlich jedoch emittieren die Teilchen wegen ihrer Ablenkung [[Bremsstrahlung]] und geben dadurch Energie ab.
* Verlaufen die Vektoren <math>\vec v</math> und <math>\vec B</math> parallel oder antiparallel zueinander, wird <math>\vec F</math> gleich 0. Bewegt sich eine Ladung <math>q</math> in Feldlinienrichtung eines Magnetfelds oder genau entgegengerichtet, findet also keinerlei Ablenkung statt.

Betrachtet man dagegen, wie in älteren Physik-Lehrbüchern üblich, als ''Lorentzkraft im engeren Sinne'' allein die magnetische Komponente der obigen Gesamtkraft <math>\vec F</math>, gilt für ihre Berechnung entsprechend die Formel:

: <math> \vec F_\text{L} = q \ \! \vec v \times \vec B </math>

Die in solchem Fall ebenfalls separat betrachtete elektrische Komponente der ''Lorentzkraft im weiteren Sinne'' wird dann als [[Coulombkraft]] bezeichnet und wie folgt berechnet:

: <math> \vec F_\text{C} = q \ \! \vec E </math>

Die Formelzeichen <math>\vec {F_\text{B}}</math> und <math>\vec {F_\text{E}}</math> bzw. <math>\vec {F_\text{L}}</math> und <math>\vec {F_\text{C}}</math> bezeichnen dabei jeweils einander Entsprechendes, wobei man der Klarheit der Schreibweise wegen nach Möglichkeit die eine ''oder'' die andere Konvention beibehalten sollte.

=== Formulierung der Lorentzkraft im Gauß-System ===

Im Unterschied zu der obigen Schreibweise der Formel für die Lorentzkraft <math>\vec {F_\text{L}}</math>, die auf dem in der Elektrotechnik und den experimentellen Naturwissenschaften üblichen [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Maßsystem]] basiert, schreibt man in der theoretischen Physik und allgemeiner besonders in England und den USA für dieselbe Kraft im äquivalenten, aber leicht verschiedenen [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußschen Einheitensystem]]

: <math> \vec F_L = q_\text{cgs} \left(\frac{\vec v}{c}\times \vec B_\text{cgs}\right), </math>

bzw. für die Lorentzkraft im weiteren Sinn<ref>''[https://www.thphys.uni-heidelberg.de/~ewerz/scriptum/script_ed_ce.pdf Klassische Elektrodynamik.]'' Vorlesung an der Universität Heidelberg, abgerufen am 18. Dezember 2016.</ref>

: <math> \vec F = q_\text{cgs} \left(\vec E_\text{cgs} + \frac{\vec v}{c}\times \vec B_\text{cgs}\right), </math>

wobei die Größen <math>q_\text{cgs}</math> und <math>\vec B_\text{cgs}</math> sowie <math>\vec E_\text{cgs}</math> den entsprechenden SI-Größen weitgehend äquivalent sind, man sie also der Einfachheit halber meist ohne spezielle Indizes ebenfalls als <math>q</math> und <math>\vec B</math> sowie <math>\vec E</math> bezeichnet. Es gelten jedoch die [[Gaußsches Einheitensystem#Konversion von Größen zwischen Gauss-System und SI|Transformationsformeln]]:

: <math> q_\mathrm{cgs}\,\, = q_\mathrm{SI} \, / \sqrt{4\pi\varepsilon_0} </math>
: <math> \vec E_\text{cgs} = \vec E_\mathrm{SI} \cdot \sqrt{4\pi\varepsilon_0} </math>
: <math> \vec B_\mathrm{cgs} = \vec B_\mathrm{SI} \cdot c\cdot\sqrt{4\pi\varepsilon_0} = \vec B_\mathrm{SI} \cdot {\sqrt{\tfrac{4\pi}{\mu_0}}} </math>

mit der ''dimensionsbehafteten'' [[Dielektrizitätskonstante]]n im Vakuum <math>\varepsilon_0</math> (für die systematische Umrechnung von Größen in SI-Einheiten ins cgs-System und umgekehrt siehe den entsprechenden Abschnitt im Artikel über die [[CGS-Einheitensystem#Entwicklung der Systeme|Maxwellschen Gleichungen]]).

== Lorentzkraft auf bewegte Punktladungen ==
[[Datei:Lorentz force.svg|miniatur|upright=1.25|Bewegung einer Punktladung '''''q''''' in einem senkrecht zu ihrer Bahn (in diesem Fall aus der Zeichenebene heraus) verlaufenden Magnetfeld: Im Bild werden negative Ladungen ('''''q''''' < 0) dabei nach oben, positive ('''''q''''' > 0) nach unten und neutrale ('''''q''''' = 0) überhaupt nicht abgelenkt.]]

[[Datei:Deflection of nuclear radiation in a magnetic field de.png|mini|upright=1.25|Flugbahnen frei beweglicher Teilchen in einem Magnetfeld je nach Masse und Ladung.]]
Als bewegte [[Punktladung]]en werden kleine freie Ladungen wie etwa [[Elektron]]en, [[Proton]]en oder andere geladene [[Elementarteilchen]] sowie [[Alphastrahlung|Alphateilchen]] und andere [[Ion]]en betrachtet, die sich frei im Raum, z. B. im [[Vakuum]] oder in einer [[Salzlösung]], bewegen können.

Da die Richtung der Lorentzkraft vom Vorzeichen der Ladung <math>q</math> abhängt, werden entgegengesetzt geladene Punktladungen gleicher Bewegungsrichtung in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt. Bewegen sich die entgegengesetzt geladenen Punktladungen dagegen außerdem (z. B. in einer Salzlösung, an die man eine [[elektrische Spannung]] gelegt hat) in entgegengesetzte Richtungen, ist die Richtung ihrer magnetischen Ablenkung wieder die gleiche<ref>Vladimir Dyakonov: {{Webarchiv |url=http://www.physik.uni-wuerzburg.de/EP6/Vorlesung-SS07/VL_24_2007.pdf |text=''Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde, Sommersemester 2007.'' |wayback=20131219054158 |archiv-bot=}} Abschnitt ''Erinnerung: Rotierender Elektrolyt.'' (PDF; 317 kB).</ref> (siehe nebenstehende Abbildungen).

Der Betrag der Lorentzkraft ergibt sich dabei aus

: <math> |\vec v \times \vec B| = |\vec v|\,|\vec B| \, \sin \alpha </math>

zu

: <math> |\vec F_\text{L}| = |q| \, |\vec v|\,|\vec B| \, \sin \alpha </math>

mit <math>\alpha</math> als dem [[Winkel]] zwischen der Bewegungsrichtung von ''q'' und der Richtung des Magnetfelds bzw. seiner Flussdichte <math>\vec B</math>.

Bewegt sich die Punktladung genau senkrecht zum Magnetfeld, gilt <math>\sin \alpha = 1</math>, also:

: <math> |\vec F_\text{L}| = |q| \, |\vec v|\,|\vec B| </math>

<gallery mode="packed" widths="200px" heights="260px" style="text-align:left">
Magnetic deflection of ions in a circular electrolytic cell 2.svg|Magnetische Ablenkung der Ionen versetzt eine stromdurchflossene Salzlösung in Rotation.
Geschwindigkeitsfilter nach Wien.svg|Der [[Geschwindigkeitsfilter|Geschwindigkeitsfilter]] nach Wien beruht auf Kräftegleichgewicht zwischen Lorentz- und Coulombkraft.
</gallery>

== Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter ==
[[Datei:Versuch Stromwaage.svg|mini|Die [[Stromwaage]] misst die Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter.]]
Die Lorentzkraft ist das zentrale Bindeglied zwischen [[Elektrizität]] und [[Mechanik]]. Fließt Strom durch einen Leiter, der quer oder schräg zu den Feldlinien eines ihn umgebenden Magnetfelds liegt, dann lässt sich eine Kraftwirkung auf den Leiter feststellen. Die Auslenkung im [[Leiterschaukel]]versuch oder die Messungen beim Stromwaagen-Experiment verdeutlichen dies. Die Kraftwirkung leitet sich dabei aus der auf eine bewegte Punktladung wirkenden Lorentzkraft her; diese wirkt auf die einzelnen Ladungsträger im Leiter.
[[Datei:Lorentzkraft auf Leiterstueck.svg|miniatur|Lorentzkraft am Leiterstück]]
[[Datei:Homopolar motor.png|mini|Der Stromfluss durch eine elektrisch leitende Scheibe in einem senkrecht zu ihr verlaufenden Magnetfeld versetzt die Scheibe (ähnlich wie die Salzlösung im vorhergehenden Abschnitt, s. o.) in Rotation ([[Homopolarmotor]]).]]

Um die genannten Vorgänge rechnerisch zu erfassen, werde der Einfachheit halber zunächst ein gerades Stück Draht der gerichteten Länge <math>\vec \ell</math> betrachtet, das in einem zeitlich konstanten homogenen äußeren Magnetfeld der Flussdichte <math>B</math> liegt. Durch den Draht fließe ein ebenfalls zeitlich konstanter Strom der Stärke <math>I</math>, sodass seine Leitungselektronen sich mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit <math>\vec v</math> durch den Draht bewegen und dabei in der Laufzeit <math>t</math> die Gesamtladung
:<math>q = I\,t</math>
mit der Geschwindigkeit
:<math>\vec{v} = \frac {\vec{\ell}}{t}</math>
transportieren. Wegen <math>q\,\vec{v}=I\,\vec{\ell}</math> ist damit die Summe der Lorentzkräfte auf alle am Stromfluss beteiligten Leitungselektronen und damit auf das Drahtstück als Ganzes
:<math>\vec{F_\text{L}}= q\, (\vec{v}\times \vec{B})=I\, (\vec{\ell}\times \vec{B}).</math>

Die zugehörige Betragsgleichung lautet dann
:<math>|\vec F_\text{L}| = |I| \, |\vec {\ell}|\,|\vec B| \, \sin \alpha</math>

mit <math>\alpha</math> als dem [[Winkel]] zwischen der Längsrichtung des Drahtes und der Richtung der magnetischen Flussdichte <math>\vec B</math>.

Verläuft der Draht genau senkrecht zum Magnetfeld, ist <math>\sin \alpha = 1</math> und die Gleichung vereinfacht sich zu
:<math>|\vec F_\text{L}| = |I| \, |\vec {\ell}|\,|\vec B|.</math>

Für gekrümmte Leiter muss die Kraftwirkung durch Integration berechnet werden, indem das Magnetfeld nur für infinitesimal kleine Stücke <math>\mathrm{d}\boldsymbol{\vec {\ell}}</math> des Leiters als konstant angesehen wird. Damit ergibt sich folgende Formel:

:<math>\vec{F_\text{L}} = I\int \mathrm{d}\boldsymbol{\vec {\ell}}\times \vec{B}</math>

=== Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern ===
{{Siehe auch|Ampèresches Kraftgesetz}}
Verknüpft man die Formel für die Lorentzkraft ''auf'' stromdurchflossene Leiter mit dem [[Biot-Savart-Gesetz]] für das Magnetfeld ''um'' stromdurchflossene Leiter, so ergibt sich eine Formel für die Kraft, die zwei stromdurchflossene dünne Leiter aufeinander ausüben, was in der Literatur auch als ampèresches ''Kraftgesetz'' (nicht zu verwechseln mit dem [[Ampèresches Gesetz|ampèreschen Gesetz]]) bezeichnet wird.<ref>Der deutschsprachige Ausdruck „Ampèresches Kraftgesetz“ kommt in der aktuellen Literatur und Lehre vor, siehe z. B. Dietmar Petrascheck, Franz Schwabl: ''[https://books.google.de/books?id=eSA3CwAAQBAJ&pg=PA619&lpg=PA619&dq=%22Amp%C3%A8re%27sches+Kraftgesetz%22&source=bl&ots=PJVBS7Uw_B&sig=_XvWZ2uQhY0aUfDQMOD6PxXQvVI&hl=de&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=%22Amp%C3%A8re%27sches%20Kraftgesetz%22&f=false Elektrodynamik.]'' (Springer, 2. Auflage, 2014) oder ''[http://people.physik.hu-berlin.de/~mitdank/dist/scripten/amperesches-gesetz.pdf Das Ampere’sche Gesetz.]'' (Skript auf der Website der Humboldt-Universität zu Berlin), allerdings vergleichsweise selten, denn eine Google-Suche nach dem Begriff ergab z. B. nur 58 Treffer. Das englische Pendant „Ampère’s force law“ dagegen ist viel gebräuchlicher, der Ausdruck liefert über 2000 Treffer und hat einen eigenen (englischen) Wikipedia-Artikel. Jeweils abgerufen am 19. Mai 2016.</ref>

Wenn die beiden Leiter dünn sind und einander parallel gegenüberliegen wie die gegenüberliegenden Seiten eines [[Rechteck]]s, dann ergibt sich die schon von der [[#Historische Definition der Maßeinheit Ampere|Ampère-Definition]] her bekannte einfache Formel für den Kraftbetrag <math>F_{12}</math> der aufeinander wirkenden (nach dem [[Wechselwirkungsprinzip]] gleich großen) Kräfte:
:<math>F_{12} =\ell \cdot \frac{\mu_0}{2\pi} \frac {I_1 I_2 } {r}</math>
Dabei ist <math>\ell</math> die (bei beiden Leitern gleich große) Länge der Leiter, <math>r</math> ihr gegenseitiger Abstand und <math>I_1, \, I_2</math> sind die Stromstärken in den beiden Leitern.

== Elektromagnetische Induktion ==
[[Datei:Lorentzkraft und Induktion.svg|mini|Lorentzkraft und Induktion]]
[[Datei:Homopolar generator principle.png|mini|Die Rotation einer elektrisch leitenden Scheibe in einem senkrecht zu ihr verlaufenden Magnetfeld erzeugt eine Induktionsspannung zwischen ihrer Achse und Peripherie ([[Unipolargenerator]]).]]
{{Hauptartikel|Elektromagnetische Induktion}}Des Weiteren erklärt die Lorentzkraft die Umwandlung mechanischer Bewegung in elektrische Spannung. Dabei ergibt sich mittels der Lorentzkraft eine alternative Herleitung der elektromagnetischen Induktion statt über die Flussänderung.<ref>{{Literatur
| Autor=[[Paul A. Tipler]], Gene Mosca
| Titel=Physik für Wissenschaftler und Ingenieure
| Auflage=2
| Verlag=Spektrum Akademischer Verlag
| Datum=2004
| ISBN=3-8274-1164-5
| Seiten=907 ff.
}}</ref>
Der Einfachheit halber sei wieder ein gerades Stück Draht der Länge <math>l</math> betrachtet, das nun mit der konstanten Geschwindigkeit <math>\vec v</math> ''quer'' durch ein senkrecht zu ihm verlaufendes zeitlich konstantes homogenes äußeres Magnetfeld der Flussdichte <math>B</math> geschoben werde, also so, dass die Längsrichtung des Drahtes dabei außerdem senkrecht auf <math>\vec v</math> steht.

Wie weiter oben erläutert, halten sich in diesem Fall zwei Kräfte die Waage, zum einen die Lorentzkraft <math>\vec {F_\text{L}}</math>, die die Leitungselektronen des Drahtes in Richtung eines seiner beiden Enden verschiebt, zum anderen die auf die Leitungselektronen wirkende Coulombkraft <math>\vec {F_\text{C}}</math> aufgrund der durch die Ladungstrennung zwischen beiden Leiterenden induzierten elektrischen Spannung:

:<math>\vec F_\text{L} + \vec F_\text{C} = 0 \Leftrightarrow \vec F_\text{C} = -\vec F_\text{L} \Leftrightarrow q\, \vec E = -q\, (\vec{v}\times \vec{B})</math>

Herauskürzen der, wie zu sehen, hier gänzlich unerheblichen Gesamtladung <math>q</math> und [[skalare Multiplikation]] mit dem Vektor der gerichteten Leiterlänge <math>\vec {\ell}</math> liefert schlussendlich die Gleichung für die gesuchte Induktionsspannung <math>U_\text{ind}</math>:

:<math>U_\mathrm{ind} = \vec {\ell} \cdot \vec E = -\vec {\ell} \cdot (\vec{v}\times \vec{B}) = (\vec {\ell} \times \vec{B}) \cdot \vec{v}</math>

Sind die drei Vektoren, wie eingangs verlangt, paarweise senkrecht zueinander, vereinfacht sich das [[Spatprodukt]] ''l·(v×B),'' sodass sich die bekannte Formel

:<math>U_\text{ind} = -|\vec \ell | \, |\vec v| \, |\vec B|</math>

ergibt (siehe dazu auch den Artikel [[Leiterschaukel]]).

== Lenzsche Regel ==
[[Datei:Bewegter Leiter im Feld Res.svg|miniatur|Stromkreis demonstriert Lenzsche Regel.]]
[[Datei:Lorentzkraft und Lenzsche Regel.svg|miniatur|Lorentzkraft erklärt Lenzsche Regel.]]
[[Datei:Lorentzkraft 1&2 xtd.png|mini|Vektorielle Herleitung der Gegenkraft FL2.]]
{{Hauptartikel|Lenzsche Regel}}Überbrückt man nun beide Enden des bewegten Leiters mit einem ohmschen Widerstand der Größe R, der dagegen nicht gegenüber dem Magnetfeld bewegt wird, entsteht eine geschlossene Leiterschleife, über die sich die Induktionsspannung ausgleichen kann, sodass diese und das Produkt <math>I_\text{ind}\cdot R</math> also gemäß der [[Kirchhoffsche Regeln|Kirchhoffschen Maschenregel]] die Summe 0 liefern:
:<math>U_\mathrm{ind} + I_\text{ind} \cdot R = 0 \ \Leftrightarrow \ {I_\text{ind}} = \frac {-U_\text{ind}}{R} = \frac {\vec {\ell} \cdot (\vec{v}\times \vec{B})}{R} = \frac {-(\vec {\ell} \times \vec{B}) \cdot \vec{v}}{R}</math>

Der durch den geschlossenen Stromkreis fließende Strom erzeugt nun eine weitere Lorentzkraft FL2, die der ursprünglichen Bewegungsrichtung entgegenwirkt:
:<math>F_\text{L2} = {I_\text{ind}} \cdot \vec {\ell} \times \vec{B} = - \frac { {\ell}^2 \cdot B^2 } {R} \cdot \vec{v}</math>

Ist der Widerstand R der Leiterschleife dabei unendlich groß, z. B. der Stromkreis offen, ist keine Gegenkraft FL2 zu spüren – wird R dagegen, z. B. in [[Supraleiter]]n, unendlich klein, verhindert sie damit praktisch jegliche Bewegung.

Die Lorentzkraft erklärt somit nicht nur die Ladungstrennung, mit der die Induktionsspannung entsteht, sondern das Zustandekommen der Gegenkraft als Essenz der [[Lenzsche Regel|Lenzschen Regel]].<ref>{{Internetquelle
| autor=Grüninger, Landesbildungsserver
| url=http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_2/lenz/lenzregel.htm
| datum=2011
| titel=Die lenzsche Regel
| zugriff=2013-12-18
| archiv-url=https://web.archive.org/web/20131219015920/http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_2/lenz/lenzregel.htm
| archiv-datum=2013-12-19
| offline=1
}}</ref>

In gleicher Weise erzeugen [[Elektrischer Generator|Generatoren]] Spannung und lassen Ströme fließen, wodurch sie mechanische in elektrische Energie umformen, während beim [[Elektromotor]] umgekehrt Spannung und Strom so gerichtet sind, dass elektrische Energie aufgenommen und als verrichtete mechanische Arbeit wieder abgegeben wird.

== Wirkungsprinzip ==
Die Lorentzkraft ergibt sich in der lagrangeschen Formulierung der Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung <math>q</math> und der Masse <math>m</math> aus der [[Lagrangefunktion]]

:<math>\mathcal{L}(\vec{x},\vec{v},t)=-mc^{2}\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{2}}{c^{2}}}+q\,\vec{v}\cdot\vec{A}-q\,\Phi</math>.

Hierbei sind <math>\Phi(\vec{x},t)</math> und <math>\vec{A}(\vec{x},t)</math> das [[Elektrisches Potential|skalare Potential]] und das [[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]], die zu der elektrischen Feldstärke
:<math>\vec{E} = -\nabla \Phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}</math>
und der magnetischen Flussdichte
:<math>\vec{B} = \nabla \times\vec{A}</math>
gehören.

Das Prinzip der stationären Wirkung führt auf die [[Euler-Lagrange-Gleichungen]]
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\nabla_{\vec{v}}\mathcal{L}-\nabla_{\vec{x}}\mathcal{L}=0</math>.

Die Auswertung der in den [[Nabla-Operator]]en vorkommenden [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] liefert:
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m\,\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{2}}{c^{2}}}}+q\,\vec{A}\right)-q\,\nabla\left(\vec{v}\cdot\vec{A}\right)+q\,\nabla\Phi=0</math>

Dabei ist der erste Term in den runden Klammern der (kinetische) [[Relativistischer Impuls|Impuls]] (während der gesamte Ausdruck in den ersten runden Klammern den [[Generalisierter Impuls|generalisierten Impuls]] beschreibt) eines sich mit der Geschwindigkeit <math>\vec{v}</math> bewegenden Teilchens:
:<math>\vec{p}=\frac{m\,\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{2}}{c^{2}}}}</math>

Die [[Totale Ableitung|totale zeitliche Ableitung]] des Vektorpotentials, das explizit von der Zeit und von allen Ortskoordinaten abhängig ist, lautet unter Benutzung der Vektorrelation <math>\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A}</math>:

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{A}=\sum_{i}\frac{\partial\vec{A}}{\partial x_{i}}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=(\vec{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=-\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})+\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}</math>

Eingesetzt ergibt sich:

:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}-\underbrace{q\,\vec{v}\times\left(\nabla\times\vec{A}\right)}_{q\,\vec{v}\times\vec{B}} +\underbrace {q\,\nabla\Phi+q\,\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}}_{-q\,\vec{E}}=0</math>

Somit erhält man die Bewegungsgleichung in Abhängigkeit von E und B:

:<math>\frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} = \vec F = q\,(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})</math>

== Beispiele ==
=== Historische Definition der Maßeinheit Ampere ===
[[Datei:AtractionTwoWires.svg|mini|rechts|Kraftwirkung auf zwei gerade benachbarte Leiter]]
Die Lorentzkraft war von 1948 bis 2019 Grundlage der international gültigen Definition der [[SI-Einheit|SI-Basiseinheit]] [[Ampere]]:
: Ein Ampere ist ''„die Stärke eines zeitlich unbegrenzt unveränderlichen elektrischen Stroms, der durch zwei parallel im Abstand von 1 m im Vakuum angeordnete geradlinige, unendlich lange Leiter mit vernachlässigbar kleinem, kreisförmigem Querschnitt fließend, elektrodynamisch die Kraft von <math>2 \cdot 10^{-7}</math> N je m Leiterlänge zwischen diesen Leitern hervorrufen würde.“''

Der Betrag der Kraft ergibt sich nach dem [[Ampèresches Kraftgesetz|Ampèreschen Kraftgesetz]] für zwei gerade, benachbarte und dünne Linienleiter. Bei zwei Leitern, die jeweils vom Strom <math>I_1</math> bzw. <math>I_2</math> mit einem gegenseitigen Abstand <math>r</math> durchflossen werden, beträgt die längenbezogene magnetische Lorentzkraft <math>F'_{12}</math>:

:<math>F'_{12} = \frac {\mu_0}{ 2 \pi} \frac {I_1 I_2 } {r}</math>

Die resultierende Kraft ist hier anziehend, bei entgegengesetzt gerichteten Strömen wäre sie abstoßend.

=== Technische Anwendungen der Lorentzkraft ===
* Rotierende [[elektrische Maschine]]n wie der [[Elektromotor]] und der [[Elektrischer Generator|elektrische Generator]]
* [[Ablenkmagnet]]e und Ablenksysteme zur [[Fokus]]sierung und Ablenkung von geladener [[Teilchenstrahlung]] (zum Beispiel in der [[Kathodenstrahlröhre]], in [[Bildröhre]]n, in allen [[Kreisbeschleuniger]]n)
* [[Geschwindigkeitsfilter|Wienfilter]], der nur Ionen einer bestimmten Geschwindigkeit passieren lässt
* In magnetfeldabhängigen Widerständen, wie in der [[Feldplatte]], beim [[Hall-Effekt]] und den darauf basierenden [[Hall-Sensor]]en
* [[Magnetohydrodynamischer Generator|Magnetohydrodynamische Generatoren]] und [[magnetohydrodynamischer Antrieb]]
* elektrodynamische Wandler, zum Beispiel [[Lautsprecher]], [[Dynamisches Mikrofon|dynamische Mikrofone]], [[Drehspulmesswerk]]e
* magnetischer Einschluss des Plasmas in [[Kernfusionsreaktor]]en wie beim [[Tokamak]] und beim [[Stellarator]]
* Berührungslose Durchflussmessung mit [[Lorentzkraft-Anemometrie]]
* [[Massenspektrometrie]] zur chemischen und physikalischen Analytik

=== Lorentzkräfte in der Natur ===
* Die Ablenkung des [[Sonnenwind]]s durch das Magnetfeld der [[Erde]] im [[Van-Allen-Gürtel]] erfolgt durch die Lorentzkraft.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Siehe auch ==
* [[Induktionsgesetz]]
* [[Reluktanzkraft]]

== Weblinks ==
{{Commons|Lorentz force|Lorentzkraft}}
{{Wiktionary|Lorentz-Kraft}}
* [https://www.walter-fendt.de/html5/phde/lorentzforce_de.htm Java-Applet zum Experimentieren mit der Lorentzkraft]
* [https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/kraft-auf-stromleiter-e-motor/grundwissen/lorentz-kraft Versuche und Aufgaben zur Lorentzkraft] ([[LEIFI]])
* [https://www.portal-physik.de/B-Feld/Lorentzkraft/Lorentzkraft%20web.htm Lorentzkraft und Drei-Finger-Regel auf Oberstufenniveau] (portal-physik.de)

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[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Hendrik Antoon Lorentz]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Lorentzkraft - Versionsgeschichte

~2026-41886-9: Indizes/Kräfte waren vertauscht