imported>Wassermaus: Unformuliert, es war nicht klar, was Äquivalenz und "normaler" Lorentz-Faktor sein sollten

2026-04-26T06:38:04Z

Unformuliert, es war nicht klar, was Äquivalenz und "normaler" Lorentz-Faktor sein sollten

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[[Datei:Lorentz factor.svg|mini|Der Lorentz-Faktor <math>\gamma</math> als [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] der Relativgeschwindigkeit <math>v</math>]]
[[Datei:Inverse Lorentz factor.svg|mini|Der [[Funktionsgraph|Graph]] des [[Kehrwert|reziproken]] Lorentz-Faktors <math>1/\gamma</math> als Funktion von <math>v/c</math> ist ein Viertelkreis.]]
Der [[Dimensionslose Größe|dimensionslose]] '''Lorentz-Faktor''' <math>\gamma</math> (gamma) beschreibt in der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] die [[Zeitdilatation]] sowie den [[Kehrwert]] der [[Längenkontraktion]] bei der [[Koordinatentransformation]] zwischen relativ zueinander bewegten [[Inertialsystem]]en. Er wurde von [[Hendrik Antoon Lorentz]] im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten [[Lorentz-Transformation]] entwickelt, die die mathematische Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet.

Wenn die Geschwindigkeit so hoch ist, dass sie einige Prozent der [[Lichtgeschwindigkeit]] beträgt („'''relativistische Geschwindigkeit'''“), weicht der Lorentz-Faktor signifikant von Eins ab und relativistische Effekte müssen berücksichtigt werden.

== Definition ==
Der Lorentz-Faktor ist definiert als:

:<math>\gamma = \frac 1 {\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2}} </math>

* <math>v</math> bezeichnet die [[Relativgeschwindigkeit]] zweier [[Bezugssystem]]e.
* Die [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> ist eine vom Bezugssystem unabhängige [[Naturkonstante]].

Zur Vereinfachung von Formeln gibt man die Relativgeschwindigkeit oft als Bruchteil <math>\beta</math> der Lichtgeschwindigkeit an. Mit
:<math>\beta = \frac v c</math>
schreibt sich der Lorentz-Faktor als

:<math>\gamma = \frac 1 {\sqrt{1 - \beta ^2}}</math>.

Für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme gilt
:<math>\left .
\begin{array}{c} v = 0 \\ \beta=0 \end{array}
\right\rbrace \ \Rightarrow \;\gamma = 1
</math>.

Ist <math>v \neq 0</math>, aber klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, also

:<math>v \ll c \ \ \text{bzw.} \ \ \beta \ll 1</math>,

so wird durch eine [[Taylor-Entwicklung]]

:<math>\gamma = 1 + \frac 12 \beta^2 + \frac 38 \beta^4 + \mathcal O\left(\beta^6\right)</math>.

In welcher Ordnung die Entwicklung in der [[klassische Physik|klassischen Physik]] abgebrochen werden kann, ist nicht allgemein zu beantworten. Für die meisten Anwendungen kann <math>\gamma</math> als konstant Eins angenommen werden, für die [[kinetische Energie]] entspricht die Entwicklung bis zur ersten Ordnung (<math>\beta^2</math>) dem Wert der newtonschen Physik, denn <math>\tfrac 1 2 \beta^2\cdot mc^2 = \tfrac 1 2 mv^2</math>.

== Lorentz-Faktor in Abhängigkeit von der Energie ==
Der Lorentz-Faktor lässt sich angeben als:

:<math> \gamma = \frac{E_\mathrm{kin}}{E_0} + 1 = \frac{E_\mathrm{gesamt}}{E_0} </math>

mit
* der [[kinetische Energie|kinetischen Energie]] <math>E_\mathrm{kin}</math> des betrachteten Objektes
* seiner [[Ruheenergie]]<ref name="m-invar" group="A" /> <math>E_0 = mc^2</math> und
* der gesamten Energie <math>E_\mathrm{gesamt} = E_0 + E_\mathrm{kin}</math>.

== Lorentz-Faktor in Abhängigkeit vom Impuls ==

Mit dem [[Relativistischer Impuls|relativistischen Dreierimpuls]] <math>\vec p</math> eines Objekts der [[Masse (Physik)|Masse]]<ref name="m-invar" group="A" /> <math>m\,</math> hängt der
Lorentz-Faktor wie folgt zusammen:

:<math>\vec p = \gamma m \vec v</math>
und
:<math>\gamma = \sqrt {1 + \left( \frac{\vec p}{m c} \right) ^2}</math>.

Dass der Zusammenhang vom <math>\gamma\,</math> mit der Energie und dem Impuls [[Äquivalenzrelation|äquivalent]] sind, erkennt man durch Einsetzen in die [[Energie-Impuls-Relation]]:
:<math>\vec p^2 = E^2/c^2 - m^2c^2 = \underbrace{(\gamma^2 -1)\cdot c^2}_{\left(\frac{1}{1-\beta^2}-\frac{1-\beta^2}{1-\beta^2}\right)c^2=\beta^2 c^2\gamma^2} \!\!\!\cdot \, m^2 =\gamma^2v^2 m^2 </math>

== Lorentz-Faktor bei Beschleunigungen ==
Die zeitliche Ableitung von <math>\gamma</math> ist interessant, um die relativistische Form des [[Newtonsche Gesetze#Zweites Newtonsches Gesetz|zweiten newtonschen Gesetzes]] <math>\vec F = m \vec a</math> für Beschleunigungen in Bewegungsrichtung zu formulieren, da die relativistisch korrekte Beziehung <math>\vec F = \tfrac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \vec p</math> über den [[Impuls]] lautet.

Aus <math>\vec p = \gamma m \vec v</math> folgt direkt:

:<math>\vec F = m \vec v\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \gamma + \gamma m \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec v + \underbrace{\gamma \vec v \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}m}_{=0}.</math>

Der dritte Summand ist null, weil die Masse sich bei Beschleunigung nicht ändert.<ref name="m-invar" group="A">Wie in der deutschen Wikipedia generell üblich verwenden wir nicht das Konstrukt der [[Relativistische Massenzunahme|relativistischen Massenzunahme]].</ref> Mit der zeitlichen Ableitung des Lorentz-Faktors

:<math> \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\gamma = \gamma^3 \frac{\vec v}{c} \cdot \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\vec v}{c}</math>

erhält man die folgende Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung:<ref>{{Literatur|Autor=Thorsten Fließbach|Titel=Mechanik|Verlag=Spektrum|Auflage=6|Datum=2013|Ort=Heidelberg|Seiten=327}}</ref>

:<math>\vec F = m \gamma^3 \left( \frac{\vec v}{c} \cdot \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\vec v}{c} \right) \vec v + \gamma m \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \vec v\,.</math>

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Lorentzfaktor}}

[[Kategorie:Spezielle Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Dimensionslose Größe]]
[[Kategorie:Hendrik Antoon Lorentz]]

Lorentz-Faktor - Versionsgeschichte

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