https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?action=history&feed=atom&title=Longchamps-PunktLongchamps-Punkt - Versionsgeschichte2026-06-07T11:33:43ZVersionsgeschichte dieser Seite in Wikipedia (Deutsch) – Lokale KopieMediaWiki 1.43.8https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Longchamps-Punkt&diff=1154568&oldid=previmported>Wfstb: /* Eigenschaften */ Link2025-01-27T10:39:49Z<p><span class="autocomment">Eigenschaften: </span> Link</p>
<p><b>Neue Seite</b></p><div>[[Datei:Longchamps punkt.svg|mini|hochkant=1.25|Longchamps-Punkt L]]<br />
Der '''Longchamps-Punkt (Punkt von De Longchamps),''' benannt nach dem französischen Mathematiker [[Gaston Albert Gohierre de Longchamps|Gohierre de Longchamps]] (1842–1906), gehört zu den [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneten Punkten]] eines [[Dreieck]]s. Er ist definiert als der [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelpunkt]] (L) des [[Höhe (Geometrie)|Höhenschnittpunkts]] (H) am [[Umkreis]]mittelpunkt (U).<ref>{{MathWorld |id=deLongchampsPoint |title=de Longchamps Point}}</ref><br />
<br />
== Eigenschaften ==<br />
* Der Longchamps-Punkt liegt auf der [[Eulersche Gerade|eulerschen Geraden]].<ref name="ETC-X20">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X20 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(20) |sprache=en |abruf=2025-01-27}}</ref><br />
* Der Longchamps-Punkt liegt mit dem [[Gergonne-Punkt]] und dem [[Inkreis]]mittelpunkt auf einer Geraden, nämlich der [[Soddy-Gerade]]n.<ref>{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=162}}</ref><br />
<br />
== Koordinaten ==<br />
<br />
Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] des Longchamps-Punkts (<math>X_{20}</math>) sind<br />
:<math>(\cos\alpha - \cos\beta \cos\gamma) \, : \, (\cos\beta - \cos\gamma \cos\alpha) \, : \, (\cos\gamma -\cos\alpha \cos\beta).</math><ref name="ETC-X20" /><br />
<br />
Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind (gleichwertig)<br />
:<math>(\tan\beta + \tan\gamma -\tan\alpha) \,: \, (\tan\gamma+\tan\alpha-\tan\beta) \,: \, (\tan\alpha+\tan\beta-\tan\gamma)</math> oder<br />
:<math>f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)</math> mit <math>f(a,b,c) = 2 a^2 (b^2 + c^2) + (b^2 - c^2)^2 - 3 a^4.</math><ref name="ETC-X20" /><br />
<br />
Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.<br />
<br />
== Literatur ==<br />
* A. Vandeghen: ''Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle''. The American Mathematical Monthly, Band 71, Nr. 2 (Feb., 1964), S. 176–179 ({{JSTOR|2311750}})<br />
<br />
== Weblinks ==<br />
*{{MathWorld|id = deLongchampsPoint|title = de Longchamps Point}}<br />
<br />
== Einzelnachweise ==<br />
<references /><br />
<br />
[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]</div>imported>Wfstb