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2025-12-11T10:09:10Z

Verschwinden im Unendlichen

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Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] sind die '''lokalkompakten Räume''' (auch '''lokal kompakten Räume''') eine Klasse [[Topologischer Raum|topologischer Räume]], die eine gewisse [[Lokal (Topologie)|lokale]] Endlichkeitsbedingung erfüllen. Sie wurden 1924 von [[Heinrich Tietze]] und [[Pawel Sergejewitsch Alexandrow]] unabhängig voneinander eingeführt. Die beiden Mathematiker erkannten auch, dass sich das aus der [[Funktionentheorie]] bekannte Verfahren, die [[gaußsche Zahlenebene]] zur [[riemannsche Zahlenkugel|riemannschen Zahlenkugel]] abzuschließen, auf die Klasse der lokalkompakten Räume übertragen lässt. Dieses Verfahren heißt daher auch [[Alexandroff-Kompaktifizierung]].<ref>[[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie.'' 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 330.</ref>

== Definition ==
Ein [[topologischer Raum]] heißt ''lokalkompakt'', wenn jede [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] eines jeden Punktes eine [[Kompakter Raum|kompakt]]e Umgebung enthält; falls also jeder Punkt eine [[Umgebungsbasis]] aus kompakten Mengen besitzt.

Ein [[Hausdorff-Raum]] ist bereits dann lokalkompakt, wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt. Manchmal findet sich daher in der Literatur auch folgende Definition, bei der zusätzlich die Hausdorff-Eigenschaft gefordert wird:

Ein topologischer Raum heißt ''lokalkompakt'', wenn er ein Hausdorff-Raum ist und jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt.

== Folgerungen ==
Ein Hausdorff-Raum ist genau dann lokalkompakt, wenn die [[Alexandroff-Kompaktifizierung]], die durch Hinzufügen eines einzigen unendlich fernen Punktes <math>\infty</math> entsteht und stets [[Kompakter Raum|kompakt]] (= quasikompakt in der Terminologie einiger Autoren, z. B. Bourbaki und [[Boto von Querenburg]]) ist, sogar hausdorffsch ist.

Daraus erhält man folgende Charakterisierung:

Die lokalkompakten Hausdorff-Räume sind genau die offenen [[Unterraum#Topologischer Raum|Unterräume]] kompakter Hausdorff-Räume.

Hieraus folgt, dass jeder lokalkompakte Hausdorff-Raum [[Vollständig regulärer Raum|vollständig regulär]] ist, denn jeder kompakte Hausdorff-Raum ist [[Normaler Raum|normal]] und damit gemäß dem [[Lemma von Urysohn]] vollständig regulär, was sich im Gegensatz zur Normalität auf den Unterraum vererbt.

Jeder lokalkompakte Hausdorff-Raum ist ein [[Baire-Raum (allgemein)#Definition|Baire-Raum]], das heißt, der Durchschnitt abzählbar vieler offener, [[Dichte Teilmenge|dichter Teilmengen]] ist dicht.

== Permanenz-Eigenschaften ==
* [[Abgeschlossene Menge|Abgeschlossene]] [[Teilraumtopologie|Unterräume]] und [[Offene Menge|offene]] Unterräume lokalkompakter Räume sind wieder lokalkompakt.
* Endliche [[Produkttopologie|Produkte]] lokalkompakter Räume sind wieder lokalkompakt. Allgemeiner ist das Produkt einer beliebigen Familie topologischer Räume genau dann lokalkompakt, wenn alle beteiligten Räume lokalkompakt und höchstens endlich viele davon nicht kompakt sind.
* Das [[Summentopologie|Koprodukt]] einer beliebigen Familie lokalkompakter Räume ist lokalkompakt genau dann, wenn alle beteiligten Räume lokalkompakt sind.<ref name="bartsch">René Bartsch: ''[https://books.google.de/books?id=GaOlCQAAQBAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&hl=de#v=onepage&q&f=false Allgemeine Topologie].'' Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2015, ISBN 978-3-110-40618-4, S. 160 ({{Google Buch |BuchID=GaOlCQAAQBAJ |Seite=160}}).</ref>
* Das Bild eines lokalkompakten Raumes unter einer [[Stetige Funktion|stetigen]], [[Offene Menge#Offene Abbildung|offenen]] Abbildung ist lokalkompakt.

== Abzählbarkeit im Unendlichen ==
Ein lokalkompakter Raum heißt ''[[abzählbar im Unendlichen]]'', wenn er durch abzählbar viele kompakte Teilmengen überdeckt wird.
Dies ist gleichbedeutend dazu, dass der unendliche Punkt <math>\infty</math> in der [[Alexandroff-Kompaktifizierung]] eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.

== Beispiele ==
* Jeder [[Diskrete Topologie|diskrete topologische Raum]] ist lokalkompakt.
* Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist lokalkompakt.
* Endlichdimensionale reelle oder komplexe [[Vektorraum|Vektorräume]] mit der [[Normtopologie]] sind lokalkompakt.
* Umgekehrt ist ein unendlichdimensionaler reeller oder komplexer [[Normierter Raum|normierter Vektorraum]], der [[Hausdorff-Raum|hausdorffsch]] ist, niemals lokalkompakt.
* Allgemeiner gilt: Ein mindestens eindimensionaler [[Kolmogorow-Raum|T0]]-[[topologischer Vektorraum]] über einem bzgl. der durch die Addition induzierten [[uniforme Struktur|uniformen Struktur]] vollständigen, nicht-[[diskrete Topologie|diskreten]] topologischen [[Schiefkörper]] ist genau dann lokalkompakt, wenn er endlichdimensional und der Schiefkörper lokalkompakt ist.<ref>{{Literatur|Autor=[[Nicolas Bourbaki]]|Reihe=Elements of Mathematics|Titel=V. Topological Vector Spaces|Kapitel=I|Seiten=15|ISBN=3-540-42338-9|Ort=Berlin|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|Jahr=2003|Übersetzer=H. G. Eggleston und S. Madan|Originaltitel=Éspaces vectoriels topologiques|Originalort=Paris|Originaljahr=1981}}</ref>
* Da Lokalkompaktheit eine lokale Eigenschaft ist, sind alle (endlichdimensionalen) [[Mannigfaltigkeit]]en lokalkompakt.
* [[Lokaler Körper|Lokale Körper]] sind lokalkompakt, insbesondere die [[P-adische Zahl|''p''-adischen Zahlen]] mit der Topologie, die durch den ''p''-adischen Absolutbetrag definiert wird.
* Die Menge der rationalen Zahlen, versehen mit dem Absolutbetrag, ist ''nicht'' lokalkompakt.

== Lokalkompakte Gruppen ==
{{Hauptartikel|Lokalkompakte Gruppe}}

Für die Theorie der [[topologische Gruppe]]n sind die lokalkompakten besonders interessant, da man auf diesen Gruppen bezüglich eines [[Haar-Maß]]es integrieren kann. Dieses ist eine Grundlage der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]].

== Lokalkompaktheit topologischer Vektorräume ==
{{Hauptartikel|Kompaktheitssatz von Riesz}}

Ist <math>X</math> ein [[hausdorffsch]]er [[topologischer Vektorraum]] über <math>\R</math>, dem [[Körper der reellen Zahlen]], so sind die folgenden Aussagen gleichwertig:<ref>{{Literatur|Autor=Lutz Führer|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen |Verlag=Vieweg |Ort=Braunschweig|Datum=1977|Seiten=116}}</ref>
:
: ''(i)  <math>X</math> ist von [[Endliche Menge|endlicher]] [[Dimension_(Mathematik)#Hamel-Dimension|Dimension]].''
: ''(ii)  <math>X</math> ist [[homöomorph]] zu einem <math>{\R}^n</math> .''
: ''(iii)  <math>X</math> ist lokalkompakt.''

== Verschwinden im Unendlichen ==
{{Hauptartikel|C0-Funktion|titel1=''C''0-Funktion}}
Ist <math>f\colon X\to {\mathbb K}</math> eine reell- oder komplexwertige Funktion auf einem lokalkompakten Raum <math>X</math>, so sagt man, <math>f</math> verschwinde im Unendlichen, wenn <math>f</math> außerhalb kompakter Mengen beliebig klein gemacht werden kann, d. h., wenn es zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> eine kompakte Menge <math>K\subset X</math> gibt mit <math>\left|f(x) \right| < \varepsilon </math> für alle <math>x\in X\setminus K</math>. Ist die Funktion zudem stetig, so nennt man sie ''C0-Funktion''.

== Literatur ==
* [[Johann Cigler]], [[Hans-Christian Reichel]]: ''Topologie. Eine Grundvorlesung.'' Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (''BI-Hochschultaschenbücher'' 121).
* [[Wolfgang Franz (Mathematiker)|Wolfgang Franz]]: ''Topologie.'' Band 1: ''Allgemeine Topologie.'' 4. Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-11-004117-0 (''Sammlung Göschen'' 6181).
* {{Literatur
|Autor=[[Lutz Führer]]
|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1977
|ISBN=3-528-03059-3
|Seiten=94 ff.,116 ff.
|Online=[https://zbmath.org/0342.54001 ''zbMATH Open'']}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie. Eine Einführung
|Auflage=4.
|Verlag=B. G. Teubner Verlag
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6
|Seiten=59 ff.
|Online=[https://zbmath.org/0339.54001 ''zbMATH Open'']}}
* {{Literatur
|Autor=[[Stephen Willard]]
|Titel=General Topology
|Reihe=Addison-Wesley Series in Mathematics
|Verlag=[[Addison-Wesley]]
|Ort=Reading, Massachusetts u. a.
|Datum=1970
|Online=[https://zbmath.org/0205.26601 ''zbMATH Open'']}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

{{Navigationsleiste Topologie}}

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Kompaktheit]]

Lokalkompakter Raum - Versionsgeschichte

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