imported>Tensorproduct: /* Haarmaß */ Ein paar Zusammenhänge zwischen invarianten Maßen und Lokalkompaktheit

2026-03-12T21:07:47Z

Haarmaß: Ein paar Zusammenhänge zwischen invarianten Maßen und Lokalkompaktheit

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Eine '''lokalkompakte Gruppe''' ist in der [[Mathematik]] eine [[topologische Gruppe]], deren zugrundeliegende [[Topologischer Raum|Topologie]] [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] ist. Diese Eigenschaft erlaubt es, einige vom [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] bekannte analytische Konzepte auf solche allgemeineren Gruppen zu verallgemeinern. Diese Gruppen, insbesondere ihre [[Darstellungstheorie|Darstellungen]], sind Untersuchungsgegenstand der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]]. Manche Autoren setzen zusätzlich noch die [[Hausdorff-Eigenschaft]] voraus.

== Definition ==
Eine topologische Gruppe ist eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math> mit Verknüpfung <math>\cdot</math> und [[Neutrales Element|neutralem Element]] <math>e</math> versehen mit einer Topologie, sodass sowohl <math>\cdot\colon G\times G\to G</math> (mit der Produkttopologie auf <math>G\times G</math>) als auch die Inversenbildung <math>x\mapsto x^{-1}</math> [[Stetige Funktion|stetig]] sind. Ein topologischer Raum heißt lokalkompakt, wenn jeder Punkt eine [[Umgebungsbasis]] aus [[Kompakter Raum|kompakten Mengen]] besitzt. Eine lokalkompakte Gruppe lässt sich aber auch mit weniger Voraussetzungen charakterisieren: Eine Gruppe <math>G</math> mit einer Topologie ist genau dann eine lokalkompakte Gruppe, wenn
* die Topologie [[präregulär]] ist,
* das neutrale Element <math>e</math> eine kompakte Umgebung <math>K</math> besitzt und
* die Gruppe eine [[semitopologische Gruppe]] bildet, d. h. die Abbildung <math>\cdot</math> in beiden Komponenten separat stetig ist, also für jedes <math>x\in G</math> die Translationsabbildungen <math>y\mapsto x\cdot y</math> und <math>y\mapsto y\cdot x</math> stetig sind.
Aufgrund der Stetigkeit der Linkstranslation um <math>x</math> ist für jedes <math>x\in G</math> die Menge <math>xK</math> kompakt und aufgrund der Stetigkeit der Linkstranslation um <math>x^{-1}</math> ist <math>xK</math> eine Umgebung von <math>x</math>. Jeder Punkt besitzt also eine kompakte Umgebung; der Raum ist somit aufgrund der Präregularität lokalkompakt. Weitergehende Überlegungen zeigen, dass jede lokalkompakte semitopologische Gruppe tatsächlich eine simultan stetige Verknüpfung <math>\cdot\colon G\times G\to G</math> besitzt (also eine [[paratopologische Gruppe]] ist) und auch die Inversenbildung stetig ist.<ref>{{Literatur |Autor=Ahmed Bouziad |Titel=Every Čech-Analytic Baire Semitopological Group is a Topological Group |Sammelwerk=Proceedings of the American Mathematical Society |Band=124 |Nummer=3 |Verlag=American Mathematical Society |Datum=1996 |ISSN=0002-9939 |DOI=10.1090/S0002-9939-96-03384-9}}</ref>

Manche Autoren setzen in der Definition stets die [[Hausdorff-Eigenschaft]] voraus. Es genügt meist (insbesondere in der Darstellungstheorie), sich auf solche Gruppen zu beschränken. Für jede lokalkompakte Gruppe ist nämlich der [[Kolmogorow-Quotient]] wiederum eine lokalkompakte Gruppe, die im Wesentlichen über dieselben Eigenschaften verfügt. Die Bildung des Kolmogorow-Quotienten ist als [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] [[Adjunktion (Kategorientheorie)|linksadjungiert]] zur Einbettung der hausdorffschen lokalkompakten Gruppen in die Kategorie der lokalkompakten Gruppen (mit stetigen Homomorphismen als Morphismen).

Ist die lokalkompakte Gruppe zusätzlich [[Abelsche Gruppe|abelsch]], dann nennt man sie ''lokalkompakte abelsche Gruppe'' oder kurz ''LCA-Gruppe'' (von {{EnS|locally compact abelian group}}).

== Beispiele ==
* Jede Gruppe versehen mit der [[Diskrete Topologie|diskreten Topologie]] oder der [[Klumpentopologie]] ist eine lokalkompakte Gruppe. (Letzteres Beispiel erfüllt allerdings nicht das Hausdorff-Axiom, das von einigen Autoren bei der Definition lokalkompakter Gruppen vorausgesetzt wird.)
* Der euklidische Raum <math>\R^n</math> bildet mit der Addition, <math>\R\setminus\left\{0\right\}</math> mit der Multiplikation und allgemeiner jede [[Lie-Gruppe]] mit der Gruppenmultiplikation eine lokalkompakte Gruppe.
* Für jede Menge <math>X</math> bildet <math>(\Z/2\Z)^X</math> nach dem [[Satz von Tichonow]] mit der elementweisen Addition eine kompakte und somit lokalkompakte Gruppe; für <math>X=\N</math> spricht man von der [[Cantor-Gruppe]].
* Der Körper der [[p-adische Zahl]]en <math>\Q_p</math> bildet mit der Addition, <math>\Q_p\setminus \left\{0\right\}</math> mit der Multiplikation eine lokalkompakte Gruppe. Allgemein gilt dies für alle [[Lokaler Körper|lokalen Körper]].
* Ein reeller oder komplexer [[normierter Vektorraum]] ist mit der Addition eine topologische Gruppe, die genau dann lokalkompakt ist, wenn der Raum endlichdimensional ist.
* Allgemeiner gilt: Ein mindestens eindimensionaler [[Kolmogorow-Raum|T<sub>0</sub>]] [[topologischer Vektorraum]] über einem nicht-[[Diskrete Topologie|diskreten]] topologischen [[Schiefkörper]], der bezüglich der durch die Addition induzierten [[Uniforme Struktur|uniformen Struktur]] vollständig ist, bildet mit der Addition eine lokalkompakte Gruppe, genau dann wenn er endlichdimensional und der Schiefkörper lokalkompakt ist.<ref>{{Literatur |Autor=[[Nicolas Bourbaki]] |Titel=V. Topological Vector Spaces |Reihe=Elements of Mathematics |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2003 |ISBN=3-540-42338-9 |Kapitel=I |Seiten=15 |Originaltitel=Éspaces vectoriels topologiques |Originaljahr=1981 |Originalort=Paris |Übersetzer=H. G. Eggleston und S. Madan}}</ref>
* Auf dem [[Freies Produkt|freien Produkt]] von mindestens zwei nichttrivialen Gruppen, insbesondere auf freien Gruppen, ist jede hausdorffsche lokalkompakte Gruppe diskret.<ref>{{Literatur |Autor=Sidney Allen Morris, Peter Nickolas |Titel=Locally compact group topologies on an algebraic free product of groups |Sammelwerk=Journal of Algebra |Band=38 |Nummer=2 |Verlag=Academic Press |Datum=1976 |ISSN=0021-8693 |Seiten=393–397 |DOI=10.1016/0021-8693(76)90229-5}}</ref>
* Der Kolmogorow-Quotient jeder höchstens [[Abzählbare Menge|abzählbaren]] lokalkompakten Gruppe ist diskret, dies lässt sich über den [[Satz von Baire]] oder Eigenschaften des [[Haar-Maß]]es zeigen.

== Topologische Eigenschaften ==
Lokalkompakte Gruppen sind wie jeder lokalkompakte Raum und jede topologische Gruppe [[vollständig regulär]]. Darüber hinaus sind sie sogar [[parakompakt]] und damit [[Normaler Raum|normal]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Nicolas Bourbaki]] |Titel=Topologie Générale |Reihe=Éléments de mathématique |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2007 |ISBN=3-540-33936-1 |Kapitel=3 |Seiten=35}}</ref> Dies lässt sich aus der [[Uniform lokalkompakter Raum|uniformen Lokalkompaktheit]] folgern, d. h. daraus, dass in der von der Gruppenstruktur induzierten links- oder rechtsseitigen [[Uniforme Struktur|uniformen Struktur]] eine Nachbarschaft <math>U</math> existiert, sodass <math>U[x]</math> für jedes <math>x\in G</math> eine kompakte Umgebung von <math>x</math> ist.<ref>{{Literatur |Autor=[[John L. Kelley]] |Titel=General Topology |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=1955 |ISBN=0-387-90125-6 |Seiten=214–215}}</ref>

=== Uniformität ===

Bezüglich der linksseitigen und der rechtsseitigen uniformen Struktur sind lokalkompakte topologische Gruppen [[Vollständiger Raum#Uniforme Räume|vollständig]], d. h. jeder [[Cauchy-Filter]] konvergiert.<ref name="bourbaki3.22">Bourbaki: ''Topologie Générale'', Kapitel 3, S. 22.</ref>

=== Metrisierbarkeit ===

Für jede topologische Gruppe, <math>G</math>, sind nach dem Birkhoff-Kakutani Theorem<ref>{{Cite journal|last=Birkhoff|first=G|date=1936|title=A note on topological groups|journal=[[Compositio Mathematica]]|language=en|volume=3|pages=427–430}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Kakutani|first=S|date=1936|title=Über die Metrisation der topologischen Gruppen|journal=Proc. Imp. Acad.|language=de|volume=12|pages=82–84}}</ref>
folgende Aussagen äquivalent:

# <math>G</math> (ist Hausdorff und) erfüllt das [[Erstes Abzählbarkeitsaxiom|erste Abzählbarkeitsaxiom]].
# <math>G</math> ist [[metrisierbar]].
# Es gibt eine unter Linksverschiebungen invariante (kurz: linksinvariante) Metrik auf <math>G</math>, die die Topologie auf <math>G</math> induziert.

Die Idee hinter dem Beweis der nicht trivialen Richtung (1 <math>\Rightarrow</math> 3): Wegen des [[Erstes Abzählbarkeitsaxiom|ersten Abzählbarkeitsaxioms]] und Stetigkeit der Gruppenoperationen lässt sich eine Folge <math>(U_{n})_{n\in\mathbb{N}}</math> von symmetrischen offenen Umgebungen der Identität <math>1 \in G</math> so konstruieren, dass <math>U_{n+1}U_{n+1} \subseteq U_{n}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>.
Man definiert <math>\delta:G\to[0,1]</math> durch <math>\delta(g):=\inf\{ 2^{-n} \mid n\in\mathbb{N},~g\in U_{n}\}</math> sowie eine »Längenfunktion« <math>\ell:G\to[0,1]</math> durch <math>\ell(g):=\inf\{\sum_{k=1}^{n}\delta_{0}(h_{k}) \mid n\in\mathbb{N},~h_{1},h_{2},\ldots,h_{n} \in G,~\prod_{k=1}^{n}h_{k}=g\}</math> und zeigt, dass die vermöge <math>d(g_{1},g_{2}):=\ell(g_{1}^{-1}g_{2})</math> definierte Funktion eine links-invariante kompatible Metrik bildet.

Nun, im Falle von lokal kompakten Gruppen gelten noch stärkere Aussagen. Zunächst wie bei jedem [[Regulärer Raum|regulären Raum]] besagt der [[Metrisierbarkeitssatz von Urysohn]], dass [[Metrisierbarkeit]] aus [[Zweites Abzählbarkeitsaxiom|Zweitabzählbarkeit]] folgt. Genauer erfasst sind folgende Aussagen äquivalent:

# <math>G</math> ist lokal kompakt Hausdorff und erfüllt das [[Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]].
# <math>G</math> ist ein lokal kompakter [[Polnischer Raum]].
# <math>G</math> ist durch eine »echte« Metrik [[metrisierbar]]. (''Unter einer echten—en: ‘proper’—Metrik versteht man eine Metrik, deren abgeschlossene Kugeln kompakt sind.'')
# Es gibt eine linksinvariante, »echte« Metrik auf <math>G</math>, die die Topologie auf <math>G</math> induziert.

Die Implikationen 4 <math>\Rightarrow</math> 3 <math>\Rightarrow</math> 2 <math>\Rightarrow</math> 1 sind bekannt für alle topologischen Räumen.
Die nichttriviale Implikation 1 <math>\Rightarrow</math> 4 wurde erst 1974 von Raimond Struble gezeigt.<ref>{{Cite journal|last=Struble|first=Raimond A.|date=1974|title=Metrics in locally compact groups|url=http://www.numdam.org/item/?id=CM_1974__28_3_217_0|journal=Compositio Mathematica|language=en|volume=28|issue=3|pages=217–222}}</ref> Einen alternativen Ansatz wurde 2006 von [[Uffe Haagerup]] und Agata Przybyszewska demonstriert.<ref>{{Cite journal|last=Haagerup|first=Uffe|last2=Przybyszewska|first2=Agata|title=Proper metrics on locally compact groups, and proper affine isometric actions on|url=https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.236.827|journal=arxiv Operator Theory|language=en|date=2006}}</ref>
Eine Skizze des letzten Ansatzes ist wie folgt: Man wählt irgendeine linksinvariante kompatible Metrik, die laut des Birkhoff-Kakutani Theorems existiert. Wegen lokaler Kompaktheit sind abgeschlossene Kugeln mit genügend kleinem Radius kompakt und nach Normalisierung kann man ohne Einschränkung annehmen, diese seien vom Radius 1. Der algebraische Abschluss der offenen Einheitskugel unter Multiplikation liefert eine offene und deshalb [[Abgeschlossene offene Menge|abgeschlossene]] Untergruppe, <math>H</math>, von <math>G</math>, auf der die Metrik »echt« ist. Da <math>H</math> offen ist und <math>G</math> das [[Zweites Abzählbarkeitsaxiom|zweite Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt, hat die Untergruppe höchstens [[Abzählbare Menge|abzählbar]] viele [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Linksnebenklassen]]. Man nutzt diese Folge sowie die »echte« Metrik auf <math>H</math> aus, um eine »echte« Metrik auf <math>G</math> zu konstruieren.

== Untergruppen und Quotienten ==
Eine Untergruppe <math>H</math> einer lokalkompakten Gruppe <math>G</math> ist genau dann wiederum lokalkompakt, wenn sie abgeschlossen ist. Die Hinrichtung gilt für beliebige Teilmengen lokalkompakter Räume nicht (man betrachte etwa eine nichttriviale offene Teilmenge des euklidischen Raumes). Sie ergibt sich daraus, dass jeder vollständige Teilraum eines uniformen Raumes abgeschlossen ist.<ref name="bourbaki3.22" /> Ist <math>H</math> abgeschlossen, so ist der Raum der [[Linksnebenklasse]]n <math>G/H</math> mit der [[Quotiententopologie]] ein lokalkompakter [[homogener Raum]], auf dem <math>G</math> durch Linksmultiplikation operiert. Ist eine abgeschlossene Untergruppe sogar ein [[Normalteiler]], so ist die [[Quotientengruppe]] wiederum eine lokalkompakte Gruppe.

Jede lokalkompakte Gruppe besitzt eine Untergruppe, die offen (äquivalent dazu: Umgebung des neutralen Elements), abgeschlossen (was aus der Offenheit folgt) und [[σ-kompakt]] ist. Sie ist somit disjunkte Vereinigung σ-kompakter Teilräume (nämlich der Linksnebenklassen oder Rechtsnebenklassen dieser Gruppe) mit der [[Summentopologie]].<ref>{{Literatur |Autor=Gerald Budge Folland |Titel=A Course in Abstract Harmonic Analysis |Verlag=CRC Press |Datum=1995 |ISBN=0-8493-8490-7 |Seiten=33}}</ref>

Für jede topologische Gruppe <math>G</math> und eine lokalkompakte Untergruppe <math>H</math> ist der Raum der Linksnebenklassen <math>G/H</math> bezüglich des Quotienten der rechtsseitigen uniformen Struktur von <math>G</math> durch <math>H</math>, d. h. die [[Finaluniformität]] bzgl. der [[Kanonische Surjektion|kanonischen Surjektion]] von <math>G</math> nach <math>G/H</math>, vollständig.<ref>{{Literatur |Autor=Walter Roelcke, Susanne Dierolf |Titel=Uniform structures on topological groups and their quotients |Verlag=McGraw-Hill |Datum= |ISBN=0-07-053412-8 |Seiten=199 |Online=[http://books.google.de/books?hl=de&id=5A6oAAAAIAAJ books.google.de]}}</ref> Für jede [[diskrete Untergruppe]] <math>H</math> ist eine topologische Gruppe <math>G</math> genau dann lokalkompakt, wenn der Raum <math>G/H</math> lokalkompakt ist.<ref>Roelcke, Dierolf, S. 95.</ref>

== Struktur ==
Jede hausdorffsche lokalkompakte Gruppe lässt sich in einem gewissen Sinne durch Lie-Gruppen ''approximieren'': Jede solche Gruppe <math>G</math> besitzt eine offene Untergruppe <math>G^\prime</math>, sodass für jede Umgebung des neutralen Elements eine Teilmenge <math>K</math> existiert, die kompakter Normalteiler von <math>G^\prime</math> ist, sodass <math>G^\prime/N</math> eine Lie-Gruppe ist.<ref>{{Literatur |Autor=[[Hidehiko Yamabe]] |Titel=A Generalization of A Theorem of Gleason |Sammelwerk=[[Annals of Mathematics]] |Band=58 |Nummer=2 |Datum=1953 |ISSN=0003-486X |Seiten=351–365 |JSTOR=1969792}}</ref> Jede zusammenhängende, hausdorffsche lokalkompakte Gruppe <math>G</math> besitzt somit einen kompakten Normalteiler <math>K</math>, sodass <math>G/K</math> eine Lie-Gruppe ist, und ist Untergruppe eines Produktes von Lie-Gruppen.<ref>{{Literatur |Autor=Sidney Allen Morris |Titel=Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=1977 |ISBN=978-0-521-21543-5 |Seiten=125}}</ref>

Schon bevor diese Aussage gezeigt wurde, war bewiesen worden, dass jede zusammenhängende lokalkompakte Gruppe <math>G</math>, die diese Approximationseigenschaft erfüllt (also jede hausdorffsche, wie man heute weiß) homöomorph zu <math>\R^n\times K</math> für eine natürliche Zahl <math>n</math> und eine [[kompakte Gruppe]] <math>K</math> (mit neutralem Element <math>0</math>) ist. Ein Homöomorphismus <math>\phi\colon\R^n\times K\to G</math> lässt sich so wählen, dass alle Einschränkungen <math>\phi{\upharpoonright}\{0\}^i\times\R\times\{0\}^{n-i}</math> und <math>\phi{\upharpoonright}\{0\}^n\times K</math> Isomorphismen topologischer Gruppen sind.<ref>{{Literatur |Autor=[[Iwasawa Kenkichi]] |Titel=On Some Types of Topological Groups |Sammelwerk=[[Annals of Mathematics]] |Band=50 |Nummer=3 |Datum=1949 |ISSN=0003-486X |Seiten=507–558 |JSTOR=1969548}}</ref>

Für zusammenhängende [[maximal fast-periodische Gruppe]]n, d. h. Gruppen, deren endlichdimensionalen unitären Darstellungen [[punktetrennend]] sind, dazu zählen alle abelschen Gruppen, lässt sich sogar ganz <math>\phi</math> als Isomorphismus topologischer Gruppen wählen.<ref>Morris: ''Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups.'' S. 117.</ref>

== Produkte, Limites und Kolimites ==
Der [[Vergissfunktor]], der einer lokalkompakten Gruppe die zugrundeliegende Gruppe zuordnet, besitzt eine Links- und eine Rechtsadjunktion, der linksadjungierte Funktor stattet die Gruppe mit der diskreten Topologie, der rechtsadjungierte Funktor mit der Klumpentopologie aus. Somit erhält der Vergissfunktor Limites und Kolimites, d. h. jeder [[Limes (Kategorientheorie)|Limes]] (etwa ein [[Produkt (Kategorientheorie)|Produkt]]) oder [[Kolimes]] (etwa ein [[Koprodukt]]) ist, wenn er denn existiert, der entsprechende Limes bzw. Kolimes in der Kategorie der Gruppen versehen mit einer geeigneten Topologie.

Die Kategorie der lokalkompakten Gruppen besitzt tatsächlich endliche Produkte und ihre Topologie ist die [[Produkttopologie]]. Schränkt man sich auf die Kategorie der hausdorffschen lokalkompakten Gruppen ein (der Vergissfunktor in die Kategorie der Gruppen erhält dann weiterhin Limites), existieren sogar beliebige [[Faserprodukt]]e (für Morphismen <math>f\colon F\to S, g\colon G\to S</math> als [[Kern (Algebra)|Kern]] von <math>F\times G\to S, (x,y)\mapsto f(x)g(x)^{-1}</math>) und die entsprechende Kategorie ist [[Vollständige Kategorie|endlich vollständig]]. Die Produkttopologie für ein Produkt unendlich vieler lokalkompakter Gruppen dagegen ist im Allgemeinen nicht mehr lokalkompakt – es ist genau dann lokalkompakt, wenn alle bis auf endlich viele Faktoren kompakt sind.<ref>{{Literatur |Autor=Stephen Willard |Titel=General Topology |Verlag=Addison-Wesley |Datum=1970 |Seiten=131}}</ref> In manchen Fällen erhält man jedoch mit einer feineren Topologie auf dem kartesischen Produkt ein Produkt in der Kategorie der hausdorffschen lokalkompakten Gruppen. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle bis auf endlich viele Faktoren einen kompakten, offenen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient [[torsionsfrei]] ist. Die Topologie des kategoriellen Produktes solcher Faktoren <math>G_i</math> mit kompakten, offenen Normalteilern <math>K_i</math> lässt sich durch die Forderung charakterisieren, dass das Produkt <math>\textstyle\prod_i K_i</math> mit der Produkttopologie einen offenen Unterraum bilde. Auf dem Produkt <math>\textstyle\prod_i G_i</math> ist die Topologie dann als Summentopologie der [[Nebenklasse (Mathematik)|Nebenklassen]] des Normalteilers <math>\textstyle\prod_i K_i</math> gegeben, welche unabhängig von der Wahl der <math>K_i</math> ist. Zum Beispiel ist das kategorielle Produkt einer beliebigen Familie diskreter, torsionsfreier Gruppen (wie etwa <math>\Z</math>) in dieser Kategorie wiederum diskret.<ref>{{Literatur |Autor=[[Karl Heinrich Hofmann]], Sidney Allen Morris |Titel=Locally compact products and coproducts in categories of topological groups |Sammelwerk=Bulletin of the Australian Mathematical Society |Band=17 |Nummer=3 |Verlag=Australian Mathematical Society |Datum=1977 |ISSN=0004-9727 |Seiten=401–417 |DOI=10.1017/S0004972700010674}}</ref>

== Haarmaß ==
{{Hauptartikel|Haarmaß}}
Auf jeder hausdorffschen lokalkompakten Gruppe existiert ein bis auf Skalierung eindeutiges [[reguläres Borelmaß]], das auf nichtleeren offenen Mengen positiv ist und invariant unter Linksverschiebungen ist, das sogenannte ''linke Haarmaß''. Analog dazu existiert das ''rechte Haarmaß'', das invariant unter Rechtsverschiebungen ist. Einen wichtigen Spezialfall lokalkompakter Gruppen mit besonderen Eigenschaften bilden Gruppen, bei denen linkes und rechtes Haarmaß übereinstimmen und somit links- und rechtsinvariant sind, sogenannte [[unimodulare Gruppe]]n. Das Haarmaß erlaubt die [[Lebesgue-Integral|Integration]] auf lokalkompakten Gruppen und spielt eine entscheidende Rolle in der Darstellungstheorie lokalkompakter Gruppen.

=== Notwendigkeit der Lokalkompaktheit für invariante Maße ===
Folgende Eigenschaften implizieren die Lokalkompaktheit einer topologischen Gruppe <math>G</math>:
* Wenn <math>G</math> hausdorff ist, dann impliziert die Existenz eines nicht-trivialen, links-invarianten [[Radon-Maß]]es <math>\mu</math>, dass <math>G</math> lokalkompakt ist.<ref name="Gowrisankaran">{{Literatur |Autor=Chandra Gowrisankaran |Titel=Radon Measures on Groups |Sammelwerk=Proceedings of the American Mathematical Society 25 |Nummer=2 |Datum=1970 |Seiten=381–84 |DOI=10.2307/2037226}}</ref>
* Wenn <math>G:=(X,\tau)</math> und <math>X</math> ein [[Souslin-Raum]] ist und auf <math>G</math> ein nichttriviales, lokal endliches, Borel-Maß <math>\mu</math> existiert, so dass für alle kompakten <math>K\subset G</math> gilt, dass <math>s\mapsto \mu(sK)</math> stetig ist, dann ist <math>G</math> lokalkompakt.<ref name="Gowrisankaran" />

== Automatische Stetigkeit von Homomorphismen ==
Jeder [[Messbare Funktion|messbare]] [[Homomorphismus]] zwischen lokalkompakten Gruppen ist stetig. Die Bedingung kann weiter abgeschwächt werden, dass nur die Urbilder offener Mengen [[Messbare Menge|messbar]] sein mögen und dass die Homomorphie auf gewissen Nullmengen nicht garantiert sein muss.<ref>{{Literatur |Autor=Adam Kleppner |Titel=Measurable Homomorphisms of Locally Compact Groups |Sammelwerk=Proceedings of the American Mathematical Society |Band=106 |Nummer=2 |Verlag=American Mathematical Society |Datum=1989 |ISSN=0002-9939 |Seiten=391–395 |JSTOR=2048818}}</ref>

== Darstellungen ==
{{Hauptartikel|Unitäre Hilbertraumdarstellung}}
Für eine lokalkompakte Gruppe <math>G</math> und einen Hilbertraum <math>\mathcal{H}</math> ist eine unitäre Darstellung von <math>G</math> ein stetiger Homomorphismus <math>\pi\colon G\to U(\mathcal{H})</math>, wobei <math>U(\mathcal{H})</math> die [[unitäre Gruppe]] ausgestattet mit der [[Starke Operatortopologie|starken]] (oder der übereinstimmenden [[Schwache Operatortopologie|schwachen]]) Operatortopologie bezeichne. Einige zentrale Sätze der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]] erlauben mittels Betrachtung solcher Darstellung weitreichende Verallgemeinerungen der [[Fourier-Transformation]] auf Funktionen auf bestimmten lokalkompakten Gruppen.

== Siehe auch ==
* [[Gruppen-C*-Algebra]]
* [[Satz von der offenen Abbildung (Lokalkompakte Gruppen)]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Markus Stroppel
|Titel=Locally Compact Groups
|Verlag=European Mathematical Society
|Datum=2006
|ISBN=3-03719-016-7}}
* Yves de Cornulier, [[Pierre de la Harpe]]: ''Metric geometry of locally compact groups.'' [http://www.normalesup.org/~cornulier/MetricLC.pdf normalesup.org] (PDF; 1,9 MB).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]
[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Lokalkompakte Gruppe - Versionsgeschichte

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