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2022-11-04T18:30:51Z

Eigenschaften: einheitliche Interpunktion

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Ein '''lokaler Ring''' ist im mathematischen Gebiet der [[Ringtheorie]] ein Ring, in dem es genau ein [[Maximales Ideal|maximales]] Links- oder [[Ideal (Ringtheorie)|Rechtsideal]] gibt. Lokale Ringe spielen in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] eine wichtige Rolle, um das „lokale Verhalten“ von Funktionen auf [[algebraische Varietät|algebraischen Varietäten]] und [[Mannigfaltigkeit]]en zu beschreiben.

Das Konzept des lokalen Ringes wurde 1938 von [[Wolfgang Krull]] unter dem Namen „Stellenringe“ eingeführt.

== Definition ==

Ein Ring <math>R</math> mit der [[Zahl]] <math>1</math> heißt ''lokal'', wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
*<math>R</math> besitzt genau ein maximales [[Linksideal]].
*<math>R</math> besitzt genau ein maximales [[Rechtsideal]].
*<math>1 \neq 0</math> und jede Summe zweier [[Einheit (Mathematik)|Nichteinheit]]en ist eine Nichteinheit.
*<math>1 \neq 0</math> und für jede Nichteinheit <math>x</math> ist <math>1-x</math> eine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]].
*Wenn eine endliche Summe von Ringelementen eine Einheit ist, dann ist wenigstens ein [[Summand]] eine Einheit (insbesondere ist die [[leere Summe]] keine Einheit, also folgt daraus <math>1 \neq 0</math>).

Einige Autoren verlangen, dass ein lokaler Ring zusätzlich [[Noetherscher Ring|noethersch]] sein muss, und nennen einen nichtnoetherschen Ring mit genau einem maximalen Linksideal ''quasilokal''. Hier lassen wir diese Zusatzforderung weg und sprechen ggf. explizit von noetherschen lokalen Ringen.

== Eigenschaften ==

Ist <math>R</math> lokal, dann
# stimmt das maximale Linksideal mit dem maximalen Rechtsideal und mit dem [[Jacobson-Radikal]] <math>J</math> überein.
# ist <math>R/J</math> ein [[Schiefkörper]] (der als ''der'' [[Restklassenkörper]] bezeichnet wird).
# besitzt R nur die trivialen [[Idempotenz|Idempotente]] <math>0</math> und <math>1</math>. Damit ist <math>R</math> als <math>R</math>-[[Modul (Mathematik)|Modul]] [[Unzerlegbarkeit|unzerlegbar]].
# ist <math>R</math> auch [[Semiperfekter Ring|semiperfekt]].

== Kommutativer Fall ==

Ist der Ring <math>R</math> kommutativ mit 1, dann sind zusätzlich die folgenden Bedingungen äquivalent zur Lokalität:
*<math>R</math> besitzt genau ein maximales (beidseitiges) Ideal.
*Das [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] der [[Einheitengruppe]] <math>R^*</math> ist ein Ideal.

Für die Äquivalenz der beiden letztgenannten Bedingungen wird hier ein Beweis gegeben:
*Besitze der kommutative Ring mit <math>1</math> <math>R</math> genau ein maximales Ideal <math>I</math>, und sei <math>x</math> ein Ringelement, welches nicht in <math>I</math> liegt. Angenommen, <math>x</math> wäre nicht invertierbar. Dann ist das von <math>x</math> erzeugte [[Hauptideal]] ein echtes Ideal. Als echtes Ideal ist <math>xR</math> eine Teilmenge des (einzigen) maximalen Ideals <math>I</math>. Somit wäre <math>x</math> ein Element von <math>I</math>, im Widerspruch zur Wahl von <math>x</math>. Also ist <math>x</math> invertierbar, und damit ist jedes Element des Komplements von <math>I</math> invertierbar. Da kein Element von <math>I</math> invertierbar ist, ist <math>I</math> genau das Komplement der Einheitengruppe.
*Sei nun das Komplement der Einheitengruppe ein Ideal <math>I</math>. Da jedes Ideal, das über <math>I</math> liegt, eine Einheit enthält und damit bereits der ganze Ring ist, ist <math>I</math> ein maximales Ideal. Ferner ist <math>I</math> das einzige maximale Ideal, denn jedes echte Ideal enthält nur Nicht-Einheiten und ist somit eine Teilmenge von <math>I</math>.

== Beispiele ==

=== Lokale Ringe in der Algebra ===
*Jeder [[Körper (Algebra)|Körper]] und jeder [[Schiefkörper]] ist ein lokaler Ring, da <math>\{0\}</math> das einzige maximale Ideal darin ist.
*[[Bewertungstheorie#Bewertungen und Bewertungsringe|Bewertungsringe]] sind lokale Ringe.
*Der Ring <math>\mathbb{Z}</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] ist nicht lokal. Zum Beispiel sind <math>-2</math> und <math>3</math> keine Einheiten, wohl aber ihre Summe <math>1</math>.
*Die maximalen Ideale des [[Restklassenring]]s <math>\Z/n\Z</math> sind die von den Restklassen von [[Primteiler]]n von <math>n</math> erzeugten Ideale. Der Ring ist also genau dann lokal, wenn <math>n</math> eine Primzahlpotenz ist.
*Die Menge aller [[rationale Zahl|rationalen Zahlen]], welche bei [[gekürzter Bruch|gekürzter]] [[Bruchrechnung|Bruchdarstellung]] im Nenner eine ungerade Zahl stehen haben, bildet einen Unterring der rationalen Zahlen, der ein lokaler Ring ist. Sein maximales Ideal besteht aus allen Brüchen, deren Zähler gerade ist. Diesen Ring schreibt man als: <br>       <math> \mathbb{Z}_{(2)} = \left\{\left.\frac{a}{b}\ \right\vert\ a,b\in \mathbb{Z}, 2 \nmid b\right\}</math> <br>und nennt ihn die „Lokalisierung von <math>\mathbb{Z}</math> bei <math>2</math>“. Er entsteht aus <math>\mathbb{Z} </math> durch einen Vorgang, den man [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierung eines Ringes]] nennt.
*Der Ring der [[formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] mit Koeffizienten in einem Körper ist ein lokaler Ring. Sein maximales Ideal besteht aus den Potenzreihen, welche mit dem linearen Glied beginnen. Das konstante Glied verschwindet immer.
*Der [[Faktorring]] <math>K[X]/(X^n)</math> des [[Polynomring]]s über einem Körper <math>K</math> modulo dem von <math>X^n</math> erzeugten Ideal ist lokal. Sein maximales Ideal besteht aus den Restklassen der Polynome ohne Absolutglied. In diesem Ring ist jedes Element entweder [[inverses Element|invertierbar]] oder [[Nilpotenz|nilpotent]]. Einen Spezialfall davon bilden die [[duale Zahlen|dualen Zahlen]], die Elemente des Faktorrings <math>K[X]/(X^2)</math>. Diese Algebra ist als Vektorraum zweidimensional über <math>K</math>.

=== Keime stetiger Funktionen ===
Sei <math>x</math> ein Punkt in einer [[Mannigfaltigkeit]] <math>M</math>, z. B. <math>M=\R</math>. Auf der Menge der auf (beliebigen) [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] von <math>x</math> definierten [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] definieren wir eine [[Äquivalenzrelation]] dadurch, dass zwei auf (evtl. unterschiedlichen) Umgebungen definierte Funktionen äquivalent sein sollen, wenn es eine Umgebung von <math>x</math> gibt, auf der beide Funktionen definiert sind und übereinstimmen. Die Äquivalenzklassen dieser Relation heißen [[Keim (Mathematik)|Keime]]. Addition und Multiplikation von Keimen sind wohldefiniert. Die Menge der Keime stetiger Funktionen in <math>x</math> bildet einen lokalen Ring, dessen [[Maximalideal]] die Keime der in <math>x</math> verschwindenden stetigen Funktionen bilden.

=== Lokale Ringe einer algebraischen Varietät ===
Sei <math>V</math> eine [[algebraische Varietät]] und <math>x\in V</math>. Der [[Reguläre Funktion#Der lokale Ring eines Punktes|lokale Ring]] <math>{\mathcal{O}}_x</math> ist definiert als die Menge der Keime [[Reguläre Funktion|regulärer Funktionen]] in <math>x</math>. Er ist ein lokaler Ring, dessen Maximalideal die Keime der in <math>x</math> verschwindenden regulären Funktionen bilden. Man erhält ihn als [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierung]] des [[Koordinatenring]]s <math>k\left[V\right]</math> am zu <math>x</math> gehörenden Maximalideal <math>{\mathfrak{m}}_x</math>:
:<math>{\mathcal O}_x=k\left[V\right]_{{\mathfrak m}_x}</math>.
Die ''lokale Dimension'' von <math>V</math> in <math>x</math> ist definiert als die [[Krull-Dimension]] des lokalen Ringes <math>{\mathcal{O}}_x</math>:
:<math>\dim_xV := \dim {\mathcal{O}}_x</math>.

== Lokalisierung von Ringen ==
{{Hauptartikel|Lokalisierung (Algebra)}}

Sei <math>R</math> ein beliebiger kommutativer Ring mit <math>1</math> und <math>S</math> eine unter Multiplikation abgeschlossene Teilmenge mit <math>1\in S,\ 0\not\in S</math>, dann heißt
:<math>S^{-1}R:=\left\{\frac{r}{s}: r\in R, s\in S\right\}</math>
die Lokalisierung von <math>R</math> in <math>S</math>.

Wenn <math>S:=R-p</math> das Komplement eines Primideals <math>p\subset R</math> ist, dann ist <math>S^{-1}R</math> ein lokaler Ring und wird mit <math>R_p</math> notiert.

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Local ring
| Autor = V. I. Danilov
| Url = http://eom.springer.de/L/l060190.htm
}}

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Lokaler Ring - Versionsgeschichte

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