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2024-09-04T19:40:40Z

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Eine '''lokal integrierbare Funktion''' ist eine Funktion, die auf jedem [[Kompakter Raum|Kompaktum]] integrierbar ist, jedoch muss diese Funktion auf gewissen offenen Mengen nicht integrierbar sein. Solche Funktionen werden in der [[Analysis]] beziehungsweise [[Funktionalanalysis]] als Hilfsmittel eingesetzt. So spielen diese insbesondere in der [[Distributionentheorie]] eine wichtige Rolle. Außerdem kann man das Konzept der lokal integrierbaren Funktionen auf die '''lokal p-integrierbaren Funktionen''' und auf die lokal schwach differenzierbaren Funktionen übertragen.

== Definition ==
In diesem Abschnitt werden die lokal integrierbare Funktion und der [[Funktionenraum]] <math>L^1_{\mathrm{loc}}</math> definiert. Sei <math>\Omega \subset \R^n</math> eine [[Offene Menge|offene Teilmenge]] und <math>f\colon \Omega \to \Complex</math> eine [[messbare Funktion|Lebesgue-messbare Funktion]]. Die Funktion <math>f</math> heißt lokal integrierbar, falls für jedes Kompaktum <math>K \subset \Omega</math> das [[Lebesgue-Integral]] endlich ist, also

:<math>\int_K |f(x)| \, \mathrm{d} x < \infty</math>.

Die Menge dieser Funktionen wird mit <math>\mathcal{L}^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)</math> bezeichnet.<ref>[[Otto Forster]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im'' '''R'''<sup>n</sup> ''und Anwendungen'', 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5, Seite 58</ref> Identifiziert man alle Funktionen aus <math>\mathcal{L}^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)</math> miteinander, die [[fast überall]] gleich sind, so erhält man den Raum <math>L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)</math>. Im Zusammenhang mit der [[Distributionentheorie]] findet man auch die äquivalente Definition

:<math>L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega) := \left\{f \in L^0(\Omega) \,\left|\, \int_{\R^n} f(x) \phi(x)\, \mathrm{d} x < \infty,\ \phi \in \mathcal{D}(\Omega) \right.\right\}</math>,

wobei <math>L^0(\Omega)</math> die Menge der Äquivalenzklassen der messbaren Funktionen, die fast überall gleich sind, und <math>\mathcal{D}(\Omega) \cong C_c^\infty(\Omega)</math> der Raum der [[Testfunktion]]en ist.

Anstatt zu fordern, dass <math>\Omega</math> offen ist, wird <math>\Omega</math> von anderen Autoren auch als [[sigma-kompakt|<math>\sigma</math>-kompakt]] vorausgesetzt.<ref>[[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, Seite 281</ref> Zwar ist es für die Definition des [[Lp-Raum|Raums <math>L^1\left(\Omega\right)</math>]] ausreichend, <math>\Omega \subset \R^n</math> als [[messbare Menge]] vorauszusetzen. Für die Definition des Raums <math>L^1_{\mathrm{loc}}\left(\Omega\right)</math> der lokal integrierbaren Funktionen wäre diese Allgemeinheit aber ungünstig, da es messbare Mengen gibt, die außer [[Nullmenge]]n kein Kompaktum enthalten. Dies würde dazu führen, dass jede messbare Funktion lokal integrierbar wäre. Außerdem wären alle [[Halbnorm]]en <math>\left\|\,\cdot\right\|_{L^1\left(K\right)}\ \left(K\subset\subset\Omega\right)</math> konstant Null, die von ihnen induzierte [[Topologischer Raum|Topologie]] also [[indiskrete Topologie|indiskret]]. Funktionen ließen sich in einem solchen Raum nicht [[Trennungseigenschaft|trennen]]. Ein derartiges [[pathologisches Beispiel]] erhält man mit <math>\Omega = \R\setminus\Q</math>, den [[irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]].

== Beispiele ==
* Die konstante Einsfunktion ist auf unbeschränkten <math>\Omega \subset \R^n</math> lokal integrierbar, aber nicht [[Lebesgue-Integral|Lebesgue-integrierbar]].
* Alle [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Funktionen]] sind auch lokal integrierbar.
* Die Funktion
::<math> f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{x} &x\neq 0\\
0 & x=0
\end{cases}
</math>
:ist bei <math>x = 0</math> nicht lokal integrierbar.

== Lokal p-integrierbare Funktion ==
Analog zu den <math>L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math>-Funktionen kann man auch <math>L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math>-Funktionen definieren. Sei <math>\Omega \subset \R^n</math> offen oder <math>\sigma</math>-kompakt. Eine messbare Funktion <math>f \colon \Omega \to \Complex</math> heißt lokal p-integrierbar, falls der Ausdruck
:<math>\int_K |f(x)|^p\, \mathrm{d} x\,</math>
für <math>p \geq 1</math> und für alle Kompakta <math>K \subset \Omega</math> existiert.<ref>Juha Heinonen: ''Lectures on analysis on metric spaces''. Springer, 2001, ISBN 0-387-95104-0, Seite 5</ref>

== Eigenschaften ==

* Eine [[reguläre Distribution]] ist ein stetiges und lineares [[Funktional]], das durch
::<math>\phi \in \mathcal{D}(\R^n) \mapsto \int_{\R^n} f(x) \phi(x)\, \mathrm{d} x</math>
:für eine fixierte, lokal integrierbare Funktion <math>f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^n)</math> definiert ist. Daher identifiziert man den Raum <math>L^1_{\mathrm{loc}}(\R^n)</math> mit der Menge der regulären Distributionen auf <math>\R^n</math>. Mit der Abbildung <math>\textstyle f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^n) \mapsto \left(\phi \in \mathcal{D}(\R^n) \mapsto \int_{\R^n} f(x) \phi(x)\, \mathrm{d} x\right)</math> erhält man also eine stetige [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]]
::<math>L^1_{\mathrm{loc}}(\R^n) \hookrightarrow \mathcal{D}'(\R^n)</math>
:in den Raum der Distributionen.
* Eine Funktion <math>f \in L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math> ist im Allgemeinen kein Element von <math>L^p(\Omega)</math>. Jedoch gilt <math>L^p(\Omega) \subset L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math> für alle <math>1 \leq p \leq \infty</math>.<ref name="LiebLoss137">[[Elliott H. Lieb]] & Michael Loss: ''Analysis''. American Mathematical Society, Second Edition, 2001, ISBN 0-8218-2783-9, Seite 137</ref>
* Für <math>1 \leq p < r \leq \infty</math> gilt
::<math>L^r_{\mathrm{loc}}(\Omega) \subset L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math>.
:Dies gilt für die <math>L^p(\Omega)</math>-Räume im Allgemeinen nicht, außer wenn <math>\Omega</math> endliches Maß hat.<ref name="LiebLoss137"/>
* Sei <math>(\Omega_i)_{i \in \N}</math> eine beliebige [[Folge (Mathematik)|Folge]] offener, [[Relative Kompaktheit|relativ kompakter Teilmengen]] von <math>\Omega</math> mit <math>\textstyle \Omega = \bigcup_{i \in \N} \Omega_i</math>, dann ist <math>\| \cdot \|_{L^p(\Omega_i)}</math> eine Folge von [[Halbnorm]]en auf <math>L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math>. Mit dieser Halbnorm wird <math>L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math> zu einem [[Metrisierbarer lokalkonvexer Raum|metrisierbaren lokalkonvexen Vektorraum]]. Da bezüglich dieser Metrik alle [[Cauchy-Folge]]n konvergieren, der Raum also [[Vollständiger Raum|vollständig]] ist, ist er ein [[Fréchet-Raum]].<ref>Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis III''. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3, Seite 129</ref>

== Lokal schwach differenzierbare Funktionen ==
Die Räume der schwach differenzierbaren Funktionen sind die [[Sobolev-Raum|Sobolev-Räume]] <math>W^{k,p}(\Omega)</math>. Da diese [[Untervektorraum|Unterräume]] der <math>L^p(\Omega)</math> sind, definiert man auch für diese ganz analog lokale Sobolev-Räume. Sei <math>\Omega \subset \R^n</math> offen und <math>1 \leq p \leq \infty</math>. Eine Funktion <math>f \in L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math> liegt im Raum <math>W^{k,p}_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math>, wenn deren <math>k</math>-te [[schwache Ableitung]] existiert.<ref>Juha Heinonen: ''Lectures on analysis on metric spaces''. Springer, 2001, ISBN 0-387-95104-0, Seite 14–15</ref> Diese Definition ist äquivalent zu

:<math>W^{k,p}_{\mathrm{loc}}(\Omega) := \left\{u \in \mathcal{D}'(\Omega) \mid \phi u \in W^{k,p}(\R^n), \forall \phi \in \mathcal{D}(\Omega)\right\}</math>,

wobei <math>\mathcal{D}'(\Omega)</math> der Raum der [[distribution (Mathematik)|Distributionen]] ist. Diese Art von Sobolev-Räumen ist ebenfalls ein [[Fréchet-Raum]].<ref>Alain Grigis & Johannes Sjöstrand: ''Microlocal analysis for differential operators: an introduction'', Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, Seite 44</ref> Für <math>p = \infty</math> entspricht der Sobolev-Raum <math>W^{1,\infty}_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math> dem Raum der [[Lipschitz-Stetigkeit|lokal Lipschitz-stetigen Funktionen]]. Schränkt man <math>p</math> auf <math>n < p \leq \infty</math> ein, wobei <math>n</math> die Dimension des umgebenden <math>\R^n</math> ist, so ist <math>f \in W^{1,p}_{\mathrm{loc}}</math> [[fast überall]] differenzierbar in <math>\Omega</math> und der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>f</math> stimmt mit dem Gradienten im Sinne der schwachen Ableitung überein. Da <math>W^{1,\infty}_{\mathrm{loc}}(\Omega)</math> der Raum der lokal Lipschitz-stetigen Funktionen ist, folgt der [[Satz von Rademacher]] als Spezialfall.<ref>Lawrence Evans: ''Partial Differential Equations''. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2, Seite 280–281</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [https://mathworld.wolfram.com/LocallyIntegrable.html Mathworld: Locally Integrable]

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Lokal integrierbare Funktion - Versionsgeschichte

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