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[[Datei:Logit.svg|mini|350px|Grafische Darstellung der Logit-Funktion logit(''p'') im Definitionsbereich von 0 bis 1, wobei die Basis des Logarithmus ''e'' ist.]]
Ein '''Logit''' ist in der [[Statistik]] der natürliche [[Logarithmus]] einer [[Chance (Stochastik)|Chance]], d. h. der
[[Wahrscheinlichkeit]] <math>p</math> geteilt durch die [[Wahrscheinlichkeitstheorie#Folgerungen|Gegenwahrscheinlichkeit]] <math>1-p</math>. Unter der '''Logit-Transformation''' versteht man die Transformation von Wahrscheinlichkeiten in Logits. Diese wird in der [[Logistische Regression|logistischen Regression]] zur [[Spezifikation (Statistik)|Spezifikation]] der [[Kopplungsfunktion]] verwendet.

== Definition ==
Ein ''Logit'' ist der natürliche [[Logarithmus]] einer [[Chance (Stochastik)|Chance]] (Wahrscheinlichkeit <math>p</math> durch Gegenwahrscheinlichkeit <math>1-p</math>, engl. odds) für eine Wahrscheinlichkeit <math>0 < p < 1</math><ref>Torsten Becker et al.: ''Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden.'' Springer Spektrum, 2016. S. 310.</ref>, d. h.
:<math>\operatorname{logit}(p):=\ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = \ln \left(\operatorname{odds}(p)\right)\;.</math>
Die Funktion <math>\operatorname{logit}\colon (0,1) \to \R</math> heißt '''Logit-Funktion'''. Wenn Wahrscheinlichkeiten <math> p \in (0,1)</math> in <math>\operatorname{logit}(p) \in \R</math> transformiert werden, spricht man auch von einer '''Logit-Transformation'''.
== Eigenschaften ==
* Die Logit-Funktion kann auch mit dem [[Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus|Areatangens Hyperbolicus]] dargestellt werden,
::<math>\operatorname{logit}(p)= 2\operatorname{artanh}(2p - 1), \quad 0 < p < 1 \;. </math>
* Es gilt
::<math> \operatorname{logit}(p) \begin{cases} < 0&\text{für }p < 1/2\\
= 0&\text{für }p = 1/2\\
> 0&\text{für }p > 1/2
\end{cases}\;.</math>
* Die Logit-Funktion besitzt die Symmetrieeigenschaft
::<math>\operatorname{logit}(1 - p) = -\operatorname{logit}(p)\quad\text{für alle } 0 < p < 1 </math>
* Die Logit-Funktion ist differenzierbar und hat die Ableitungsfunktion
::<math> \operatorname{logit}'(p) = \frac{1}{p(1-p)} > 0\quad \text{für alle } 0 < p < 1\;.</math>
* Die Logit-Funktion ist invertierbar. Die [[Umkehrfunktion]] der Logit-Funktion ist die [[logistische Funktion]] (manchmal auch ''Expit'' oder [[Sigmoidfunktion|Sigmoid]] genannt):
::<math>F_{\text{logistisch}}(x) := \operatorname{logit}^{-1}(x) = \frac{e^x}{1+e^x}=\frac{1}{1+ e^{-x}}, \quad x \in \R</math>.

== Anwendung ==
{{siehe auch|Enzyme-linked_Immunosorbent_Assay#Auswertung_des_ELISAs_mit_Hilfe_des_Logit-Log-Plots|titel1=Abschnitt Auswertung des ELISAs mit Hilfe des Logit-Log-Plots in Enzyme-linked Immunosorbent Assay}}
Die Logit-[[Funktion (Mathematik)|Funktion]] kann zur [[Linearität (Mathematik)|Linearisierung]] von [[Sigmoidfunktion|sigmoiden]] [[Funktionsgraph|Kurven]] verwendet werden und hat daher eine große Bedeutung für die Auswertung von [[Enzyme-linked Immunosorbent Assay|ELISA-Kurven]] in der [[Biochemie]] erlangt.

Die Logit-Transformation ist von zentraler Bedeutung für die [[logistische Regression]].

== Siehe auch ==
* [[Probit]]

== Weblinks ==
* [https://bayesium.com/which-link-function-logit-probit-or-cloglog/ Which Link Function — Logit, Probit, or Cloglog? 12.04.2023]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Regressionsanalyse]]
[[Kategorie:Verallgemeinerte lineare Modelle]]

Logit - Versionsgeschichte

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