~2026-88002: /* Herleitung */ Differentialoperator aufgerichtet. Ist ja keine Variable.

2026-03-31T09:53:47Z

Herleitung: Differentialoperator aufgerichtet. Ist ja keine Variable.

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Das '''logarithmische Windprofil''' dient zur [[Approximation|näherung]]sweisen Beschreibung von [[Geschwindigkeitsprofil]]en, die in [[Wind]][[Strömungsmechanik|strömung]]en durch die Boden[[rauigkeit]] oder die [[Bebauung]] entstehen. Es gilt in der bodennahen [[Fluiddynamische Grenzschicht|Prandtl-Schicht]] (bis ca. 60 m Höhe über dem Erdboden) und ist von Bedeutung für die [[Windenergie]].

Das logarithmische vertikale [[Windprofil]] gilt nur bei [[Schichtungsstabilität der Erdatmosphäre #Neutrale Schichtung|neutraler Schichtung]]; bei einer nicht-neutralen Schichtung (also bei [[Schichtungsstabilität der Erdatmosphäre #Stabile Schichtung|stabil]] und bei [[Schichtungsstabilität der Erdatmosphäre #Labile Schichtung|labil]]) gilt es ''nicht''.

== Definition ==
{| class="wikitable float-right"
|+ dynamische Rauigkeitslängen z0 für verschiedene Untergründe
! Oberflächenbeschaffenheit !! z0 [m]
|-
| offshore (v10 = 5 m/s) || 0,0001
|-
| offshore const. (Klasse 0) || 0,0002
|-
| glatter Schnee || 0,001
|-
| offshore (v10 = 25 m/s) || 0,003
|-
| glatte Erde || 0,005
|-
| Flughafen / kurzgeschnittene Wiese || 0,01
|-
| Kulturlandschaft mit sehr wenigen Gebäuden, Bäumen etc. (Klasse 1) || 0,03
|-
| Kulturlandschaft mit geschlossenem Erscheinungsbild (Klasse 2) || 0,1
|-
| Klasse 3 || 0,4
|-
| Vorstädte || 0,5
|-
| Wald || 0,8
|-
| Stadt || 1
|}
In der Prandtl-Schicht nimmt die [[Windgeschwindigkeit]] <math>u</math> mit der Höhe <math>z</math> (annähernd) [[logarithmisch]] zu, also zunächst sehr rasch und dann zunehmend langsamer:

:<math>u(z) = \frac{u^*}{\kappa} \ln \left( \frac{z}{z_0} \right)</math>

mit
* der [[Schubspannungsgeschwindigkeit]] <math>u^*</math> (d. h. der Wurzel aus dem spezifischen vertikalen Impulsfluss)
* der [[Theodore_von_Kármán|Von-Karman]]-Konstante <math>\kappa \approx 0{,}4</math>
* der dynamischen Rauigkeitslänge <math>z_0</math> (Höhe über Grund, in der das vertikale logarithmische Windprofil den Wert 0 annimmt bzw. sich die Geschwindigkeit nicht mehr ändert; s. nebenstehende Tabelle).

Häufig wird das logarithmische Profil bezogen auf die Windgeschwindigkeit <math>u_r</math> in einer [[Bezugshöhe#In der Meteorologie|Referenzhöhe]] <math>z_r</math>, so z. B. für die Daten des [[Deutscher Wetterdienst|Deutschen Wetterdienstes DWD]] auf eine Höhe von <math>z_r = 10 \, \text{m}</math> über Grund. Mit folgender Formel kann auf eine beliebige andere Höhe umgerechnet werden:

:<math>u(z) = u_r \frac{\ln(z/z_0)}{\ln(z_r/z_0)}</math>
::denn <math>\frac{u_r}{\ln(z_r/z_0)} = \frac{u(z)}{\ln(z/z_0)} = \frac{u^*}{\kappa}</math>

Die starke, logarithmische Windzunahme mit der Höhe (vertikale [[Windscherung]]) in der Prandtl-Schicht sowie die Winddrehung in der [[Ekman-Schicht]] oberhalb der Prandtl-Schicht ist z. B. beim Bau von [[Windkraftanlage]]n zu berücksichtigen: durch den ungleichmäßigen [[Winddruck]] können hohe [[Mechanische Spannung|Spannungen]] auf die einzelnen [[Windkraftanlage #Rotorblätter|Rotorblätter]] wirken.

== Herleitung ==
Die Atmosphärische Grenzschicht ist von Turbulenz dominiert und der vertikale turbulente Fluss horizontalen Impulses <math>\tau</math> ergibt sich aus den [[Reynolds-Gleichungen]] als Kovarianz zwischen Vertikal- und Horizontalgeschwindigkeit. Nimmt man an, dass mittlere Windrichtung und mittlere Schubspannung zusammenfallen, so kann man schreiben:
:<math>\tau = \rho \overline{u'w'} = \rho u_*^2 </math>
mit <math>u_*</math> der [[Schubspannungsgeschwindigkeit]], <math>\rho</math> der Luftdichte, u und w der horizontalen bzw. vertikalen Windgeschwindigkeit und z. B. <math>u'=u-\overline{u}</math> den Abweichungen bzw. Schwankungen vom Mittelwert <math>\overline{u}</math>.

=== Mischungsweglängenansatz ===
Die ursprüngliche Herleitung nach [[Ludwig Prandtl]] ist sehr anschaulich und basiert auf der Annahme, dass die Turbulenz bestimmte Strömungseigenschaften aus einer anderen Höhe an einen bestimmten Ort transportiert:

Nimmt man an, dass sich die Schwankungen <math>u'</math> und <math>w'</math> aus vertikalem, turbulentem Transport über eine Mischungsweglänge <math>l_u'</math> bzw. <math>l_w'</math> aus dem horizontalen Wind ergeben, so dass man
:<math>u' = l_u'\cdot\frac{\mathrm d\overline{u}}{\mathrm dz}</math> und <math>w' = l_w'\cdot\frac{\mathrm d\overline{u}}{\mathrm dz}</math>
nähern kann, so führt dies durch Einsetzen zur Gleichung:
:<math> u_*^2 = \overline{l_u'l_w'}\cdot\left(\frac{\mathrm d\overline{u}}{\mathrm dz}\right)^2</math>
Die Mischungsweglängen sollten mit der Höhe <math>z</math> zunehmen (größere Turbulenzelemente) und positiv korreliert sein (derselbe Auf- bzw. Abwind transportiert die <math>u'</math> und <math>w'</math> Störung heran).
Der einfachste Ansatz hierzu ist:
:<math> \sqrt{\overline{l_u'l_w'}} = \kappa\cdot z </math>
mit <math>\kappa</math> einer Proportionalitätskonstante. Einsetzen führt zu
:<math> \frac{\mathrm d\overline{u}}{\mathrm dz} = \frac{u_*}{\kappa \cdot z} </math>
Wenn <math>u_*</math> konstant mit der Höhe ist, dann lässt sich diese Gleichung integrieren. Die untere Integrationsgrenze <math>z_0</math> wird dabei so definiert, dass hier der Horizontalwind verschwindet. Man erhält das logarithmische Windprofil:
:<math> \overline{u}(z) = \frac{u_*}\kappa\cdot\ln\left( \frac{z}{z_0}\right) </math>
In der Atmosphärischen Grenzschicht nimmt <math>u_*</math> in den untersten 100 m nur um wenige Prozent ab, so dass die Annahme einer konstanten Schubspannungsgeschwindigkeit gerechtfertigt ist.
Zu Ehren von Prandtl, der als Erster das logarithmische Windprofil hergeleitet hat, werden die untersten hundert Meter der atmosphärischen Grenzschicht, in denen die turbulenten Flüsse näherungsweise konstant sind, als ''Prandtl-Schicht'' bezeichnet.

Das logarithmische Windprofil findet man in der Natur bei neutraler Schichtung, das heißt, wenn sich die potentielle Temperatur nicht mit der Höhe ändert. Bei anderen Schichtungen findet man Abweichungen hiervon, die in der [[Monin-Obuchow-Theorie]] beschrieben werden. Obige Gleichung, die Gradient und Schubspannungsgeschwindigkeit verknüpft, enthält dann eine Korrekturfunktion <math>\phi_u</math>, die man als Korrektur der Mischungsweglänge interpretieren kann:
:<math> \frac{\mathrm d\overline{u}}{\mathrm dz} = u_*\ \frac{\phi_u(z/L_*)}{\kappa \cdot z} </math>
Der Parameter <math>L_*</math> heißt Obuchow-Länge und beschreibt die thermische Schichtung der Atmosphäre. Sie ist positiv bei stabiler (Temperatur nimmt nach oben zu) und negativ bei labiler Schichtung (Temperatur nimmt nach oben ab die Bodennahe Luft ist wärmer). Bei stabiler Schichtung werden Vertikalbewegungen unterdrückt, die Mischungsweglänge muss kleiner sein als bei neutraler Schichtung und folglich muss <math>\phi_u</math> größer als eins sein. Bei labiler Schichtung reichen Vertikalbewegungen weiter als bei neutraler Schichtung, die Mischungsweglänge muss größer werden und folglich <math>\phi_u</math> kleiner als eins sein.

== Quellen ==
* Helmut Pichler: ''Dynamik der Atmosphäre''
* John A. Dutton: ''Dynamics of Atmospheric Motion''

[[Kategorie:Wind]]
[[Kategorie:Meteorologisches Konzept]]
[[Kategorie:Windenergietechnik]]

Logarithmisches Windprofil - Versionsgeschichte

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