imported>RobinHood136: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|1|0 */

2025-03-09T22:22:03Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:1|1|0

Neue Seite

In der [[Mathematik]] ist das '''logarithmische Mittel''', also der '''logarithmische Mittelwert''', ein bestimmter [[Mittelwert]], der die [[Logarithmus]]funktion verwendet.

== Definition ==
Das logarithmische Mittel <math>M_\text{lm}</math> zweier verschiedener positivreeller Zahlen <math>x,y</math> ist gegeben durch
:<math>M_\text{lm}(x,y)=\frac{y-x}{\ln\frac yx}=\frac{y-x}{\ln y-\ln x}</math>

Um auch den Fall <math>x=y</math> zu erfassen, definiert man allgemeiner
:<math>M_\text{lm}(x,y)=\lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)}\frac{\eta-\xi}{\ln\eta-\ln\xi}</math>

Dann ist <math>M_\text{lm}(x,x)=x</math>.

== Eigenschaften ==
Das logarithmische Mittel ist eine [[streng monoton wachsende Funktion]]. Ferner liegt das logarithmische Mittel zwischen dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen]] und [[Geometrisches Mittel|geometrischen]] Mittel:
:<math>\sqrt{x\cdot y} < \frac{y - x}{\ln y - \ln x} < \frac{x+y}{2}</math><ref>Eric W. Weisstein: [https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-Logarithmic-GeometricMeanInequality.html ''Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean-Inequality''] und [https://mathworld.wolfram.com/NapiersInequality.html ''Napier's Inequality''] in [[MathWorld]]</ref>
Diese Ungleichung gilt für <math>x,y>0</math>.

Der Beweis stützt sich auf die grafische Veranschaulichung des zugrunde liegenden Sachverhalts ''(Figur 1 und Figur 2)''. Wegen der schon vergebenen Bezeichnungen <math>x</math> und <math>y</math> für die Koordinatenachsen werden hier die positiven reellen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a<b</math> vorgegeben.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 142</ref><ref>[[Mathematics Magazine]], vol. 68, no. 4 (Oct. 1995), S. 305</ref>

Aus ''Figur 1'' resultiert der erste Beweisansatz
:<math>\int_a^b \frac{1}{x}\,\mathrm dx > \frac{2}{a+b} (b-a)</math>.
Nach [[Stammfunktion]]sbildung folgt hieraus zunächst
:<math>\ln(b)-\ln(a) > \frac{2}{a+b} (b-a)</math>
und schließlich nach einer elementaren Ungleichungsoperation
:<math>\frac{a+b}{2} > \frac{b-a}{\ln(b)-\ln(a)}</math>,
womit der rechte Teil der Ungleichung bewiesen ist.

Der zweite Beweisansatz wird aus ''Figur 2'' ersichtlich:
:<math>\int_a^b \frac{1}{x}\,\mathrm dx < \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\right)\cdot\left(\sqrt{ab}-a\right)+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{\sqrt{ab}}\right)\cdot\left(b-\sqrt{ab}\right)</math>
Wieder ergibt sich nach Lösen des Integrals und mehreren [[Äquivalenzumformung]]en
:<math>\ln(b)-\ln(a) < \frac{b-a}{\sqrt{ab}}</math>
und abschließend
:<math>\sqrt{ab} < \frac{b-a}{\ln(b)-\ln(a)}</math>.
Damit ist auch der linke Teil der Ungleichung bewiesen.
<gallery mode="packed" heights="300">
Logarithmisches Mittel Integral 1.svg|''Figur 1''
Logarithmisches Mittel Integral 2.svg|''Figur 2''
</gallery>

== Anwendungen ==
Der logarithmische Mittelwert findet in diversen Wissenschaften und technischen Problemen Verwendung. Es tritt meist dann auf, wenn über treibende Gefälle gemittelt wird. Dies ist zum Beispiel bei der integralen Betrachtung von Wärme- oder Stofftransportprozessen der Fall, beispielsweise bei der [[Verfahrenstechnik|verfahrenstechnischen]] Auslegung von [[Wärmetauscher]]n oder [[Kolonne (Verfahrenstechnik)|Trennkolonnen]].

== Analysis ==

=== Mittelwertsatz ===
Nach dem [[Mittelwertsatz der Differentialrechnung]] gibt es zu einer differenzierbaren Funktion <math>f\colon[x,y]\rightarrow \R</math> ein <math>\xi\in[x,y]</math> mit
:<math>f'(\xi)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}.</math>
Für <math>f(x)=\ln\,x</math> erhält man daraus
:<math>\frac1\xi=\frac{\ln x-\ln y}{x-y}\,\,</math>, also <math>\xi=\frac{x-y}{\ln x-\ln y}</math>.
Das <math>\xi</math> ist in diesem Fall also der logarithmische Mittelwert aus <math>x</math> und <math>y</math>.

=== Integration ===
Außerdem erhält man für die Integration

:<math>\begin{array}{rcl}
\int\limits_0^1 x^{1-t} y^t\ \mathrm{d}t
&=& \int\limits_0^1 \left(\frac{y}{x}\right)^t x\ \mathrm{d}t \\
&=& x \int\limits_0^1 \left(\frac{y}{x}\right)^t \mathrm{d}t \\
&=& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}} \left(\frac{y}{x}\right)^t|_{t=0}^{1}\\
&=& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}} \left(\frac{y}{x}-1\right)\\
&=& \frac{y-x}{\ln y - \ln x}.
\end{array}</math>

== Verallgemeinerungen ==
=== Mehrere Variablen ===
Die Verallgemeinerungen des logarithmischen Mittels auf mehr als zwei Variablen wird seltener verwendet und ist uneinheitlich.

Verallgemeinert man die Idee des Mittelwertsatzes etwa ist
:<math>L_{\mathrm{MV}}(x_0,\dots,x_n) = \sqrt[-n]{(-1)^{(n+1)}\cdot n \cdot \ln[x_0,\dots,x_n]}</math>
wobei <math>\ln[x_0,\dots,x_n]</math> die [[Dividierte Differenzen|dividierten Differenzen]] des Logarithmus bezeichnen.

Für <math>n=2</math>, also für drei Variablen, führt dies zu
:<math>L_{\mathrm{MV}}(x,y,z) = \sqrt{\frac{(x-y)\cdot(y-z)\cdot(z-x)}{2\cdot((y-z)\cdot\ln x + (z-x)\cdot\ln y + (x-y)\cdot\ln z)}}</math>.

Verallgemeinert man das Integral zu
:<math>L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots,x_n) = \int_S x_0^{\alpha_0}\cdot\dots\cdot x_n^{\alpha_n}\ \mathrm{d}\alpha</math>
mit
<math>S = \{(\alpha_0,\dots,\alpha_n)| \alpha_0+\dots+\alpha_n=1\ \land\ \alpha_0\ge0\ \land\ \dots\ \land\ \alpha_n\ge0\}</math>
erhielte man

:<math>L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots,x_n) = n!\cdot\exp[\ln x_0, \dots, \ln x_n]</math>

und als Spezialfall für drei Variablen
:<math>L_{\mathrm{I}}(x,y,z) = -2\cdot\frac{x\cdot(\ln y-\ln z) + y\cdot(\ln z-\ln x) + z\cdot(\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot(\ln y-\ln z)\cdot(\ln z-\ln x)}</math>.

=== Andere Mittelwerte ===
Das [[Stolarsky-Mittel]] etwa verallgemeinert das logarithmische Mittel.

== Quellen ==
* Horst Alzer: ''Ungleichungen für Mittelwerte''. Archiv der Mathematik, Vol 47, Nr. 5 / Nov. 1986, [[doi:10.1007/BF01189983]].
* A. O. Pittenger: ''The logarithmic mean in n variables''. In: [[American Mathematical Monthly]], 92 (1985), S. 99–104.
* Gao Jia, Jinde Cao: [https://www.emis.de/journals/JIPAM/article321.html ''A New Upper Bound of the Logarithmic Mean'']. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4, 4, 2003, 80.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mittelwert]]

Logarithmisches Mittel - Versionsgeschichte

imported>RobinHood136: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|1|0 */