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2022-07-27T13:37:00Z

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[[Datei:Logarithmische Verteilung.PNG|miniatur|hochkant=2|Wahrscheinlichkeitsfunktion der logarithmischen Verteilung für <math>p=0{,}2</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)]]
Die '''logarithmische Verteilung''' ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] in der [[Stochastik]], der Mathematik des Zufalls.
Sie ist [[Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung|univariat]], eine [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] und kommt aus dem Bereich der [[Versicherungsmathematik]].
Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

== Definition ==
Eine diskrete [[Zufallsvariable|Zufallsgröße]] <math>X \in \mathbb{N} \setminus \left\{0\right\}</math> genügt der logarithmischen Verteilung mit dem
Parameter <math>p</math> (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die
[[Wahrscheinlichkeit]]
:<math>\operatorname{P}(X=k)=f(k)= -\frac{p^{k}}{k}\cdot\frac{1}{\ln(1-p)}</math>
besitzt.

== Eigenschaften ==
=== Erwartungswert ===
Die logarithmische Verteilung hat einen [[Erwartungswert]] von
:<math>\operatorname{E}(X) = -\frac{p}{(1-p)\ln(1-p)}</math>.

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] bestimmt sich zu
:<math>\operatorname{Var}(X) = -\frac{p \cdot (\ln(1-p)+p)}{(1-p)^{2}\ln^{2}(1-p)}</math>.

=== Variationskoeffizient ===
Aus [[Erwartungswert]] und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man sofort den [[Variationskoeffizient]]en
:<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{-\frac{p}{\ln(1-p)+p}}</math>.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] ergibt sich zu:
:<math>\operatorname{v}(X) = \frac{1}{\sqrt{p(-\ln(1-p)-p)}}
\left(\frac{\ln^{2}(1-p)}{-\ln(1-p)-p}+p(-\ln(1-p)-2p)\right)</math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] hat die Form
:<math>\phi_{X}(s) = \frac{\ln(1-pe^{is})}{\ln(1-p)}</math>.

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
Für die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] erhält man
:<math>g_{X}(s) = \frac{\ln(1-ps)}{\ln(1-p)}</math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der logarithmischen Verteilung ist
:<math>m_{X}(s) = \frac{\ln(1-pe^{s})}{\ln(1-p)}</math>.

=== Iterative Berechnung ===
Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt die rekursive Gleichung
:<math> f(k+1) = \frac{kp}{k+1}f(k) </math>
mit Startwert
:<math>f(1) = \frac{-p}{\ln(1-p)} </math>.
Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==
Kombiniert man die logarithmische Verteilung mit der [[Zusammengesetzte Poisson-Verteilung|zusammengesetzten Poisson-Verteilung]], so entsteht die [[negative Binomialverteilung]] und damit als Spezialfall auch die [[geometrische Verteilung]].

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7 |DOI=10.1515/9783110215274}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld| id = Log-SeriesDistribution| title = Logarithmic Distribution| author = }}

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Logarithmische Verteilung - Versionsgeschichte

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