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2026-04-29T22:22:43Z

Eigenschaften

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{{Belege}}
[[Datei:Logarithmic spiral.svg|mini|Logarithmische Spirale, linksdrehend]]

Eine '''logarithmische Spirale''' oder '''''spira mirabilis''''' („Wunderspirale“) ist eine [[Spirale]], bei der sich mit jeder Umdrehung um ihren Mittelpunkt (Zentrum, [[Asymptotischer Punkt|Pol]]) der Abstand von diesem Mittelpunkt um den gleichen Faktor verändert. Der Radius wächst also proportional zur Bogen- bzw. Spirallänge.
Jede [[Gerade]] durch den Pol schneidet die [[Logarithmus|logarithmische]] Spirale stets unter dem gleichen [[Winkel]] (s. [[Isogonaltrajektorie]]). Wegen dieser Eigenschaft spricht man auch von einer '''gleichwinkligen Spirale'''. Durch diese Eigenschaft ist die logarithmische Spirale eindeutig charakterisiert.

== Mathematische Darstellung ==
[[Datei:Logarithmic Spiral Pylab.svg|mini|Logarithmische Spirale, linksdrehend, Steigungswinkel <math>\alpha</math> = 10° <math>\rightarrow</math> Steigung <math>k = \tan(10^\circ)\approx0{,}18</math>, Darstellung in einem [[Polarkoordinaten#Polarkoordinaten in der Ebene: Kreiskoordinaten|Polarkoordinatensystem]]]]
Einfach lässt sich jede logarithmische Spirale in [[Polarkoordinaten]] <math>(r(\varphi), \varphi)</math> angeben. Für <math>a, k \in \mathbb R \setminus \{0\}</math> und die [[Eulersche Zahl]] <math>e</math> beschreibt die Gleichung
:<math>\quad r(\varphi) = a e^{k\varphi} ,\quad \varphi \in \mathbb R,</math>
eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>r\colon \R \to \R</math>, und mittels der Polarkoordinateninterpretation
eine logarithmische Spirale in der euklidischen Ebene. Der Parameter <math>k</math> wird als ''[[Steigung]] der Spirale'' bezeichnet. Das <math>k</math> kann auch durch <math>\tan \alpha</math> ausgedrückt werden, wobei dann <math>\alpha \in \left] -\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right[</math> der ''Steigungswinkel'' genannt wird. Dieser ist nicht der unten gezeichnete ''Tangentenwinkel'' <math>\bar \alpha</math>, sondern dessen [[Winkel#Komplementwinkel oder Komplementärwinkel|Komplementärwinkel]] (<math>\bar \alpha + \alpha</math> = 90°).

In [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] ergibt sich:
:<math>x(\varphi) = r(\varphi) \cos{\varphi} = a e^{k \varphi} \cos{\varphi}</math>
:<math>y(\varphi) = r(\varphi) \sin{\varphi} = a e^{k \varphi} \sin{\varphi}</math>

Namensgebend ist die Darstellung, bei der der Winkel als Funktion des Radius <math>r</math> ausgedrückt wird:
:<math>\varphi(r) = \frac {1}{k} \ln \left( \frac {r}{a} \right)\quad, </math> und dieser freie Parameter <math>r</math> (der Gleichung) ist aus <math>\R^+</math> falls <math> a > 0</math> und aus <math>\R^-</math> falls <math> a < 0</math>.

In der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]] lässt sich jede logarithmische Spirale sogar noch einfacher darstellen.
:Mit <math>z \in \mathbb C \setminus \mathbb R</math> und <math>\left|z\right| \ne 1</math> gilt:
:<math>w(t) = a z^t ,\quad t \in \mathbb R,</math>

denn ist <math>z = |z| e^{i \arg z}</math> die [[Polarform]] von <math>z</math>, so gilt
:<math>z^t = |z|^t e^{i t \arg z} = e^{t\ln|z|} \left(\cos \left(t\arg z\right) + i \sin \left(t\arg z\right)\right)</math>.
Also geschieht dies mit den beiden (analytischen) Bijektionen
<math>\varphi \mapsto t\arg z</math>
und
<math>k \mapsto \tfrac{\ln|z|}{\arg z} </math>,
denn <math>\arg z \ne 0</math> nach Voraussetzung.

Eine weitere, einfache Darstellung aus der Differentialgeometrie ebener Kurven lautet:

:Nur wenn für (beliebiges, aber festes) <math>k \in \mathbb R</math> für alle reellen Werte <math>\varphi</math> die Differentialgleichung
:: <math>\frac{1}{r} \frac{\mathrm d}{\mathrm d\varphi} r = k </math>
:gilt, dann heißt die zugehörige Menge der Punkte <math>(r(\varphi),\varphi) \in \mathbb R^2</math> (in Polarkoordinaten) eine logarithmische Spirale mit ''Steigung(-sparameter)'' <math>k</math> .

== Eigenschaften ==
[[Datei:Logarithmic spiral2.svg|mini|Logarithmische Spirale: alle durch den Pol gehenden Geraden schneiden die Kurve unter dem gleichen Tangentenwinkel]]
[[Datei:01 Würfelverdoppelung-logarithmische Verdoppelungsspirale.svg|mini|hochkant=1|Als linksdrehende logarithmische Verdoppelungsspirale (rot), eignet sie sich auch für die [[Würfelverdoppelung#Logarithmische Verdoppelungsspirale|Würfelverdoppelung]] und Würfelhalbierung <math>\overline{0P_2}=\tfrac{1}{\sqrt[3]{2}}</math>.<ref>Hans Walser: ''Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen'', 2.9 Würfelverdoppelung mit Stern und Spirale [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag GmbH [[Berlin]] 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seiten 25–28</ref> ]]
Die logarithmische Spirale hat eine Reihe einzigartiger Eigenschaften, weshalb sie von einem ihrer größten Liebhaber, [[Jakob I Bernoulli]], auch als ''spira mirabilis'' („wundersame Spirale“) bezeichnet wurde:
* Das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] von <math>ak</math> gibt die anschauliche Drehrichtung der Spirale in der Ebene wieder.
* Alle durch den Pol gehenden Geraden schneiden die Kurve – also ihre Tangenten – unter dem gleichen ''Tangentenwinkel'' <math>\bar \alpha</math> mit <math>\tan \bar \alpha = \tfrac {1}{k} = \cot \alpha</math> und daher <math>\bar \alpha = \tfrac {\pi}{2} - \alpha</math> (siehe Abbildung). Man kann dies sogar als Eigenschaft fordern und so logarithmische Spiralen definieren (siehe ihre Darstellung in Form einer Differentialgleichung).
* Die Spirale umkreist den Ursprung unendlich oft, ohne ihn zu erreichen ([[asymptotischer Punkt]]).
* Obwohl die Kurve den Pol, den sie „unendlich“ oft umkreist, für keinen endlichen Winkelwert erreicht, ist die [[Länge (Mathematik)|Bogenlänge]] von jedem Kurvenpunkt bis zum Pol endlich und beträgt <math>s(\varphi)=a\tfrac{\sqrt{1+k^2}}{k}e^{k\varphi}</math>.
* Mit jeder Windung wächst der Radius um einen konstanten Faktor:
:<math>r ( \varphi +2 \pi) = a e^{k( \varphi +2 \pi)} = a e^{k \cdot 2\pi} e^{k\varphi} = (e^{2\pi})^k r ( \varphi)</math>
: mit e2π ≈ 535,5 in einer Potenz der Steigung ''k'' (daher ergeben nur relativ flache Spiralen mit ''k'' ≪ 1 „hübsche“ Schnecken). Diese Eigenschaft unterscheidet alle ''logarithmischen'' Spiralen von den ''[[Archimedische Spirale|archimedischen]]'', die sich bei jeder Windung um eine Konstante ausdehnen (ihre Steigung nimmt dabei ab). <gallery mode="packed" heights="220">
Datei:Logarithmic spiral radiuses.png|alternativtext=<nowiki>Es gilt: r 1 r 2 = r 2 r 3 = r 3 r 4 {\displaystyle {\frac {r_{\text{1}}}{r_{\text{2}}}}={\frac {r_{\text{2}}}{r_{\text{3}}}}={\frac {r_{\text{3}}}{r_{\text{4}}}}}</nowiki>|Es gilt: <math>\frac{r_\text{2}}{r_\text{1}}=\frac{r_\text{3}}{r_\text{2}}=\frac{r_\text{4}}{r_\text{3}}=e^{2\pi k}</math>
</gallery>
* Die logarithmische Spirale ist – in Verallgemeinerung der obigen Herleitung – ''selbstähnlich (invariant)'' gegenüber einer ''[[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]]'' um den Faktor <math>e^{k \gamma}</math> bei gleichzeitiger ''[[Rotation (Mathematik)|Drehung]] um den Winkel'' <math>\gamma</math>.
: Das gilt für die konstant wachsende Archimedesspirale nicht: Darum scheinen rotierende Archimedesspiralen „nach außen“ zu wandern, aber logarithmische [[Perspektive|perspektivisch]] auf den Beobachter zuzukommen.[[Datei:Animated log spiral expanding clockwise.gif|mini|Eine logarithmische Spirale ist [[Selbstähnlichkeit|selbstähnlich]].]]
* Die Kurve ist ihre eigene ''[[Evolute]]''.
* Die Kurve ist ihre eigene ''Brennlinie ([[Kaustik (Optik)|Kaustik]])''.
* Die Kurve ist ihre eigene '' [[Fußpunkt-Transformation|Fußpunktkurve]]''.
* Eine ''[[Kreisspiegelung|Inversion]] der Kurve'' (<math>r \mapsto \tfrac 1 r</math>) führt zur Spiegelung der Kurve an der X-Achse und Drehung (für <math>|a| = 1</math> nur zur [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]]); aus einer linksdrehenden logarithmischen Spirale wird eine rechtsdrehende und umgekehrt.[[Datei:Logarithmic spiral + inverse.png|mini|Logarithmische Spirale mit ihrer Inversen, <math>|a| = 1</math>]]
* Alle ''Spiralen gleicher Steigung'' sind [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]].[[Datei:Spiral-log-a-1-5.svg|mini|Logarithmische Spiralen mit a = 1,2,3,4,5 und <math>\alpha</math> = 20°; jede Spirale kann durch Drehung zu eine der anderen Spiralen werden]]
* [[Datei:Logarithmic spiral +- 90°.png|mini|Drehung einer logarithmischen Spirale um ± <math>\pi/2</math>; die Spiralen berühren sich in keinem Punkt]]Für <math>{k \to 0}\ </math> nähert sich die Spirale immer mehr einem [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] mit Radius <math>a</math> an, der die Kurvengleichung für <math>k = 0</math> ([[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] 90° = <math>\tfrac{\pi}{2}</math>) erfüllt. Daher kann man in der Definition der Spirale auch <math>k=0</math> zulassen und den Kreis als einen Spezialfall der logarithmischen Spirale betrachten, was insbesondere in der [[Kugelgeometrie]] bedeutend ist.
* Die logarithmische Spirale ist eine [[W-Kurve]] im Sinne der projektiven Geometrie: sie ist invariant unter einer 1-parametrigen Gruppe von [[Projektive Transformation|projektiven Transformationen]].

=== Spezialfälle und Näherungen ===
Die ''Goldene Spirale'' ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale. Diese Spirale lässt sich mittels rekursiver Teilung eines ''Goldenen Rechtecks'' in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck konstruieren (siehe nachfolgendes Bild). Bei ihr gilt somit <math>k = \tfrac{4\ln(\Phi)}{2\pi}</math> mit dem Wert des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnittes]] <math>\Phi = \tfrac{\sqrt{5}+1}{2}</math>.

Jede logarithmische Spirale lässt sich auch durch einen [[Polygonzug (Mathematik)|Polygonzug]] approximieren. Für dessen Konstruktion werden Dreiecke mit einem gleichen Steigungswinkel und jeweils der kürzeren Seite so lang wie die längere Seite des vorigen Dreiecks aneinandergereiht.  Eine Erweiterung dieses Gedankenganges gilt auch für gewisse irreguläre [[Polygon]]e, die sich aneinanderlegen lassen. Dieses Bauprinzip ist in der Natur verbreitet und liefert im Allgemeinen ''mehrgängige Spiralen''.

<gallery mode="packed" heights="200">
Datei:Golden spiral in rectangles.svg|''[[Goldene Spirale]]''
Datei:Polygon spiral.svg|Irreguläre ''Polygonspirale''
</gallery>

=== Formeln ===
''siehe auch:'' [[Formelsammlung Geometrie]]
[[Datei:Spiral-log-st-se.svg more-labels2.png|mini|Darstellung der Größen]]
[[Datei:Logarithmic spiral 5d.gif|mini|Der Steigungswinkel ist – genau wie der Tangentenwinkel – konstant.]]
{| class="wikitable"
|-
! colspan="2" class="hintergrundfarbe6" | Formeln zur Logarithmischen Spirale
|----
! style="text-align:left" | [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]
| <math>r(\varphi)=a \cdot e^{k\cdot\varphi}\quad,\quad \varphi(r) = \frac{1}{k} \cdot \ln \left (\frac{r}{a} \right)</math>
|----
! style="text-align:left" | [[Steigung]]
| <math>\frac{1}{r} \cdot \frac{\mathrm dr}{\mathrm d\varphi} = k = \tan(\alpha)</math>
|----
! style="text-align:left" | [[Krümmungsradius]]
| <math>\rho(r)=r \cdot \sqrt{1+k^2} = \frac{r}{\cos(\alpha)}</math>
|----
! style="text-align:left" | [[Bogenlänge]]
| <math>s(r_2)-s(r_1)=\sqrt{1+k^2} \cdot \frac{r_2-r_1}{k} = \frac{r_2-r_1}{\sin(\alpha)}</math>
|----
! style="text-align:left" | [[Flächeninhalt]]
| <math>A(r_2) - A(r_1) =\frac{r^2_2-r^2_1}{4k}</math>
|----
|}

== Logarithmische Spirale und Loxodrome ==

Ausgehend von einer logarithmischen Spirale in der Ebene mit dem Koordinatenursprung als ihrem asymptotischen Punkt kann eine [[Loxodrome]] auf einer Kugeloberfläche konstruiert werden. Hierfür wird die Kurve auf eine Kugeloberfläche projiziert, indem eine Kugel mit willkürlichem Radius auf den Koordinatenursprung gelegt wird. Dieser Kontaktpunkt bezeichne den Südpol auf der Kugel. Von den Punkten der logarithmischen Spirale in der Ebene werden Strahlen durch diese [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] hindurch zum Nordpol der Kugel betrachtet. Diese Strahlen definieren dann beim jeweils erstmaligen Schneiden der Kugeloberfläche dort eine neue sphärische Kurve.
Geraden, die in der Ebene durch den Ursprung gehen, werden durch diese Abbildung zu Längenkreisen auf der Kugel und die ebene logarithmische Spirale beschreibt auf der Kugeloberfläche eine Loxodrome. Umgekehrt erzeugt eine passende (Nordpol und Südpol sind die asymptotischen Punkte der Loxodrome) Projektion einer Loxodromen von der Sphäre in die Ebene dort eine logarithmische Spirale. Diese Art der [[Winkeltreue Abbildung|winkeltreuen]] Projektion von Sphäre auf Ebene nennt man [[stereografische Projektion]].

== Vorkommen ==
In der [[Natur]] finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen mit diversen Steigungen, wie beispielsweise durch Wachstum entstandene [[Gastropoda|Schneckenhäuser]] oder die Anordnung von [[Frucht|Kernen]] in der Blüte einer [[Sonnenblume]], oder der Blütenstand einer Blumenkohlsorte namens Romanesco Brassica Oleracea.

Ein Fluginsekt orientiert sich bei einem nächtlichen Flug am Stand des (weit entfernten) Mondes, indem es den Winkel zu ihm konstant hält. Durch eine (punktuelle nahe) Straßenlaterne wird die Flugkurve jedoch regelmäßig korrigiert, so dass sie zu einer logarithmischen Spirale wird, in deren Zentrum sich die Straßenlaterne befindet.

Daneben finden sich annähernd logarithmisch spiralförmige Strukturen in [[Mechanisches System|dynamischen Mehrkörpersystemen]] und [[Fluiddynamik|fluiddynamischen Systemen]] ([[Wirbel (Strömungslehre)|Wirbelbildung]] bei ausreichend großem Geschwindigkeitsgradient) sowie in der Technik (z. B. [[Hinterdrehen]]).

<gallery mode="packed" heights="200">
Datei:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|Schnitt einer [[Perlboote|Nautilus]]-Schale
Datei:Messier51.jpg|[[Whirlpool-Galaxie]], eine typische [[Spiralgalaxie]]
Datei:Low pressure system over Iceland.jpg|[[Tiefdruckwirbel]] über Island im Sep. 2003 aus ca. 700 km Höhe fotografiert
</gallery>

== Anwendungen ==
<gallery perrow="3" class="float-right" mode="packed" widths="200" heights="280">
Datei:Ratsche Spanngurt.jpg|Ratsche eines [[Spanngurt]]s: Die Zähne des Sperrrads, welche die [[Sperrklinke]] hochschieben, haben optimalerweise die Form einer logarithmischen Spirale, um ein Klemmen zu verhindern.
Datei:Clé à oeil spéciale-02 cropped.jpg|[[Schraubenschlüssel]] mit den [[Schlüsselweite]]n 15 – 22 mm; die Einstellung erfolgt automatisch durch das Anziehen
Datei:Spring Loaded Camming Device.svg|Skizze eines Klemmgeräts in einem [[Riss (Klettern)|Felsriss]]
</gallery>
* [[Spiralantenne]]
* [[Klemmgerät]]
* ''[[Kernwaffentechnik#Swan Device|Swan Device]]''
* [[PSS-Lenkung]]
* [[Kegelradgetriebe]] mit logarithmischer Spiralverzahnung zeichnen sich durch eine hohe Laufruhe aus.<ref>{{Literatur |Autor=Jingyu Mo, Shanming Luo, Xiangming Zeng, Kong Yuan, Shengping Fu, Shuidian Xu |Titel=Aligning natural logarithmic spiral with gear drive: How bionic gear design and characteristics are affected by logarithmic spiral parameters |Sammelwerk=Results in Engineering |Band=27 |Datum=2025-09-01 |ISSN=2590-1230 |DOI=10.1016/j.rineng.2025.106896 |Seiten=106896 |Online=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2590123025029597 |Abruf=2026-01-28}}</ref>

== Historisches ==
[[Datei:Logarithmische Spirale bei Albrecht Dürer.jpg|mini|Beschreibung und Freihandzeichnung einer logarithmischen Spirale von Albrecht Dürer (1525)]]
Die erste bekannte Beschreibung einer logarithmischen Spirale findet sich bei [[Albrecht Dürer]] (1471–1528) in seinen Werk ''Underweysung der messung mit dem zirckel un richtscheyt'' (1525) und wird dort als ''ewige lini'' bezeichnet. Allerdings ist die Beschreibung bei Dürer nur mit einer Freihandzeichnung versehen und enthält weder eine Konstruktion noch eine Darstellung durch eine Formel.<ref>{{Internetquelle |autor=Albrecht Dürer |url=http://daten.digitale-sammlungen.de/~db/ausgaben/thumbnailseite.html?id=00095496&seite=31&fip=193.174.98.30 |titel=Underweysung der messung mit dem zirckel un[d] richtscheyt, Nürnberg 1525, Figur 27, Bildnr. 31 in der Digitalen Bibliothek der Bayerischen Staatsbibliothek |abruf=2023-11-06 |sprache=de}}</ref>

Die erste mathematisch exakte Definition geht auf [[René Descartes|Descartes]] (1596–1650) zurück, der sie 1638 formulierte und zudem die Tangenteneigenschaft der Spirale entdeckte, etwa zeitgleich untersuchte [[Evangelista Torricelli|Torricelli]] (1608–1647) die Spirale und beschrieb ihre punktweise Konstruktion.

[[Jakob I Bernoulli]] (1655–1705) studierte die Spirale intensiv und war von ihren Eigenschaften so fasziniert, dass er sie ''spira mirabilis'' (Wunderspirale) nannte. Der Legende nach war es sein Wunsch, dass seine geliebte logarithmische Spirale mit der Inschrift ''eadem mutata resurgo'' („Verwandelt kehr' ich als dieselbe wieder“) auf seinen Grabstein eingemeißelt werden sollte. Der zuständige Steinmetz meißelte nach dem Tod Bernoullis zwar eine Spirale auf dessen Grabstein, allerdings handelte es sich (vermutlich aus Unwissenheit oder um sich Arbeit zu sparen) um eine [[Archimedische Spirale]]. Bernoullis Grabstein kann noch heute im Kreuzgang des [[Basler Münster|Münsters zu Basel]] besichtigt werden.<ref name="Haustein">Heinz-Dieter Haustein: ''Kulturgeschichte der Formel: Vom Mondkalender der Vorgeschichte bis zur Aktienkapitalformel''. Akademische Verlagsgemeinschaft München, 2009, ISBN 978-3-96091-114-2, S. [https://books.google.de/books?id=pjF4DwAAQBAJ&pg=PA160 160]</ref>

Die Bezeichnung „logarithmische Spirale“ stammt von [[Pierre Varignon]], der sie erstmals 1704 verwendete.<ref name="Haustein" />

== Literatur ==
* [[Dörte Haftendorn]]: ''Kurven erkunden und verstehen: Mit [[GeoGebra]] und anderen Werkzeugen''. Springer, 2016, ISBN 978-3-658-14749-5, S. 223–229

== Weblinks ==
{{Commonscat|Logarithmic spirals|Logarithmische Spirale}}
* {{MathWorld|title=Logarithmic Spiral|id=LogarithmicSpiral}}
* [http://www.maphi.de/mathematik/kurven/logarithmische_spirale.html Logarithmische Spirale] auf maphi.de

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]

Logarithmische Spirale - Versionsgeschichte

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