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2025-01-26T09:26:46Z

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Die '''logarithmische Normalverteilung''' (kurz '''Log-Normalverteilung''') ist eine kontinuierliche [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] für eine Variable, die nur positive Werte annehmen kann. Sie beschreibt die Verteilung einer [[Zufallsvariable]]n <math>X</math>, wenn die mit dem Logarithmus transformierte Zufallsvariable <math>Y=\ln(X)</math> [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist.
Sie bewährt sich als Modell für viele Messgrößen in Naturwissenschaften, Medizin und Technik, beispielsweise für Energien, Konzentrationen, Längen und Mengenangaben.

In Analogie zu einer normalverteilten Zufallsvariablen, die nach dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]] als [[Summe]] vieler verschiedener Zufallsvariablen aufgefasst werden kann, entsteht eine logarithmisch normalverteilte Zufallsvariable durch das [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] vieler positiver Zufallsvariablen. Somit ist die Log-Normalverteilung die einfachste Verteilungsart für multiplikative [[Zufallsprozess]]e. Da multiplikative Gesetze in den Naturwissenschaften, der Ökonomie und der Technik eine größere Rolle spielen als additive, ist die Log-Normalverteilung in vielen Anwendungen diejenige, die der Theorie am besten entspricht – der zweite Grund, weshalb sie vielfach anstelle der gewöhnlichen, additiven Normalverteilung verwendet werden sollte.

== Definition ==
[[Datei:Lognormal distribution PDF.svg|mini|330x330px|[[Dichtefunktion]] der Log-Normalverteilung (mit <math>\mu=0</math>)]]

=== Erzeugung ===
Wenn <math>Z</math> eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist, dann ist <math>X = \mathrm{e}^{\mu + \sigma Z} = \mathrm{e}^\mu (\mathrm{e}^Z)^\sigma</math> log-normalverteilt mit den Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma>0</math>, geschrieben als <math>\mathcal{LN}(\mu,\sigma^2)</math>. Alternativ können als Parameter die Größen <math>\mu^*=\mathrm{e}^\mu</math> und <math>\sigma^*=\mathrm{e}^\sigma>1</math> verwendet werden. <math>\mu^*</math> ist ein Skalen-Parameter. <math>\sigma</math> oder ebenso <math>\sigma^*</math> bestimmt die Form der Verteilung.

Wenn <math>X</math> log-normalverteilt ist, dann ist auch <math>Y = a X</math> log-normalverteilt, und zwar mit den Parametern <math>\ln(a)+\mu</math> und <math>\sigma</math> respektive <math>a\mu^*</math> und <math> \sigma^*</math>. Ebenso ist <math>X^b</math> log-normalverteilt, mit den Parametern <math>b\mu</math> und <math>b\sigma</math> respektive <math>(\mu^*)^b</math> und <math>(\sigma^*)^b</math>.

=== Dichtefunktion ===
Eine stetige, positive [[Zufallsvariable]] <math>X</math> unterliegt einer logarithmischen Normalverteilung <math>\mathcal{LN}(\mu,\sigma^2)</math> mit den Parametern <math>\mu \in \mathbb{R}</math> und <math>\sigma \in \mathbb{R}, \sigma>0</math>, wenn die transformierte Zufallsvariable <math>Y=\ln(X)</math> einer [[Normalverteilung]] <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math> folgt. Ihre Dichtefunktion ist dann

: <math>f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x }\,\exp\Big( -\frac{(\ln(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big) = \frac{1}{x\sigma} \varphi\left( \frac{\ln(x) -\mu}{\sigma} \right),\quad x > 0</math>,
wobei <math>\varphi</math> die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

=== Verteilungsfunktion ===
[[Datei:CDF-log normal distributions.svg|mini|330x330px|[[Verteilungsfunktion]] der Log-Normalverteilung (mit <math>\mu=0</math>)]]
Damit hat die Log-Normalverteilung für <math>x \geq 0</math> die [[Verteilungsfunktion]]

: <math>F(x) = \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t = \Phi\left(\frac{\ln(x) - \mu}{\sigma}\right)</math>,

wobei <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der [[Standardnormalverteilung]] bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion der logarithmischen Normalverteilung erscheint auf logarithmisch geteiltem [[Wahrscheinlichkeitspapier]] als Gerade.

=== Mehrdimensionale log-Normalverteilung ===
Sei <math>\boldsymbol Z \sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\,\boldsymbol\Sigma)</math>
ein [[multivariate Normalverteilung|mehrdimensional (oder multivariat) normalverteilter]] [[Zufallsvektor]].
Dann ist <math>\boldsymbol X=\exp(\boldsymbol Z)</math> (d. h. <math>X_j=\exp(Z_j)</math>) multivariat log-normalverteilt.
Die mehrdimensionale Log-Normalverteilung ist viel weniger bedeutsam als die eindimensionale. Deshalb bezieht sich der nachfolgende Text fast ausschließlich auf den eindimensionalen Fall.

== Eigenschaften ==
=== Quantile ===
Ist <math>u_{(p)}</math> das p-[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]] einer [[Standardnormalverteilung]] (d. h. <math>\Phi(u_{(p)}) =
p</math>, wobei <math>\Phi</math> die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung sei), so ist das p-Quantil der Log-Normalverteilung gegeben durch

: <math>x_{(p)} = \mathrm{e}^{\mu + u_{(p)} \cdot \sigma}</math>.

=== Median, multiplikativer Erwartungswert ===
Der [[Median (Stochastik)|Median]] der logarithmischen Normalverteilung beträgt demnach <math>\mu^* = \mathrm{e}^\mu</math>. Er wird auch ''multiplikativer'' oder ''geometrischer'' Erwartungswert genannt (vgl. [[geometrisches Mittel]]). Er ist ein Skalen-Parameter, da <math>\mu^*(a X) = a \mu^*(X)</math> gilt.

=== Multiplikative Standardabweichung ===
In Analogie zum multiplikativen Erwartungswert ist <math>\sigma^* = \mathrm{e}^\sigma</math> die ''multiplikative'' oder ''geometrische'' Standardabweichung. Sie bestimmt (ebenso wie <math>\sigma</math> selbst) die Form der Verteilung. Es gilt <math>\sigma^*>1</math>.

Da das multiplikative oder geometrische Mittel einer Stichprobe von lognormalen Beobachtungen (siehe „Parameterschätzung“ unten) selbst log-normalverteilt ist, kann man seine Standardabweichung angeben, sie beträgt
<math>(\sigma^*)^{1/\sqrt{n}} </math>.

=== Erwartungswert ===
Der [[Erwartungswert]] der logarithmischen Normalverteilung beträgt

: <math>\operatorname{E}(X) = \mathrm{e}^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}</math>.

=== Modus ===
Der [[Modus (Statistik)|Modus]], also der häufigste Wert der Verteilung bzw. der Wert, für den die Dichtefunktion ihr Maximum annimmt, beträgt für die logarithmische Normalverteilung

: <math>\operatorname{Modus}(X)=x_D=\mathrm{e}^{\mu-\sigma^2}</math>.

=== Varianz, Standardabweichung, Variationskoeffizient ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ergibt sich zu

:<math>\operatorname{Var}(X) = \mathrm{e}^{2\mu+\sigma^{2}}(\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1)</math>.

Für die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] ergibt sich

: <math> \sqrt{\operatorname{Var}(X)}= \sqrt{\mathrm{e}^{2\mu+\sigma^{2}}(\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1)}=\mathrm{e}^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}\cdot\sqrt{\mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1}</math>.

Aus [[Erwartungswert]] und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man unmittelbar den [[Variationskoeffizient]]en

: <math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\mathrm{e}^{\sigma^2}-1}</math>.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] ergibt sich zu

: <math>\gamma_m = (\mathrm{e}^{\sigma^2}+2)\sqrt{\mathrm{e}^{\sigma^2}-1} > 0</math>,

d. h., die Log-Normalverteilung ist rechtsschief.

Je größer die Differenz zwischen Erwartungswert und Median, desto ausgeprägter ist i. a. die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] einer Verteilung. Hier unterscheiden sich diese Parameter um den Faktor <math>\mathrm{e}^{\sigma^2/2}</math>. Die Wahrscheinlichkeit für extrem große Ausprägungen ist also bei der Log-Normalverteilung mit großem <math>\sigma</math> hoch.

=== Momente ===
Es existieren alle [[Moment (Stochastik)|Momente]] und es gilt:

: <math>\operatorname{E}(X^n)=\mathrm{e}^{n\mu+\frac{n^2\sigma^2}{2}}, \quad n \in \N</math>.

Die [[momenterzeugende Funktion]] und die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] existieren für die Log-Normalverteilung nicht in expliziter Form.

Die Lognormalverteilung ist ein Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die Angabe aller Momente nicht charakterisiert ist, da es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit denselben Momenten gibt.<ref>{{Literatur |Autor=C. C. Heyde |Titel=On a property of the lognormal distribution |Sammelwerk=Journal of the Royal Statistical Society, Series B |Band=25 |Nummer=2 |Datum=1963 |Seiten=392–393}}</ref>

=== Entropie ===
Die [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]] der logarithmischen Normalverteilung (ausgedrückt in [[Nit (Informationseinheit)|nats]]) beträgt

: <math>\mu + \frac{1}{2}\ln\left(2\pi\mathrm{e}\sigma^2\right)</math>.

=== Multiplikation von unabhängigen, log-normalverteilten Zufallsvariablen ===
Multipliziert man zwei unabhängige, log-normalverteilte Zufallsvariable <math>X_1</math> und <math>X_2</math>, so ergibt sich wieder eine log-normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern <math>\mu=\mu_1+\mu_2</math> und <math>\sigma</math>, wobei <math>\sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2</math>. Entsprechendes gilt für das Produkt von <math>n</math> solchen Variablen.

=== Grenzwertsatz ===
Das geometrische Mittel von <math>n</math> unabhängigen, gleich verteilten, positiven Zufallsvariablen zeigt für <math>n \to\infty</math> genähert eine Log-Normalverteilung, die immer mehr einer gewöhnlichen Normalverteilung gleicht, da <math>\sigma</math> abnimmt.

=== Erwartungswert und Kovarianzmatrix einer mehrdimensionalen Log-Normalverteilung ===
Der Erwartungswert-Vektor ist

: <math>\operatorname{E}[\boldsymbol X]_i=\mathrm e^{\mu_i+\frac{1}{2}\Sigma_{ii}}</math>

und die [[Kovarianzmatrix]]

: <math>\operatorname{Var}[\boldsymbol X]_{ij} = \mathrm e^{\mu_i+\mu_j +
\frac{1}{2}(\Sigma_{ii}+\Sigma_{jj}) }( \mathrm e^{\Sigma_{ij}} - 1) . </math><ref>{{cite conference|last=Halliwell |first=Leigh |year=2015 |url=https://www.casact.org/pubs/forum/15spforum/Halliwell.pdf |format=PDF |language=en |title=The Lognormal Random Multivariate |conference=Casualty Actuarial Society E-Forum, Arlington VA, Spring 2015}}</ref>

== Beziehungen zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur Normalverteilung ===
Der Logarithmus einer logarithmisch normalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt. Genauer: Ist <math>Y</math> eine <math>\mathcal N(\mu,\sigma^2)</math>-verteilte reelle Zufallsvariable (d. h. normalverteilt mit Erwartungswert <math>\mu</math> und Varianz <math>\sigma^2</math>), so ist die Zufallsvariable <math>X=\mathrm{e}^Y</math> log-normalverteilt mit diesen Parametern <math>\mu</math> und <math>\sigma</math>.

Wenn <math>\sigma \to 0</math> und damit <math>\sigma^* \to 1</math> geht, geht die Form der Log-Normalverteilung gegen diejenige einer gewöhnlichen Normalverteilung.

=== Verteilung mit schweren Rändern ===
Die Verteilung gehört zu den [[Verteilung mit schweren Rändern|Verteilungen mit schweren Rändern]].

== Parameterschätzung und Statistik ==
=== Parameterschätzung ===
Die Schätzung der Parameter aus einer Stichprobe von Beobachtungen erfolgt über die Bestimmung von Mittelwert und (quadrierter) Standardabweichung der logarithmierten Werte:

<math>\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(X_i) , \quad
\hat\sigma^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (\ln(X_i)-\hat{\mu})^2
</math>.

Die Schätzung der multiplikativen Parameter erfolgt durch <math>\hat{\mu}^* = \exp(\hat{\mu})</math> und <math> \hat{\sigma}^* = \exp(\hat{\sigma})
</math>. <math>\hat{\mu}^*</math> ist das [[geometrisches Mittel|geometrische Mittel]]. Seine Verteilung ist log-normal mit multiplikativem Erwartungswert <math>\mu^*</math> und geschätzter multiplikativer Standardabweichung (besser als multiplikativer [[Standardfehler]] bezeichnet) <math>
\mathrm{SEM}^* = (\hat{\sigma}^*)^{1/\sqrt{n}}</math>.

Wenn keine Einzelwerte vorliegen, sondern nur der Mittelwert <math>\bar X</math> und die empirische Varianz <math>\hat{\mathrm{var}}</math> der nicht logarithmierten Werte bekannt sind, erhält man passende Parameterwerte über
: <math>\hat{\sigma}^2 = \ln\left( \frac{\hat{\mathrm{var}}}{\bar{X}^2} + 1 \right)</math>
: <math>\hat{\mu} = \ln(\bar{X})-\frac{\hat{\sigma}^2}{2}</math> oder direkt <math>\quad \hat{\mu} = \ln\left( \bar{X}^2\ \sqrt[]{\frac{1}{\hat{\mathrm{var}}+\bar{X}^2}} \right)</math>.

=== Statistik ===
Allgemein erfolgt die statistische Analyse von log-normalverteilten Größen am einfachsten und Erfolg versprechendsten so, dass die Größen logarithmiert werden und auf diese transformierten Werte die Methoden verwendet werden, die auf der gewöhnlichen Normalverteilung beruhen. Im Bedarfsfall werden dann die Ergebnisse, beispielsweise Vertrauens- oder Vorhersage-Intervalle, in die ursprüngliche Skala zurücktransformiert.

Grundlegendes Beispiel dafür ist die Berechnung von Streuungs-Intervallen. Da für eine gewöhnliche Normalverteilung in einem Bereich von <math>\mu\pm\sigma</math> etwa 2/3 (genauer 68 %) und in <math>\mu\pm2\sigma</math> 95 % der Wahrscheinlichkeit enthalten sind, gilt für die Log-Normalverteilung:

: Das Intervall <math> \ [\mu^*/\sigma^*, \mu^*\cdot\sigma^*] \ </math> enthält 2/3
: und das Intervall <math> \ [\mu^*/(\sigma^*)^2, \mu^*\cdot(\sigma^*)^2] \ </math> enthält 95 %

der Wahrscheinlichkeit (und also etwa diese Prozentzahl der Beobachtungen einer Stichprobe).
Die Intervalle können in Analogie zu <math>\mu\pm\sigma</math> als
<math>\mu^*\cdot/\sigma^*</math> und <math>\mu^*\cdot/(\sigma^*)^2</math> notiert werden.

In graphischen Darstellungen (untransformierter) Beobachtungen sollten deshalb solche asymmetrische Intervalle gezeigt werden.<ref>{{Literatur |Autor=Eckhard Limpert, Werner A Stahel, Markus Abbt |Titel=Lognormal distributions across the sciences: keys and clues |Sammelwerk=BioScience |Band=51 |Nummer=5 |Datum=2001 |Seiten=341–352 |DOI=10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Eckhard Limpert, Werner A Stahel |Titel=Problems with Using the Normal Distribution – and Ways to Improve Quality and Efficiency of Data Analysis |Sammelwerk=PlosOne |Band=51 |Nummer=5 |Datum=2011 |Seiten=341–352 |DOI=10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2}}</ref>

== Anwendungen ==
Variation in vielen natürlichen Phänomenen lässt sich gut mit der
Log-Normalverteilung beschreiben. Dies kann erklärt werden durch die
Vorstellung, dass kleine prozentuale Abweichungen zusammenwirken,
die einzelnen Effekte sich also multiplizieren.
Bei Wachstumsprozessen ist dies besonders naheliegend.
Zudem bestehen die Formeln für die meisten grundlegenden Naturgesetze aus
Multiplikationen und Divisionen.
Auf der logarithmischen Skala ergeben sich dann Additionen und
Subtraktionen, und der entsprechende
[[Zentraler Grenzwertsatz|Zentrale Grenzwertsatz]] führt zur
Normalverteilung – zurücktransformiert auf die ursprüngliche Skala also
zur Log-Normalverteilung.
Diese multiplikative Version des Grenzwertsatzes ist auch als
[[Gesetz von Gibrat]] bekannt. Robert Gibrat (1904–1980) formulierte es für
Unternehmen.<ref>{{Literatur |Autor=John Sutton |Titel=Gibrat's Legacy |Sammelwerk=Journal of Economic Literature |Band=32 |Nummer=1 |Datum=1997 |Seiten=40–59}}</ref>

In einigen Wissenschaften ist es üblich, Messgrößen in Einheiten anzugeben,
die durch Logarithmieren einer gemessenen Konzentration (Chemie) oder
Energie (Physik, Technologie) erhalten werden.
So wird der Säuregrad einer wässerigen Lösung durch den [[pH-Wert]] gemessen, der als negativer Logarithmus der Wasserstoffionen-Aktivität definiert ist.
Eine Lautstärke wird in [[Bel (Einheit)|Dezibel (dB)]] angegeben, das
<math>=10 \log_{10}(E)</math>, wobei <math>E</math>
das Verhältnis des [[Schalldruckpegel]]s zu einem entsprechenden Referenzwert ist.
Analoges gilt für andere Energie-Pegel.
In der Finanzmathematik wird ebenfalls oft direkt mit logarithmierten Größen (Preisen, Kursen, Erträgen) gerechnet, siehe unten.

Für solche „bereits logarithmierte“ Größen ist dann die gewöhnliche [[Normalverteilung]] oft eine gute Wahl; also wäre hier, wenn man die
ursprünglich gemessene Größe betrachten wollte, die Log-Normalverteilung geeignet.

Generell eignet sich die Log-Normalverteilung für Messgrößen, die nur positive Werte annehmen können,
also Konzentrationen, Massen und Gewichte, räumliche Größen, Energien usw.

Die folgende Liste zeigt mit Beispielen die breite Palette der Anwendungen der Log-Normalverteilung.

* Mathematik ([[Analytische Zahlentheorie]]): [[Selbergs zentraler Grenzwertsatz]]

* [[Geologie]]: Konzentration von Elementen<ref>{{Literatur |Autor=L H Ahrens |Titel=The log-normal distribution of the elements (A fundamental law of geochemistry and its subsidiary) journal |Band=5 |Datum=1954 |Seiten=49–73}}</ref>

* [[Kolloidchemie|Kolloid-]] und [[Polymerchemie]]: [[Partikelgrößenverteilung|Partikelgrößen-Verteilung]] und [[Molmassenverteilung|Molmassen-Verteilung]]

* [[Hydrologie]]: Die Log-Normalverteilung nützt bei der Analyse von Extremwerten wie – beispielsweise – monatliche oder jährliche Maxima der täglichen Regenmenge oder des Abflusses von Gewässern.<ref>{{Literatur |Autor=R.J. Oosterbaan |Titel=Drainage Principles and Applications, Publication 16 |Verlag=International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI) |Ort=Wageningen, The Netherlands |Datum=1994 |ISBN=978-90-70754-33-4 |Kapitel=6: Frequency and Regression Analysis |Seiten=175–224 |Online=[https://www.waterlog.info/pdf/freqtxt.pdf Online]}}
</ref>

* [[Ökologie]]: Die Häufigkeit von Arten zeigt oft eine Log-Normalverteilung.<ref>{{Literatur |Autor=G Sugihara |Titel=Minimal community structure: An explanation of species abundance patterns |Sammelwerk=American Naturalist |Band=116 |Datum=1980 |Seiten=770–786 |JSTOR=2460407}}</ref>

* [[Biologie]] und [[Medizin]]
** Maße der Größe von Lebewesen (Länge, Hautfläche, Gewicht);<ref>{{Literatur |Autor=Julian S Huxley |Titel=Problems of relative growth |Verlag=London |Datum=1932 |ISBN=978-0-486-61114-3}}</ref>
** Physiologische Größen wie der Blutdruck von Männern und Frauen.<ref>{{Literatur |Autor=Robert W. Makuch, D H Freeman, M F Johnson |Titel=Justification for the lognormal distribution as a model for blood pressure |Sammelwerk=Journal of Chronic Diseases |Band=32 |Nummer=3 |Datum=1979 |Seiten=245–250 |DOI=10.1016/0021-9681(79)90070-5}}
</ref> Als Konsequenz sollten [[Referenzbereich (Medizin)|Referenzbereiche]] für gesunde Werte auf der Grundlage einer Log-Normalverteilung geschätzt werden.
** [[Inkubationszeit]]en von ansteckenden Krankheiten;<ref>{{Literatur |Autor=P E Sartwell |Titel=The incubation period and the dynamics of infectious disease |Sammelwerk=American Journal of Epidemiology |Band=83 |Datum=1966 |Seiten=204–216}}</ref>
** In der Neurologie zeigt die Verteilung der Impulsrate von Nervenzellen oft eine log-normale Form, so im Cortex und Striatum<ref>
{{Cite conference| last=Scheler|first=Gabriele|last2=Schumann|first2=Johann| title=Diversity and stability in neuronal output rates|conference=36th Society for Neuroscience Meeting, Atlanta |language=en |year=2006-10-08}}</ref> und im Hippocampus und im entorhinalen Cortex<ref>
{{Literatur |Autor=Kenji Mizuseki, György Buzsáki |Titel=Preconfigured, skewed distribution of firing rates in the hippocampus and entorhinal cortex |Sammelwerk=Cell Reports |Band=4 |Nummer=5 |Datum=2013-09-12 |Seiten=1010–1021 |ISSN=2211-1247 |DOI=10.1016/j.celrep.2013.07.039 |PMC=3804159 |PMID=23994479}}
</ref> sowie in anderen Hirnregionen.<ref>{{Literatur |Autor=György Buzsáki, Kenji Mizuseki |Titel=The log-dynamic brain: how skewed distributions affect network operations |Sammelwerk=Nature Reviews. Neuroscience |Band=15 |Nummer=4 |Datum=2017 |Seiten=264–278 |ISSN=1471-003X |DOI=10.1038/nrn3687 |PMC=4051294 |PMID=24569488}}
</ref><ref>{{Literatur |Autor=Adrien Wohrer, Mark D Humphries, Christian K Machens |Titel=Population-wide distributions of neural activity during perceptual decision-making |Sammelwerk=Progress in Neurobiology |Band=103 |Datum=2013 |Seiten=156–193 |ISSN=1873-5118 |DOI=10.1016/j.pneurobio.2012.09.004 |PMC=5985929 |PMID=23123501}}
</ref> Ebenso für weitere neurobiologische Größen.<ref>{{Literatur |Autor=Gabriele Scheler |Titel=Logarithmic distributions prove that intrinsic learning is Hebbian |Sammelwerk=F1000 Research |Band=6 |Datum=2017 |Seiten=1222 |DOI=10.12688/f1000research.12130.2 |PMC=5639933 |PMID=29071065}}</ref>
** Sensitivität gegenüber [[Fungizid]]en;<ref>{{Literatur |Autor=R A Romero, T B Sutton |Titel=Sensitivity of Mycosphaerella fijiensis, causal agent of black sigatoka of banana, to propiconozole |Sammelwerk=Phytopathology |Band=87 |Datum=1997 |Seiten=96–100}}</ref>
** Bakterien auf Pflanzenblättern:<ref>{{Literatur |Autor=S S Hirano, E V Nordheim, D C Arny, C D Upper |Titel=Log-normal distribution of epiphytic bacterial populations on leaf surfaces |Sammelwerk=Applied and Environmental Microbiology |Band=44 |Datum=1982 |Seiten=695–700}}</ref>
** [[Permeabilität (Materie)|Permeabilität]] von Zellwänden und Mobilität von gelösten Stoffen:<ref>{{Literatur |Autor=P Baur |Titel=Log-normal distribution of water permeability and organic solute mobility in plant cuticles |Sammelwerk=Plant, Cell and Environment |Band=20 |Datum=1997 |Seiten=167–177}}</ref>

* [[Sozialwissenschaften]] und [[Ökonomie]]
**[[Einkommensverteilung]]en zeigen, bis auf wenige Extremwerte, eine genäherte Log-Normalverteilung.<ref>{{cite web |url=https://ideas.repec.org/p/wpa/wuwpmi/0505006.html |title=Pareto's law of income distribution: Evidence for Germany, the United Kingdom, and the United States |date=2005 |language=en}} 
</ref> (Für das obere Ende eignet sich die [[Pareto-Verteilung]].)<ref>
{{cite web |first=Souma |last=Wataru |url=https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0202388 |title=Physics of Personal Income |accessdate=2002-02-22 |language=en}}
</ref>
** In der [[Finanzmathematik]] werden logarithmierte Erträge, Preise etc. als normalverteilt modelliert, was bedeutet, dass die ursprünglichen Größen log-normalverteilt sind. Das gilt auch für das berühmte [[Black-Scholes-Modell]],<ref>
{{Literatur |Autor=F Black, M Scholes |Titel=The Pricing of Options and Corporate Liabilities |Sammelwerk=Journal of Political Economy |Band=81 |Nummer=3 |Datum=1973 |Seiten=637 |DOI=10.1086/260062}}
</ref> das der Preisbildung von [[Option (Wirtschaft)|Optionen]] und [[Derivat (Wirtschaft)|Derivaten]] zugrunde liegt. Allerdings mag bei genauer Analyse die [[Lévy-Verteilung]] für die extrem großen Werte besser passen,<ref>
{{Literatur |Autor=Benoit Mandelbrot |Titel=The (mis-)Behaviour of Markets |Verlag=Basic Books |Datum=2004 |ISBN=9780465043552 |Online=[https://books.google.com/?id=9w15j-Ka0vgC Google Books]}}
</ref> vor allem bei [[Börsenkrach|Börsenstürzen]].
** [[Liste der größten Städte der Welt (historisch)|Einwohnerzahlen von Städten]]
** In Internet-Foren sind die Längen der Kommentare log-normalverteilt,<ref>
{{Literatur |Autor=Sobkowicz Pawel et al. |Titel=Lognormal distributions of user post lengths in Internet discussions - a consequence of the Weber-Fechner law? |Sammelwerk=EPJ Data Science |Datum=2013}}
</ref> ebenso die Verweildauer bei Online-Artikeln wie Nachrichten oder Witzen.<ref>{{cite conference |last=Yin |first=Peifeng |last2=Luo |first2=Ping |last3=Lee |first3=Wang-Chien |last4=Wang |first4=Min |title=Silence is also evidence: interpreting dwell time for recommendation from psychological perspective |conference=ACM International Conference on KDD |year=2013 |url=http://mldm.ict.ac.cn/platform/pweb/academicDetail.htm?id=16 |language=en |accessdate=2019-08-26 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170510064118/http://mldm.ict.ac.cn/platform/pweb/academicDetail.htm?id=16 |archivedate=2017-05-10 |offline=yes }}</ref>
** Die Dauer von [[Schach]]spielen folgt einer Log-Normalverteilung.<ref>
{{cite web |url=https://chess.stackexchange.com/questions/2506/what-is-the-average-length-of-a-game-of-chess/4899#4899 |title=What is the average length of a game of chess? |website=chess.stackexchange.com |accessdate=2018-04-14 |language=en}}
</ref>

* [[Technologie]]
** In der Modellierung der [[Zuverlässigkeit (Technik)|Zuverlässigkeit]] werden Reparaturzeiten als log-normalverteilt beschrieben.<ref>
{{Literatur |Autor=Patrick O'Connor, Andre Kleyner |Titel=Practical Reliability Engineering |Verlag=John Wiley & Sons |Datum=2011 |ISBN=978-0-470-97982-2 |Seiten=35}}</ref>
** Internet: Die [[Datenmenge|Dateigröße]] von öffentlich verfügbaren Audio- und Video-Dateien ist genähert log-normalverteilt.<ref>
{{Literatur |Autor=C Gros, G. Kaczor, D Markovic |Titel=Neuropsychological constraints to human data production on a global scale |Sammelwerk=The European Physical Journal B |Band=85 |Nummer=28 |Datum=2012 |Seiten=28 |arXiv=1111.6849 |bibcode=2012EPJB...85...28G |DOI=10.1140/epjb/e2011-20581-3}}
</ref> Analoges gilt für den Datenverkehr.<ref>
{{cite web |first=Mohammed |last=Alamsar |url=https://arxiv.org/pdf/1902.03853 |title=On the Distribution of Traffic Volumes in the Internet and its Implications |date=2019 |language=en}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur |Titel=Lognormal Distributions, Theory and Applications |Verlag=Marcel Dekker, Inc. |Datum=1988 |Reihe=Statistics: Textbooks and Monographs |BandReihe=88 |ISBN=978-0-8247-7803-3 |Seiten=xvi+387}}
* {{Literatur |Autor=j Aitchison, J A C Brown |Titel=The Lognormal Distribution |Verlag=Cambridge University Press |Datum=1957}}
* {{Literatur |Autor=Eckhard Limpert, Werner A Stahel, Markus Abbt |Titel=Lognormal distributions across the sciences: keys and clues |Sammelwerk=BioScience |Band=51 |Nummer=5 |Datum=2001 |Seiten=341–352 |DOI=10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 |Online=[https://stat.ethz.ch/~stahel/lognormal/bioscience.pdf PDF Online]}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Logarithmische Normalverteilung - Versionsgeschichte

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