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2025-07-08T08:12:41Z

Logarithmierte Verhältnisse: zwei Links nach Bel direkt hintereinander

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'''Logarithmische Größen''' sind Größen, die mit Hilfe von Logarithmusfunktionen definiert sind. Sie werden nach der Herkunft des [[Funktion (Mathematik)|Arguments]] des [[Logarithmus]] unterteilt in<ref name="DINIEC60027–3" /><ref>DIN EN ISO 80000–1:2013 ''Größen und Einheiten – Teil 1: Allgemeines'', Anhang C (normativ).</ref>
* logarithmierte Verhältnisse zweier Größen der gleichen Art
::Diese sind vorzugsweise in der [[Elektrotechnik]] und [[Akustik]] in Gebrauch als Größen, die mit der [[Hilfsmaßeinheit]] [[Bel (Einheit)|Bel]] bzw. [[Dezibel]] gekennzeichnet werden, seltener dem [[Neper (Hilfsmaßeinheit)|Neper]].
* logarithmische Größen, deren Argument von vornherein als eine Zahl gegeben ist
::Diese sind vorzugsweise in der [[Informationstheorie]] in Gebrauch als Größen, die mit den Hilfsmaßeinheiten [[Shannon (Einheit)|Shannon]], [[Hartley (Einheit)|Hartley]] und [[Natürliche Informationseinheit|nat]] gekennzeichnet werden.
* andere logarithmische Größen.
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== Logarithmierte Verhältnisse ==
Diese logarithmischen Größen werden vorzugsweise in der [[Elektrotechnik]] und [[Akustik]] verwendet.<ref name="DINIEC60027–3" /> Dort werden sie aus dem Verhältnis von zwei [[Leistungsgröße]]n oder zwei [[Leistungswurzelgröße]]n (früher Feldgrößen genannt) gebildet. Je nach der Bezugsgröße in diesem Verhältnis, ob es sich um eine feste oder variable Größe handelt, wird zwischen den logarithmischen Größen ''Pegel'' und ''Maß'' unterschieden.
* Beispielsweise beim [[Schalldruckpegel|Schalldruck''pegel'']] wird der Schalldruck im Bezug auf einen als [[Hörschwelle]] festgelegten Schalldruck logarithmiert.
* Beispielsweise beim [[Verstärkungsmaß|Verstärkungs''maß'']] wird das Verhältnis einer Ausgangsgröße zur gerade anliegenden Eingangsgröße logarithmiert.

Zur Kennzeichnung der Pegel und Maße, aber auch nur dafür, wird bei Verwendung des dekadischen Logarithmus die [[Hilfsmaßeinheit]] [[Bel (Einheit)|Bel]] oder ihr zehnter Teil, das Dezibel (Einheitenzeichen dB), angegeben, bei Verwendung des natürlichen Logarithmus das [[Neper (Hilfsmaßeinheit)|Neper]] (Einheitenzeichen Np).<ref name="DIN5493" />


=== Pegel ===
==== Definition ====
Ein Pegel (Signalpegel) ist eine logarithmische Größe, die durch das logarithmierte Verhältnis einer Leistungsgröße oder einer Leistungswurzelgröße zu einem festgelegten [[Bezugswert]] definiert ist, der dieselbe [[Dimension (Größensystem)|Dimension]] wie die bezogene Größe hat. Zur näheren Bezeichnung des Pegels wird die bezogene Größe herangezogen. Als Formelzeichen ist <math>L</math> (für level) üblich.

Beispiel:
: <math>L = \lg \frac P{P_0}\; \mathrm B</math>
ist der ''Pegel der Leistung'' bzw. der ''Leistungspegel'' bezogen auf den Bezugswert <math>P_0</math>. Wegen der handlicheren Zahlenwerte werden im praktischen Gebrauch Pegel statt in Bel nahezu ausnahmslos in Dezibel angegeben. Für das angeführte Beispiel ergibt sich so:

: <math>L = 10 \cdot \lg \frac P{P_0}\; \mathrm{dB}</math>.

Wird von zwei Pegeln mit demselben Bezugswert die Differenz gebildet, so hängt diese nicht vom Bezugswert ab (siehe [[Logarithmus#Quotienten|Rechenregeln für Logarithmen]]). Für das Beispiel der Differenz von zwei Leistungspegeln ergibt sich:

: <math>\Delta L = L_2 - L_1 = 10 \cdot \lg \frac{P_2}{P_0}\; \mathrm{dB} - 10 \cdot \lg \frac{P_1}{P_0}\; \mathrm{dB} = 10 \cdot\lg \left(\frac{P_2}{P_0}\cdot \frac{P_0}{P_1} \right)\; \mathrm{dB}</math>
: <math>\Delta L = 10\cdot\lg \frac{P_2}{P_1}\; \mathrm{dB}</math>.

Obwohl ebenfalls in Dezibel angegeben, ist die Größe <math>\Delta L</math> ''kein'' Pegel, sondern ein [[#Maße|Maß]], da die Größe im Nenner des logarithmierten Verhältnisses kein fester Bezugswert ist.<ref name="DIN5493">DIN 5493:2013 ''Logarithmische Größen und Einheiten''</ref><ref name="DINIEC60027–3">DIN EN 60027–3:2007 ''Formelzeichen für die Elektrotechnik – Teil 3: Logarithmische und verwandte Größen und ihre Einheiten''</ref> Gelegentlich wird für <math>\Delta L</math> auch noch die veraltete und irreführende Bezeichnung „relativer Pegel“ verwendet.

==== Pegel von Feldgrößen und von Leistungsgrößen ====
Leistungswurzelgrößen bzw. Feldgrößen wie die [[elektrische Spannung]] oder der [[Schalldruck]] dienen der Beschreibung von [[Feld (Physik)|physikalischen Feldern]]. Das Quadrat des [[Effektivwert]]es einer solchen Feldgröße ist in einem [[Lineares System (Systemtheorie)|linearen System]] proportional zu dessen energetischem Zustand, der über eine Leistungsgröße erfasst wird. In diesem Kontext werden auch Größen, die mit [[Energie]] zusammenhängen, als Leistungsgrößen bezeichnet.<ref name="DIN5493" /> Ohne die genauen Gesetzmäßigkeiten kennen zu müssen, folgt daraus, dass das Verhältnis zweier Leistungsgrößen gleich dem Verhältnis der Quadrate der zugehörigen Effektivwerte der Feldgrößen ist. Für die direkte Berechnung von Pegeln aus Verhältnissen von Effektivwerten von Feldgrößen ergibt sich so ein zusätzlicher Faktor 2, zum Beispiel bei der Berechnung des [[Spannungspegel]]s <math>L_U</math> aus dem Effektivwert der elektrischen Spannung <math>U</math>:
: <math>L_U = 10 \cdot \lg \frac{U_1^2}{U_0^2} \; \mathrm{dB} = 20 \cdot \lg \frac{U_1}{U_0} \; \mathrm{dB}</math>.

Für einen Spannungspegel von 10 Dezibel muss daher die Spannung <math>U_1</math> das <math>\sqrt{10}</math>-fache (ca. das 3,16-fache) des Bezugswertes <math>U_0</math> sein.

==== Vorteile der Verwendung von Pegeln ====
In der Physik bewegen sich Signalamplituden häufig über mehrere [[Größenordnung]]en: Beispielsweise [[Volt|Megavolt]] zu [[Volt|Nanovolt]] als Verhältnis von Feldgrößen und [[Watt (Einheit)|Megawatt]] zu [[Watt (Einheit)|Pikowatt]] als Verhältnis von Leistungsgrößen. Durch den Logarithmus sind diese Größen für den praktischen Gebrauch in gut lesbaren, meistens zwei- bis dreistelligen Zahlen darstellbar.

Kennlinien von Verstärkern, [[Filter (Elektronik)|Filtern]] oder anderen elektronischen Elementen und Spektren in der Akustik lassen sich bei Verwendung von Pegeln einfacher und übersichtlicher darstellen, da das Diagramm wegen der [[Logarithmische Darstellung|logarithmischen Darstellung]] eine hohe Dynamik erfasst.

==== Rechnen mit Pegeln ====
Da für Pegelrechnungen die Rechenregeln für Logarithmen gelten, gehen z. B. Multiplikationen der physikalischen Größen in Additionen der Pegel über. Der Ausgangspegel hintereinandergeschalteter Verstärker- oder Dämpfungselemente (z. B. Kabel oder Steckverbindungen) kann durch einfache Addition des Eingangspegels mit den einzelnen logarithmischen Verstärkungs- bzw. Dämpfungswerten erhalten werden.

Für ''Leistungsgrößen'' wie Energie, [[Schallintensität|Intensität]] und [[Elektrische Leistung|Leistung]] gilt: Da lg 10 = 1 und lg 2 ≈ 0,3 ist, kann man sich als Faustregel merken:
: +10 dB bedeutet Verzehnfachung, +3 dB bedeutet Verdopplung, −10 dB Bildung eines Zehntels, −3 dB Halbierung.
Andere Werte kann man hieraus abschätzen, z. B. +16 dB = (+10+3+3) dB, also: Ursprungswert{{·}}10{{·}}2{{·}}2; +16 dB steht somit für das 40-fache.

Oder +17 dB = (+10+10−3) dB steht für den Faktor 10{{·}}10 : 2 = 50.

Für ''Feldgrößen'' wie beispielsweise lineare [[Schallfeldgröße]]n, [[elektrische Spannung]] und [[Stromstärke]], gilt die Faustregel:
: +20 dB führt auf das Zehnfache, +6 dB führt auf das Doppelte, −20 dB den zehnten Teil, −6 dB die Hälfte.
Andere Werte kann man hieraus abschätzen; z. B. ergibt sich für eine Dämpfung −26 dB bezogen auf 1 Volt: −20 dB entspricht einem Zehntel; daraus ergibt sich: 0,1 Volt = 100 mV; weitere −6 dB (entsprechend einer Halbierung) bezogen auf diese 100 mV ergeben somit 50 mV.

==== Anwendung ====
Pegelangaben sind speziell in der [[Akustik]] weit verbreitet. Anwendungen finden sich aber auch in der [[Hochfrequenztechnik]] als Teil der [[Nachrichtentechnik]], der [[Tontechnik]] (siehe [[Audiopegel]]) und der [[Automatisierungstechnik]]. Zur speziellen Anwendung bei Spannungen in der Elektrotechnik siehe [[Spannungspegel]].

Bei Pegelangaben hörbarer Schalle werden überwiegend Filter zur [[Frequenzbewertung]] benutzt. Diese Filter sollen ein Messergebnis herbeiführen, das mit dem tatsächlichen Lautstärkeeindruck besser zusammenpasst als die unbewertete Angabe. Nach allen Standards der [[Internationale Organisation für Normung|ISO]] ist eine Frequenzbewertung durch einen Index an der Pegelgröße anzugeben. Abweichend davon werden häufig die folgenden Schreibweisen benutzt, um die Verwendung der unterschiedlichen Bewertungsfilter anzuzeigen.

* dBA, dB(A), „dBA“
* dBB, dB(B), „dBB“
* dBC, dB(C), „dBC“

=== Maße ===
Als Maß wird ein logarithmiertes Verhältnis von zwei Leistungsgrößen oder Leistungswurzelgrößen gebildet, das zur Beschreibung der Eigenschaften eines als [[Vierpol|Zweitor]] betrachteten Systems, beispielsweise eines Verstärkers, dient. In der Regel wird das Wort „-maß“ als Endung eines zusammengesetzten Wortes verwendet, das die Größe näher beschreibt.

Beispiele für solche logarithmischen Maße sind:
* für Leistungsgrößen: [[Schalldämmmaß]] <math>R</math>
:: <math>R = 10 \lg \frac{I_0}{I}\;\mathrm{dB}</math>
:: (durchgelassene [[Schallintensität]] <math>I</math>, einfallende Schallintensität <math>I_0</math>),
* für Leistungswurzelgrößen: Spannungs-[[Dämpfungsmaß]] <math>a</math>
:: <math>a = 20\;\lg \left|\frac{U_1}{U_2}\right|\;\mathrm{dB} = \ln \left|\frac{U_1}{U_2}\right|\;\mathrm{Np}</math>
:: (Eingangsspannung <math>U_1</math>, Ausgangsspannung <math>U_2</math>).
Die Vorteile und Rechenregeln bei Pegeln gelten auch für Maße.

== Logarithmische Größen, deren Argument von vornherein als eine Zahl gegeben ist ==
Diese logarithmischen Größen werden vorzugsweise in der [[Informationstheorie]] verwendet. Zu deren Kennzeichnung, aber auch nur dafür, werden je nach Basis des Logarithmus die Hilfsmaßeinheiten [[Shannon (Einheit)|Shannon]], [[Hartley (Einheit)|Hartley]] und [[Natürliche Informationseinheit|nat]] verwendet.

Eine der logarithmischen Größen der Informationstheorie ist der [[Informationsgehalt]]. Ist <math>p(x)</math> die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses <math>x</math>, so ist der Informationsgehalt<ref name="DIN5493" /><ref name="EN 80000–13">[[ISO 80000|DIN EN 80000–13]]:2009 ''Größen und Einheiten – Teil 13: Informationswissenschaft und -technik''</ref>
:<math>I(x) =\operatorname{lb} \frac 1{p(x)} \mathrm{Sh} =\lg \frac 1{p(x)} \mathrm{Hart} =\ln \frac 1{p(x)} \mathrm{nat}</math>

Eine weitere logarithmische Größe ist die [[Speicherkapazität]]. Ist <math>n</math> die Anzahl möglicher Zustände des gegebenen Speichers, so ist die binäre Speicherkapazität<ref name="EN 80000–13" />
:<math>M_\mathrm e =\operatorname{lb} n\text{ bit}</math>

== Andere logarithmische Größen ==
Außerhalb der beiden vorstehenden Gruppen sind weitere logarithmische Größen definiert, z. B.
* [[Extinktion (Optik)|Extinktion]]
* [[pH-Wert]]
: Diese Größen sind [[Größe der Dimension Zahl|Größen der Dimension Zahl]], für die keine Einheiten festgelegt sind.

* Frequenzmaßintervall oder '''logarithmischer Frequenzbereich''' <math>G= \operatorname{lb} \tfrac{f_2}{f_1}\text{ oct} =\lg \tfrac{f_2}{f_1}\text{ dec }</math> <ref name="DINIEC60027–3" /><ref>DIN EN ISO 80000–8:2020 ''Größen und Einheiten – Teil 8: Akustik''.</ref>
:zwischen den Frequenzen <math>f_1</math> und <math>f_2\ge f_1</math> mit den Einheiten
:* [[Oktave (Hilfsmaßeinheit)|Oktave]]   (<math>G= 1\text{ oct}= \operatorname{lb} 2\text{ oct}</math>, wenn <math>\tfrac{f_2}{f_1}=2</math>)
:* Dekade (<math>G=1\text{ dec} =\lg 10\text{ dec}</math>, wenn <math>\tfrac{f_2}{f_1}=10</math>).
: Gemäß gängiger Praxis in der Akustik wird <math>1\text{ oct}=1</math> gesetzt. Dann ist <math>1\text{ dec} =\operatorname{lb} 10\text{ oct} =3{,}322</math>.

== Siehe auch ==
* [[Bezugswert (Akustik)]]

== Literatur ==
* Jürgen H. Maue, Heinz Hoffmann, Arndt von Lüpke: ''0 Dezibel plus 0 Dezibel gleich 3 Dezibel''. Erich Schmidt Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-503-07470-8.
* Frank Gustrau: ''Hochfrequenztechnik: Grundlagen der mobilen Kommunikationstechnik.'' 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, München 2013, ISBN 978-3-446-43245-1.
* Hermann Weidenfeller: ''Grundlagen der Kommunikationstechnik''. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2002, ISBN 3-519-06265-8.

== Weblinks ==
* [http://www.sengpielaudio.com/Berechnungen.htm dB-Berechnungen mit dem jeweiligen Rechner]
* [http://www.rohde-schwarz.com/appnote/1MA98 dB or not dB] (PDF)
* [https://www.physik.tu-darmstadt.de/media/fachbereich_physik/phys_studium/phys_studium_bachelor/phys_studium_bsc_praktika/phys_studium_bsc_praktika_gp/phys_studium_bsc_praktika_gp_regeln/Gr_Einh_Gl.pdf Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen.] (PDF; 1,5 MB) abgerufen am 1. Dezember 2017

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Dimensionslose Größe|!Logarithmische Grosse]]

Logarithmische Größe - Versionsgeschichte

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