2A02:8071:185:A300:7D04:4904:56F3:9B13: /* Produkte von logarithmisch Gamma-verteilte Zufallsvariablen */

2021-02-23T10:17:05Z

Produkte von logarithmisch Gamma-verteilte Zufallsvariablen

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Die '''Logarithmische Gammaverteilung''' (auch '''Log-Gammaverteilung''') ist eine stetige [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Die [[Heavy-tailed-Verteilung]] ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Großschadenbereich der Industrie-, Haftpflicht-, Rückversicherung<ref>Claudia Cottin, Sebastian Döhler: ''Risikoanalyse: Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen''. Springer-Verlag 2012</ref>.

== Definition ==
Eine stetige Zufallsgröße <math>X</math> mit den Parametern <math>a>0</math> und <math>b>0</math> genügt der logarithmischen Gammaverteilung, wenn sie die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]
:<math>f(x)=\begin{cases}
\dfrac{b^a}{\Gamma(a)}x^{-(b+1)}(\ln x)^{a-1} & x\geq 1 \\
0 & x < 1
\end{cases}</math>
besitzt. Ihre [[Verteilungsfunktion]] lautet dann
:<math>F(x)=\begin{cases}
\dfrac{\gamma(a,b \ln x)}{\Gamma(a)} & x \geq 1 \\
0 & x < 1
\end{cases}</math>,
wobei <math>\gamma(p,q)</math> die [[unvollständige Gammafunktion]] ist.

== Eigenschaften ==
=== Erwartungswert ===
Für <math>b>1</math> ergibt sich der [[Erwartungswert]] zu
:<math>\operatorname{E}(X) = \left(1-\frac{1}{b}\right)^{-a}</math>.

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ergibt sich für <math>b>2</math> als
:<math>\operatorname{Var}(X) =\left(1-\frac{2}{b}\right)^{-a}- \left(1-\frac{1}{b}\right)^{-2a}</math>.

=== Variationskoeffizient ===
Aus [[Erwartungswert]] und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man sofort den [[Variationskoeffizient]]en
:<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\left(1+\frac{1}{b(b-2)}\right)^a -1}</math>.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] lässt sich für <math>b>3</math> geschlossen darstellen als
:<math>\operatorname{v}(X) = \frac{\left(\frac{b}{b-3}\right)^a-3\left(\frac{b^2}{(b-2)(b-1)}\right)^a+2\left(\frac{b}{b-1}\right)^{3a}}
{\left(\left(\frac{b}{b-2}\right)^a-\left(\frac{b}{b-1}\right)^{2a}\right)^{\frac{3}{2}}}</math>.

=== Momente ===
Es existieren nur die [[Moment (Stochastik)|Momente]] der Ordnung kleiner als <math>b</math>.

=== Produkte von logarithmisch Gamma-verteilte Zufallsvariablen ===

Sind <math>X_1\sim \mathcal{LG}(p_1,b)</math> und <math>X_2\sim \mathcal{LG}(p_2,b)</math> unabhängige logarithmisch gammaverteilte Zufallsgrößen
dann ist auch das <math>X_1\cdot X_2</math> logarithmisch gammaverteilt, und zwar
:<math>X_1\cdot X_2\sim \mathcal{LG}(p_1+p_2,b).</math>

Allgemein gilt: Sind <math>X_i\sim \mathcal{LG}(p_i,b)\quad i=1,\ldots,n</math> stochastisch unabhängig dann ist
:<math>\prod_{i=1}^n X_i\sim \mathcal{LG}(p_1+ \dotsb +p_n,b).</math>

Somit bildet die logarithmische Gammaverteilung eine multiplikative [[Faltungshalbgruppe]] in einem ihrer beiden Parameter.

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==
In der [[Versicherungsmathematik]] wird die Verteilung der Anzahl der Schäden häufig mit Hilfe
von [[Poisson-Verteilung|Poisson-]], [[Negative Binomialverteilung|negativ Binomial-]]
oder [[Logarithmische Verteilung|logarithmisch]] verteilten [[Zufallsvariable]]n modelliert.
Zur Beschreibung der Schadenshöhe eignen sich dagegen die
[[Gammaverteilung|Gamma-]], logarithmische Gamma- oder
[[logarithmische Normalverteilung]].

=== Beziehung zur Gammaverteilung ===
Wenn die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> [[Gammaverteilung|Gamma-verteilt]] ist, dann ist <math>Y=e^{X}</math> Log-Gamma-verteilt.

=== Beziehung zur Paretoverteilung ===
Die [[Paretoverteilung]] mit den Parametern <math>k</math> und <math>x_\mathrm{min}=1</math> entspricht der Log-Gammaverteilung mit den Parametern <math>a=1</math> und <math>b=k</math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Logarithmische Gammaverteilung - Versionsgeschichte

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