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2025-09-30T08:21:55Z

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In der [[Analysis]] ist die '''logarithmische Ableitung''' <math>\operatorname{L}(f)</math> einer differenzierbaren [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f</math>, die keine [[Nullstelle]]n besitzt, als der Quotient der [[Differentialrechnung|Ableitung]] einer Funktion und der Funktion selbst definiert:<ref>{{Literatur |Autor=[[Konrad Königsberger]] |Titel=Analysis 1 |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2004 |ISBN=3-540-40371-X |Seiten=143}}</ref>

:<math>\operatorname{L}(f) := \frac{f'}{f}.</math>

Auf gleiche Weise lässt sich der Begriff auch für von Null verschiedene [[meromorphe Funktion]]en definieren (hier brauchen keine Nullstellen ausgeschlossen zu werden, weil der Quotient für meromorphe Funktionen [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]] ist).
Für reelle Funktionen <math>f</math> mit positiven Werten stimmt die logarithmische Ableitung nach der [[Kettenregel]] mit der Ableitung der Funktion <math>\ln(f)</math> überein; daher der Name. Es gilt also
:<math>(\ln f)' = \frac{f'}{f}</math>.
== Rechenregeln ==
Die Bedeutung des Begriffes liegt in der Formel für die logarithmische Ableitung eines Produktes:
:<math>\operatorname{L}(f \cdot g) = \operatorname{L}(f) + \operatorname{L}(g)</math>,
allgemein
:<math>\operatorname{L}(f_1\cdots f_n) = \operatorname{L}(f_1) + \ldots + \operatorname{L}(f_n)</math>.

Als Abwandlung zur Produktregel gilt also
:<math>(fg)'=fg (\operatorname{L}(f) + \operatorname{L}(g))</math>.

Analog gilt
: <math>\operatorname{L}(1/f) = -\operatorname{L}(f)</math>
und
: <math> \operatorname{L}(f/g) = \operatorname{L}(f) - \operatorname{L}(g)</math>.

Für die logarithmische Ableitung der [[Potenzfunktion]] erhält man etwa
: <math> \operatorname{L}(f^n) = n\cdot \operatorname{L}(f)</math>.

Diese Formeln folgen aus der [[Produktregel|Leibnizregel]] und gelten deshalb auch in allgemeinerem Kontext, beispielsweise bei der (formalen) Ableitung von [[Polynom]]en oder [[Rationale Funktion|rationalen Funktionen]] über einem beliebigen Grund[[Körper (Algebra)|körper]].

== Beispiele ==
Die logarithmische Ableitung von Funktionen kann meistens mit den normalen [[Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen|Differentiationsregeln]] bestimmt werden.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! <math>f</math> !! <math>\operatorname{L}(f)</math> !! Anmerkungen
|-
| <math>n</math> || <math>0</math>
|style="text-align:left"| <math>n\in \mathbb{R} \setminus \{0\}</math>
|-
| <math>x^n</math> || <math>\frac{n}{x}</math>
|style="text-align:left"|<math>n\in \mathbb{R}</math>
|-
| <math>e^{nx}</math> || <math>n</math>
|style="text-align:left"| <math>n\in \mathbb{R}</math>
|-
| <math>\ln(x)</math> || <math>\frac{1}{x\ln(x)}</math> ||
|-
| <math>\sin(x)</math> || <math>\cot(x)</math> ||
|-
| <math>\cos(x)</math> || <math>-\tan(x)</math> ||
|-
| <math>\tan(x)</math> || <math>\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}</math> ||
|-
| <math>\Gamma(z)</math> || <math>\psi(z)</math>
|style="text-align:left"| Die logarithmische Ableitung der [[Gamma-Funktion]] ist die [[Digamma-Funktion]].
|}

== Funktionentheorie ==
Es sei <math>g(z)</math> eine [[meromorphe Funktion]] mit einer Nullstelle der Ordnung <math>n</math> oder einem Pol der Ordnung <math>-n</math> an einer Stelle <math>c \in \mathbb C</math>. Dann lässt sich <math>g(z)</math> als
:<math>g(z) = (z-c)^n f(z)</math>
mit einer in einer Umgebung von <math>c</math> holomorphen Funktion <math>f(z)</math> mit <math>f(c) \ne 0</math> schreiben. Es gilt
:<math>L(g) = \frac{n}{z-c} + L(f)</math>.
Wegen <math>f(c) \ne 0</math> ist <math>L(f)</math> in einer Umgebung von <math>c</math> holomorph. Das [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>L(g)</math> an der Stelle <math>c</math> entspricht also gerade der Nullstellenordnung von <math>g</math> an der Stelle <math>c</math>. Dieser Zusammenhang wird im [[Prinzip vom Argument]] ausgenutzt.

== Anwendung ==
Lässt sich eine Funktion <math>f</math> darstellen als

:<math>f = k \cdot u^a \cdot v^b \cdot w^c \cdot \dots</math>

mit <math>k</math> und <math>a,b,c,\dots</math> als Konstanten, so ergibt sich die Ableitung zu

:<math>f' = f \cdot \left( a \cdot \frac{u'}{u} + b \cdot \frac{v'}{v} + c \cdot \frac{w'}{w} + \dots\right).</math>

Dieser Umstand kann bei praktischen Anwendungen wie der Handrechnung genutzt werden, um manche [[Differentialrechnung#Ableitungsregeln|Ableitungsregeln]] kompakt zusammenzufassen: So ergibt sich beispielsweise bei den Faktoren <math>k=1</math>, <math>a=1</math>, <math>b=1</math> die [[Produktregel]], mit den Faktoren <math>k=1</math>, <math>a=1</math>, <math>b=-1</math> die [[Quotientenregel]] und mit <math>k=1</math>, <math>a=-1</math> die [[Reziprokenregel]].

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Richard P. Feynman, Michael A. Gottlieb, Ralph Leighton
|Titel=Feynman’s Tips on Physics: A Problem-Solving Supplement to the Feynman Lectures on Physics.
|Verlag=Addison-Wesley
|Ort=San Francisco
|Datum=2006
|ISBN=0-8053-9063-4
|Kapitel=Kapitel 1–4
|Sprache=en}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]

Logarithmische Ableitung - Versionsgeschichte

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