imported>Nhabedi: /* Satz von Ljapunow */ fehlendes Wort ergänzt

2025-11-23T23:04:21Z

Satz von Ljapunow: fehlendes Wort ergänzt

Neue Seite

Die '''Ljapunow-Bedingung''' ist in der [[Stochastik]] ein Kriterium an eine Folge von [[Zufallsvariable]]n. Sie ist neben der allgemeineren [[Lindeberg-Bedingung]] eine der beiden klassischen hinreichenden Voraussetzungen für die [[Konvergenz in Verteilung]] der Folge gegen die [[Standardnormalverteilung]] und gehört somit in den Themenbereich der [[Zentrale Grenzwertsätze|zentralen Grenzwertsätze]]. Sie kann auch für [[Schema von Zufallsvariablen|Schemata von Zufallsvariablen]] formuliert werden und geht auf den russischen Mathematiker [[Alexander Michailowitsch Ljapunow]] zurück.

== Formulierung für Folgen von Zufallsvariablen ==
Seien <math>(X_i)_{i\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängigen]] Zufallsvariablen mit
:<math>\;a_i:=\operatorname E[X_i]</math> und <math>0<\operatorname{Var}(X_i)<\infty</math> für alle <math>i\in\mathbb{N}</math>.

Dabei können die Zufallsvariablen auch unterschiedliche Verteilungen besitzen. Zudem bezeichne
:<math>S_n=\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(X_i)</math>

die Summe der [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]en der <math>(X_i)_i</math>.

Die Folge der Zufallsvariablen genügt der Ljapunow-Bedingung nun genau dann, wenn ein <math> \delta>0 </math> existiert, so dass

: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{S_n^{1+\delta/2}}\sum_{i=1}^n E\left[|X_i-a_i|^{2+\delta}\right]=0</math>

gilt.<ref> Meintrup, Schäffler: ''Stochastik.'' 2005, S. 204. </ref>

== Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen ==
Gegeben sei ein [[Schema von Zufallsvariablen|unabhängiges zentriertes Schema]] von Zufallsvariablen <math> (X_{n,l})</math>, bei dem jede Zufallsvariable <math> X_{n,l} </math> quadratintegrierbar ist und seien
:<math> S_n:=\sum_{l=1}^{k_n}X_{n,l} </math>

die Summen über die zweiten Indizes. Das Schema erfüllt nun die Ljapunow-Bedingung, wenn ein <math> \delta > 0 </math> existiert, so dass
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\operatorname{Var}(S_n)^{1+\delta/2}}\sum_{l=1}^{k_n}\operatorname E (|X_{n,l}|^{2+\delta}) =0 </math>

ist.<ref> Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 327. </ref>

== Beziehung zur Lindeberg-Bedingung ==
Die Ljapunow-Bedingung impliziert immer die [[Lindeberg-Bedingung]], der Umkehrschluss gilt aber im Allgemeinen nicht. Daher wird sie häufiger in der Literatur behandelt.

== Satz von Ljapunow ==
Die Aussage, dass die Ljapunow-Bedingung hinreichend ist für die Konvergenz in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung, wird in der Literatur als '''Satz von Ljapunow''' oder '''Zentraler Grenzwertsatz von Ljapunow''' bezeichnet.<ref>{{MathWorld| id = LyapunovCondition| title = Lyapunov Condition| author = }} </ref><ref> {{EoM| Autor = A.V. Prokhorov| Titel = Lyapunov theorem| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Lyapunov_theorem| id = }} </ref> Vollständig formuliert lautet er:

:Genügt eine Folge <math> (X_n)_{n \in \N} </math> von stochastisch unabhängigen reellwertigen Zufallsvariablen mit endlichen zweiten Momenten der Ljapunow-Bedingung, so konvergiert die reskalierte Folge der zentrierten Zufallsvariablen in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung:
::<math>\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \operatorname E (X_i))}{\sqrt{\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)}} \;\overset{d}{\longrightarrow} \; \mathcal N(0,1)</math>

Er wurde 1901 von [[Alexander Michailowitsch Ljapunow]] gezeigt und 1922 von [[Jarl Waldemar Lindeberg]] durch das [[Lindeberg-Theorem]], welches auf die Lindeberg-Bedingung zurückgreift, verallgemeinert.<ref> Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 307. </ref>

== Literatur ==
* [[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' De Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4.
*{{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
*{{Literatur|Autor=Norbert Kusolitsch|Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie|TitelErg=Eine Einführung|Auflage=2., überarbeitete und erweiterte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-45386-1|DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}
*{{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Alexander Michailowitsch Ljapunow als Namensgeber]]

[[en:Central limit theorem#Lyapunov CLT]]

Ljapunow-Bedingung - Versionsgeschichte

imported>Nhabedi: /* Satz von Ljapunow */ fehlendes Wort ergänzt